Vollständigkeit arctan-Metrik < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 18.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo, liebe Community! :)
Ich habe mal wieder eine Frage zu einem Beweis. Ausgangssituation ist, dass d: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] definiert durch d(x,y) = |arctan x - arctan y|, eine Metrik auf [mm] \IR [/mm] ist.
Zu zeigen ist, dass der metrische Raum [mm] (\IR, [/mm] d) nicht vollständig ist.
Der Beweis lautet wie folgt:
---
Definiere [mm] x_{n} [/mm] = n. Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} arctan(x_{n}) [/mm] = [mm] \pi/2.
[/mm]
Diese Folge ist eine Cauchyfolge: Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 gegeben. Dann existiert - weil die Folge [mm] (arctan(x_{n})) [/mm] eine CF in [mm] (\IR, [/mm] d) ist - ein [mm] N_{\varepsilon} [/mm] mit [mm] |arctan(x_{n}) [/mm] - [mm] arctan(x_{m})| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für n, m > [mm] N_{\epsilon}. [/mm] Damit erhält man:
[mm] d(x_{n}, x_{m}) [/mm] = [mm] |arctan(x_{n}) [/mm] - [mm] arctan(x_{m})| [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] m, n > [mm] N_{\epsilon}.
[/mm]
Diese Folge konvergiert nicht in [mm] (\IR, [/mm] d): Sei x [mm] \in \IR [/mm] ein beliebiger Punkt. Es wird nun gezeigt: [mm] x_{n} [/mm] konvergiert nicht gegen x. Da arctan(x) [mm] \not= \pi/2, [/mm] existiert ein
[mm] N_{x} [/mm] mit [mm] |arctan(x_{n}) [/mm] - [mm] \pi/2| [/mm] < 1/2|arctan(x) - [mm] \pi/2| [/mm] für alle n > [mm] N_{x}. [/mm] Aus der Dreiecksungleichung
|arctan(x) - [mm] \pi/2| \le [/mm] |arctan(x) - [mm] arctan(x_{n})| [/mm] + [mm] |arctan(x_{n}) [/mm] - [mm] \pi/2| [/mm] folgt
|arctan(x) - [mm] arctan(x_{n})| \ge [/mm] |arctan(x) - [mm] \pi/2| [/mm] - [mm] |arctan(x_{n}) [/mm] - [mm] \pi/2| [/mm] > 1/2|arctan(x) - [mm] \pi/2| [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n > [mm] N_{x}.
[/mm]
Somit ist ab einem bestimmten Index der Abstand von [mm] x_{n} [/mm] größer als eine feste positive Zahl. Damit kann [mm] (x_{n}) [/mm] nicht gegen x konvergieren.
---
Nun zu meinen ersten Fragen:
1) Rein zum Verständnis: Ist im gesamten Beweis mit allen [mm] x_{n} [/mm] die definierte Folge gemeint und könnte man deswegen auch arctan(n) anstatt [mm] arctan(x_{n}) [/mm] oder "n konvergiert gegen x" anstatt [mm] x_{n} [/mm] konvergiert gegen x schreiben?
2) "Diese Folge ist eine Cauchyfolge" - Welche Folge ist hier gemeint, [mm] (x_{n}) [/mm] oder [mm] (arctan(x_{n}))?
[/mm]
Ich habe erstmal nur 2 Fragen gestellt, um das erstmal zu verstehen bevor ich weiterfrage.
Für eure Antworten wäre ich sehr dankbar! :)
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, liebe Community! :)
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> Ich habe mal wieder eine Frage zu einem Beweis.
> Ausgangssituation ist, dass d: [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] definiert
> durch d(x,y) = |arctan x - arctan y|, eine Metrik auf [mm]\IR[/mm]
> ist.
> Zu zeigen ist, dass der metrische Raum [mm](\IR,[/mm] d) nicht
> vollständig ist.
> Der Beweis lautet wie folgt:
>
> ---
>
> Definiere [mm]x_{n}[/mm] = n. Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} arctan(x_{n})[/mm]
> = [mm]\pi/2.[/mm]
> Diese Folge ist eine Cauchyfolge: Sei [mm]\epsilon[/mm] >0 gegeben.
> Dann existiert - weil die Folge [mm](arctan(x_{n}))[/mm] eine CF in
> [mm](\IR,[/mm] d) ist - ein [mm]N_{\varepsilon}[/mm] mit [mm]|arctan(x_{n})[/mm] -
> [mm]arctan(x_{m})|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für n, m > [mm]N_{\epsilon}.[/mm] Damit
> erhält man:
> [mm]d(x_{n}, x_{m})[/mm] = [mm]|arctan(x_{n})[/mm] - [mm]arctan(x_{m})|[/mm] <
> [mm]\epsilon \forall[/mm] m, n > [mm]N_{\epsilon}.[/mm]
>
> Diese Folge konvergiert nicht in [mm](\IR,[/mm] d): Sei x [mm]\in \IR[/mm]
> ein beliebiger Punkt. Es wird nun gezeigt: [mm]x_{n}[/mm]
> konvergiert nicht gegen x. Da arctan(x) [mm]\not= \pi/2,[/mm]
> existiert ein
> [mm]N_{x}[/mm] mit [mm]|arctan(x_{n})[/mm] - [mm]\pi/2|[/mm] < 1/2|arctan(x) - [mm]\pi/2|[/mm]
> für alle n > [mm]N_{x}.[/mm] Aus der Dreiecksungleichung
> |arctan(x) - [mm]\pi/2| \le[/mm] |arctan(x) - [mm]arctan(x_{n})|[/mm] +
> [mm]|arctan(x_{n})[/mm] - [mm]\pi/2|[/mm] folgt
>
> |arctan(x) - [mm]arctan(x_{n})| \ge[/mm] |arctan(x) - [mm]\pi/2|[/mm] -
> [mm]|arctan(x_{n})[/mm] - [mm]\pi/2|[/mm] > 1/2|arctan(x) - [mm]\pi/2|[/mm] > 0
> [mm]\forall[/mm] n > [mm]N_{x}.[/mm]
>
> Somit ist ab einem bestimmten Index der Abstand von [mm]x_{n}[/mm]
> größer als eine feste positive Zahl. Damit kann [mm](x_{n})[/mm]
> nicht gegen x konvergieren.
>
> ---
>
> Nun zu meinen ersten Fragen:
> 1) Rein zum Verständnis: Ist im gesamten Beweis mit allen
> [mm]x_{n}[/mm] die definierte Folge gemeint und könnte man deswegen
> auch arctan(n) anstatt [mm]arctan(x_{n})[/mm] oder "n konvergiert
> gegen x" anstatt [mm]x_{n}[/mm] konvergiert gegen x schreiben?
Ist [mm] x_n=n, [/mm] so ist [mm] arctan(x_n)=arctan(n)
[/mm]
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen x ist natürlich gleichbedeutend mit (n) konv. gegen x.
>
> 2) "Diese Folge ist eine Cauchyfolge" - Welche Folge ist
> hier gemeint, [mm](x_{n})[/mm] oder [mm](arctan(x_{n}))?[/mm]
Damit ist [mm] (x_n) [/mm] gemeint.
FRED
>
>
> Ich habe erstmal nur 2 Fragen gestellt, um das erstmal zu
> verstehen bevor ich weiterfrage.
> Für eure Antworten wäre ich sehr dankbar! :)
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 18.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
danke für deine Antwort, nun hast du meinen Verdacht bestätigt!
Soweit ich es verstanden habe, bezeichnet ein metrischer Raum eine Menge, auf welche eine Metrik definiert ist.
Die Metrik selber ist eine Abstandsfunktion, welche zwei Elementen deren Abstand im Raum zuordnet.
Nun tue ich mir aber schwer nachzuvollziehen, was Cauchy-Folgen in einem metrischen Raum sind.
Wenn ich mir eine "normale" relle Cauchy-Folge anschaue, so befindet sich diese doch im Körper der reellen Zahlen.
Bei dieser gilt ja, dass ab einem gewissen Index N [mm] \in \IN [/mm] der Abstand der Folgenglieder für alle Indizes n,m > N kleiner als ein bestimmter Wert ist.
Ist es richtig, dass ich diesen Abstand als Metrik [mm] d(x_{n}, x_{m}) [/mm] = [mm] |x_{n} [/mm] - [mm] x_{m}| [/mm] auffassen könnte?
Aber was sind dann Cauchy-Folgen, die sich zusätzlich zu der Eigenschaft, dass sie im Körper der reellen Zahlen liegen, in einem metrischen Raum befinden?
Gruß X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 18.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo X3nion!
> Soweit ich es verstanden habe, bezeichnet ein metrischer
> Raum eine Menge, auf welche eine Metrik definiert ist.
Ja, genauer: Ein metrischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer ("bestimmten") Metrik auf dieser Menge.
> Die Metrik selber ist eine Abstandsfunktion, welche zwei
> Elementen deren Abstand im Raum zuordnet.
Eine Metrik ordnet je zwei Elementen eine nichtnegative reelle Zahl zu (in einer Weise, dass gewisse Eigenschaften gelten).
Man kann sich diese reelle Zahl jeweils als eine Art "Abstand" der beiden Elemente vorstellen.
Dies muss aber z.B. im Falle der Menge [mm] $\IR^3$ [/mm] nicht mit dem "gewöhnlichen" (sogenannten euklidischen) Abstand im Raum sein.
> Nun tue ich mir aber schwer nachzuvollziehen, was
> Cauchy-Folgen in einem metrischen Raum sind.
> Wenn ich mir eine "normale" relle Cauchy-Folge anschaue,
> so befindet sich diese doch im Körper der reellen Zahlen.
Ja.
> Bei dieser gilt ja, dass ab einem gewissen Index N [mm]\in \IN[/mm]
> der Abstand der Folgenglieder für alle Indizes n,m > N
> kleiner als ein bestimmter Wert ist.
Genauer: Eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] reeller Zahlen nennt man Cauchy-Folge, wenn für JEDEN (noch so kleinen) Wert [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine (genügend große) Zahl [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $|x_n-x_m|<\varepsilon$ [/mm] für alle $n,m>N$.
Eine grobe (!) Vorstellung dahinter: "Genügend weit draußen" werden die Abstände der Folgenglieder "beliebig klein".
> Ist es richtig, dass ich diesen Abstand als Metrik [mm]d(x_{n}, x_{m})[/mm]
> = [mm]|x_{n}[/mm] - [mm]x_{m}|[/mm] auffassen könnte?
Ja, durch $d(x,y):=|x-y|$ für alle [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] wird eine Metrik auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert, die ich die "gewöhnliche" Metrik auf [mm] $\IR$ [/mm] nennen möchte. Eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] reeller Zahlen ist genau dann eine Cauchy-Folge im gewöhnlichen Sinne, wenn sie eine Cauchy-Folge im metrischen Raum [mm] $\IR$ [/mm] mit der gerade eingeführten gewöhnlichen Metrik d ist.
> Aber was sind dann Cauchy-Folgen, die sich zusätzlich zu
> der Eigenschaft, dass sie im Körper der reellen Zahlen
> liegen, in einem metrischen Raum befinden?
Sei $X$ eine Menge und $d$ eine Metrik auf X.
Eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Elementen von X nennt man eine Cauchy-Folge (bezüglich d), wenn für JEDEN (noch so kleinen) Wert [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine (genügend große) Zahl [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $d(x_n,x_m)<\varepsilon$ [/mm] für alle $n,m>N$.
In der Ausgangsfrage ist [mm] $\IR$ [/mm] mit der Metrik definiert durch d(x,y) = |arctan x - arctan y| für alle [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] anstelle der gewöhnlichen Metrik zu betrachten.
Der Begriff einer Cauchy-Folge bezüglich dieser "arctan-Metrik" ist ein anderer als der der Cauchy-Folge bezüglich der gewöhnlichen Metrik.
Bezüglich der gewöhnlichen Metrik ist [mm] $\IR$ [/mm] vollständig (d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert), bezüglich der arctan-Metrik nicht.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 18.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias,
ich danke dir für deine sehr ausführlichen Antworten und Erklärungen! Jetzt macht das alles mehr Sinn für mich :)
Also wenn ich Cauchy-Folgen betrachte, dann brauche ich ein Maß für den Abstand - im Normalfall eben die "gewöhnliche" Metrik (sagt man nicht auch Standardmetrik, oder ist das etwas anderes?)
Aber hier habe ich eine andere Metrik, also eine andere Vorschrift für das Maß des Abstandes zwischen Folgengliedern.
Im Beweis gibt es den Satz "Diese Folge ist eine Cauchyfolge:...". FRED antwortete ja bereits, dass hier die Folge [mm] x_{n} [/mm] gemeint ist.
Mir ist zuerst einmal nicht ganz klar, wieso [mm] (arctan(x_{n})) [/mm] eine CF in [mm] (\IR, [/mm] d) ist - wobei eine Sache habe ich beim Abtippen übersehen wie ich gerade merke, dort steht [mm] (\IR, d^{1}).
[/mm]
Bezeichnet [mm] d^{1} [/mm] die gewöhnliche Metrik, oder ist dies ein Tippfehler im Beweis und die gegebene arctan-Metrik ist gemeint?
Viele Grüße,
X3nion
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[mm]\arctan n \to \frac{\pi}{2}[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
Die Folge [mm]\left( \arctan n \right)_{n \geq 1}[/mm] ist in [mm]\mathbb{R}[/mm], versehen mit der gewöhnlichen Metrik (auch: natürliche Metrik, Standardmetrik, euklidische Metrik genannt) konvergent, erst recht also eine Cauchy-Folge.
Also ist die Folge [mm]\left( n \right)_{n \geq 1}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm], versehen mit der Arcustangens-Metrik.
Daß die Folge [mm]\left( n \right)_{n \geq 1}[/mm] im Sinne der Arcustangens-Metrik nicht konvergiert, liegt anschaulich daran, daß ihr "gewünschter Grenzwert" [mm]\infty[/mm] nicht zu [mm]\mathbb{R}[/mm] gehört.
Wenn ich einmal frech [mm]\mathbb{R}[/mm] durch ein Objekt [mm]\infty[/mm] zu [mm]\tilde{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ \infty \}[/mm] erweitere und naiv mit [mm]\infty[/mm] rechne (z.B. [mm]x < \infty[/mm] für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] setze) und die Arcustangensfunktion durch [mm]\arctan \infty = \frac{\pi}{2}[/mm] fortsetze, dann ist die Folge [mm]\left( n \right)_{n \geq 1}[/mm] in [mm]\tilde{\mathbb{R}}[/mm] konvergent mit [mm]\infty[/mm] als Grenzwert. Man muß dazu auch die Arcustangens-Metrik erweitern durch
[mm]d(\infty,\infty) = 0 \, , \ \ d(\infty,x) = \arctan \infty - \arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan x[/mm] für [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]
In der Topologie firmiert diese Thematik unter der Rubrik Kompaktifizierung. Vielleicht läuft diese Aufgabe darauf hinaus, die Zweipunktkompaktifizierung von [mm]\mathbb{R}[/mm] durch [mm]\infty[/mm] und [mm]- \infty[/mm] vorzubereiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 19.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Aaahhh nun macht das alles für mich Sinn ( hoffe ich :D )
Vielen Dank auch dir, Leopold_Gast, für die Erklärungen!
Eine Sache habe ich aber noch nicht so ganz verstanden ...
also verstanden habe ich, dass Cauchy-Folgen in einem Körper immer versehen sind mit einer Metrik.
Aber wie schaut dies mit der Konvergenz aus?
Du hast geschrieben:
Die Folge [mm]\left( \arctan n \right)_{n \geq 1}[/mm] ist in [mm]\mathbb{R}[/mm], versehen mit der gewöhnlichen Metrik (auch: natürliche Metrik, Standardmetrik, euklidische Metrik genannt) konvergent,
Bei CF bestimmt ja die Metrik den Abstand zweier Folgenglieder.
Ist es bei der Konvergenz so, dass die Metrik den Abstand zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert bestimmt?
Also sind Metriken essentiell für die Bestimmung von Abständen, die bei Konvergenz, Cauchy-Folgen, ... gebraucht werden?
Noch zu deiner Idee: Hm dazu kann ich wenig sagen, da Topologie erst im höheren Semester drangekommen wäre. Diese Aufgabe war eine aus der Analysis 1, der Professor wollte Metriken vorziehen :)
Ich habe das Studium abgebrochen, da ich es nicht geschafft habe, alles was der Professor vorführt und alle Aufgaben in einem Semester zu verstehen. Dabei sind viele weitergekommen, indem sie vieles hingenommen und nicht wirklich verstanden haben ... aber mein Interesse für die Mathematik ist nach wie vor sehr hoch und nun betrachte ich Aufgaben und Beweise für mich, mit Zeit :)
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Aaahhh nun macht das alles für mich Sinn ( hoffe ich :D )
> Vielen Dank auch dir, Leopold_Gast, für die
> Erklärungen!
>
> Eine Sache habe ich aber noch nicht so ganz verstanden ...
> also verstanden habe ich, dass Cauchy-Folgen in einem
> Körper immer versehen sind mit einer Metrik.
Uii , was bedeutet das denn ?
Oh,oh ! Ich glaube, Du hast noch einiges nicht verstanden.
Erst wenn wir eine nichtleere Menge M (ein Körper muss das nicht sein !) , die mit einer Metrik versehen ist , können wir von Cauchyfolgen, etc ... reden.
>
> Aber wie schaut dies mit der Konvergenz aus?
> Du hast geschrieben:
> Die Folge [mm]\left( \arctan n \right)_{n \geq 1}[/mm] ist in
> [mm]\mathbb{R}[/mm], versehen mit der gewöhnlichen Metrik (auch:
> natürliche Metrik, Standardmetrik, euklidische Metrik
> genannt) konvergent,
Ja, das ist so.
>
> Bei CF bestimmt ja die Metrik den Abstand zweier
> Folgenglieder.
Ja
> Ist es bei der Konvergenz so, dass die Metrik den Abstand
> zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert bestimmt?
Ja, ist [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in einem metrischen Raum (M,d) und ist [mm] x_0 [/mm] der Limes von [mm] (x_n), [/mm] so ist der Abstand von [mm] x_n [/mm] und [mm] x_0 [/mm] gegeben durch
[mm] d(x_n,x_0).
[/mm]
> Also sind Metriken essentiell für die Bestimmung von
> Abständen, die bei Konvergenz, Cauchy-Folgen, ...
> gebraucht werden?
Na klar, aber nochmal: erst wenn man eine Metrik hat, kann man von Konvergenz, Cauchy-Folgen, ... bezügl. der Metrik reden.
>
> Noch zu deiner Idee: Hm dazu kann ich wenig sagen, da
> Topologie erst im höheren Semester drangekommen wäre.
> Diese Aufgabe war eine aus der Analysis 1, der Professor
> wollte Metriken vorziehen :)
> Ich habe das Studium abgebrochen, da ich es nicht
> geschafft habe, alles was der Professor vorführt und alle
> Aufgaben in einem Semester zu verstehen. Dabei sind viele
> weitergekommen, indem sie vieles hingenommen und nicht
> wirklich verstanden haben ... aber mein Interesse für die
> Mathematik ist nach wie vor sehr hoch und nun betrachte ich
> Aufgaben und Beweise für mich, mit Zeit :)
Sehr löblich !
FRED
>
> Viele Grüße,
> X3nion
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 19.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
>
> Noch zu deiner Idee: Hm dazu kann ich wenig sagen, da
> Topologie erst im höheren Semester drangekommen wäre.
> Diese Aufgabe war eine aus der Analysis 1, der Professor
> wollte Metriken vorziehen :)
> Ich habe das Studium abgebrochen, da ich es nicht
> geschafft habe, alles was der Professor vorführt und alle
> Aufgaben in einem Semester zu verstehen. Dabei sind viele
> weitergekommen, indem sie vieles hingenommen und nicht
> wirklich verstanden haben ... aber mein Interesse für die
> Mathematik ist nach wie vor sehr hoch und nun betrachte ich
> Aufgaben und Beweise für mich, mit Zeit :)
> Sehr löblich !
erstmal danke ich für die Antwort und für das Lob! 
> also verstanden habe ich, dass Cauchy-Folgen in einem
> Körper immer versehen sind mit einer Metrik.
Der Satz hat wirklich keinen Sinn gemacht, da hast du Recht.
Anders ausgedrückt: im Beispiel der reellen Zahlen benötige ich ein Maß für einen Abstand, welcher zum Beispiel bei Cauchy-Folgen den Abstand zweier Folgenglieder rausspuckt, bei konvergenten Folgen den Abstand zwischen Folgengliedern und Grenzwert, ...
Also summa summarum mache ich bei dem Beweis im ersten Teil ja folgendes:
ich zeige zunächst, dass die definierte Folge [mm] (n)_{n\ge1} [/mm] in [mm] \IR [/mm] bzgl. der arctan-Metrik. eine Cauchy-Folge ist, also in [mm] (\IR, [/mm] d).
Dazu nehme ich mir die Folge [mm] (arctan(n))_{n\ge1} [/mm] zu Hilfe. Von dieser weiß ich, dass sie in [mm] \IR [/mm] bzgl. der Standardmetrik konvergiert. Da jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist, ist die Folge [mm] (arctan(n))_{n\ge1} [/mm] in [mm] (\IR, d^{1}) [/mm] eine Cauchy-Folge, also in [mm] \IR [/mm] bzgl. der Standardmetrik.
Also gibt es zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] \forall n,m\ge [/mm] N gilt: |arctan(n) - arctan(m)| < [mm] \epsilon.
[/mm]
Dies ist aber gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Folge [mm] (n)_{n\ge1} [/mm] eine CF in [mm] \IR [/mm] bzgl. der arctan-Metrik ist, denn:
Es gibt zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] \forall n,m\ge [/mm] N gilt: |arctan(n) - arctan(m)| < [mm] \epsilon. [/mm] (dasselbe, was oben steht).
Also ist meine Folge [mm] (n)_{n\ge1} [/mm] eine CF in [mm] (\IR, [/mm] d).
Wäre mein Gedankengang soweit richtig?
Gruß X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Di 19.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> >
> > Noch zu deiner Idee: Hm dazu kann ich wenig sagen, da
> > Topologie erst im höheren Semester drangekommen wäre.
> > Diese Aufgabe war eine aus der Analysis 1, der
> Professor
> > wollte Metriken vorziehen :)
> > Ich habe das Studium abgebrochen, da ich es nicht
> > geschafft habe, alles was der Professor vorführt und
> alle
> > Aufgaben in einem Semester zu verstehen. Dabei sind
> viele
> > weitergekommen, indem sie vieles hingenommen und nicht
> > wirklich verstanden haben ... aber mein Interesse für
> die
> > Mathematik ist nach wie vor sehr hoch und nun betrachte
> ich
> > Aufgaben und Beweise für mich, mit Zeit :)
>
> > Sehr löblich !
>
> erstmal danke ich für die Antwort und für das Lob!
>
> > also verstanden habe ich, dass Cauchy-Folgen in einem
> > Körper immer versehen sind mit einer Metrik.
>
> Der Satz hat wirklich keinen Sinn gemacht, da hast du
> Recht.
> Anders ausgedrückt: im Beispiel der reellen Zahlen
> benötige ich ein Maß für einen Abstand, welcher zum
> Beispiel bei Cauchy-Folgen den Abstand zweier Folgenglieder
> rausspuckt, bei konvergenten Folgen den Abstand zwischen
> Folgengliedern und Grenzwert, ...
>
> Also summa summarum mache ich bei dem Beweis im ersten Teil
> ja folgendes:
> ich zeige zunächst, dass die definierte Folge [mm](n)_{n\ge1}[/mm]
> in [mm]\IR[/mm] bzgl. der arctan-Metrik. eine Cauchy-Folge ist,
> also in [mm](\IR,[/mm] d).
> Dazu nehme ich mir die Folge [mm](arctan(n))_{n\ge1}[/mm] zu Hilfe.
> Von dieser weiß ich, dass sie in [mm]\IR[/mm] bzgl. der
> Standardmetrik konvergiert. Da jede konvergente Folge eine
> Cauchy-Folge ist, ist die Folge [mm](arctan(n))_{n\ge1}[/mm] in
> [mm](\IR, d^{1})[/mm] eine Cauchy-Folge, also in [mm]\IR[/mm] bzgl. der
> Standardmetrik.
> Also gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein N [mm]\in \IN,[/mm] sodass
> [mm]\forall n,m\ge[/mm] N gilt: |arctan(n) - arctan(m)| < [mm]\epsilon.[/mm]
> Dies ist aber gleichbedeutend mit der Aussage, dass die
> Folge [mm](n)_{n\ge1}[/mm] eine CF in [mm]\IR[/mm] bzgl. der arctan-Metrik
> ist, denn:
> Es gibt zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein N [mm]\in \IN,[/mm] sodass [mm]\forall n,m\ge[/mm]
> N gilt: |arctan(n) - arctan(m)| < [mm]\epsilon.[/mm] (dasselbe, was
> oben steht).
> Also ist meine Folge [mm](n)_{n\ge1}[/mm] eine CF in [mm](\IR,[/mm] d).
>
> Wäre mein Gedankengang soweit richtig?
Ja, alles richtig
FRED
>
>
> Gruß X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Do 21.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
vielen Dank euch allen nochmal für die Antworten und Erklärungen - ich habe den Beweis nun verstanden
Viele Grüße,
X3nion
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