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Vollständigkeit, metr. Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Do 20.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Sei [mm] $(Y,\tau)$ [/mm] ein topologischer Raum mit [mm] $Y\neq\emptyset$ [/mm] und $(X,d)$ ein metr. Raum. Wir definieren

[mm] $C_b(Y,X)=\{f:Y\to X|f\quad\text{stetig und beschränkt}\}$ [/mm]

und [mm] $D(f,g)=sup_{y\in Y} [/mm] d(f(y),g(y))$ die Metrik auf [mm] $C_b(Y,X)$. [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] genau dann vollständig ist, wenn $X$ vollständig ist.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Mein Beweis geht wie folgt:

[mm] "$\Rightarrow$" [/mm]

Sei [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ein vollständiger metrischer Raum, und sei [mm] $(f_i(y))_{i\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchyfolge in $X$.
Dann existiert für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $d(f_n(y),f_m(y))<\epsilon$ [/mm] für alle $m,n>N$.

Da [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] vollständig, und [mm] $D(f_m,f_n)=sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))<\epsilon$, [/mm] existiert ein [mm] $f\in C_b(Y,X)$ [/mm] mit [mm] $f_i\to [/mm] f$.
Also [mm] $D(f_i,f)<\epsilon\Rightarrow d(f_i(y), f(y))<\epsilon$. [/mm]
Also konvergiert [mm] $f_i(y)\to [/mm] f(y)$ in $X$.

Die Rückrichtung geht analog:

[mm] "$\Leftarrow$" [/mm]

Sei $X$ ein vollständiger metrischer Raum und sei [mm] $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $C_b(Y,X)$. [/mm]
Dann existiert für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $D(f_n,f_m)<\epsilon$ [/mm] für alle $m,n> N$.

Da $X$ vollständig ist und [mm] $d(f_m(y),f_n(y))\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)<\epsilon$ [/mm] existiert ein [mm] $f(y)\in [/mm] X$ mit [mm] $f_i(y)\to [/mm] f(y)$.
Also [mm] $d(f_i(y), f(y))<\epsilon\Rightarrow D(f_i,f)<\epsilon$. [/mm]
Somit konvergiert [mm] $f_i\to [/mm] f$ in [mm] $C_b(Y,X)$. [/mm]


Ist der Beweis so in Ordnung?

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Do 20.10.2016
Autor: fred97


> Sei [mm](Y,\tau)[/mm] ein topologischer Raum mit [mm]Y\neq\emptyset[/mm] und
> [mm](X,d)[/mm] ein metr. Raum. Wir definieren
>  
> [mm]C_b(Y,X)=\{f:Y\to X|f\quad\text{stetig und beschränkt}\}[/mm]
>  
> und [mm]D(f,g)=sup_{y\in Y} d(f(y),g(y))[/mm] die Metrik auf
> [mm]C_b(Y,X)[/mm].
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]C_b(Y,X)[/mm] genau dann vollständig ist, wenn
> [mm]X[/mm] vollständig ist.
>  Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Mein Beweis geht wie folgt:
>  
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>  
> Sei [mm]C_b(Y,X)[/mm] ein vollständiger metrischer Raum, und sei
> [mm](f_i(y))_{i\in\mathbb{N}}[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]X[/mm].


hä?  komisch. woher kommen denn die [mm] f_i, [/mm] was ist y ??  Du musst eine beliebige  Cauchy-Folge in X hernehmen.


>  Dann existiert für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so,
> dass [mm]d(f_n(y),f_m(y))<\epsilon[/mm] für alle [mm]m,n>N[/mm].
>  
> Da [mm]C_b(Y,X)[/mm] vollständig, und [mm]D(f_m,f_n)=sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))<\epsilon[/mm],
> existiert ein [mm]f\in C_b(Y,X)[/mm] mit [mm]f_i\to f[/mm].
>  Also
> [mm]D(f_i,f)<\epsilon\Rightarrow d(f_i(y), f(y))<\epsilon[/mm].
>  
> Also konvergiert [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm] in [mm]X[/mm].
>  
> Die Rückrichtung geht analog:
>  
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>  
> Sei [mm]X[/mm] ein vollständiger metrischer Raum und sei
> [mm](f_i)_{i\in\mathbb{N}}[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]C_b(Y,X)[/mm].
>  Dann existiert für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so,
> dass [mm]D(f_n,f_m)<\epsilon[/mm] für alle [mm]m,n> N[/mm].
>  
> Da [mm]X[/mm] vollständig ist und [mm]d(f_m(y),f_n(y))\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)<\epsilon[/mm]
> existiert ein [mm]f(y)\in X[/mm] mit [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm].
>  Also [mm]d(f_i(y), f(y))<\epsilon\Rightarrow D(f_i,f)<\epsilon[/mm].
>  
> Somit konvergiert [mm]f_i\to f[/mm] in [mm]C_b(Y,X)[/mm].
>  
>
> Ist der Beweis so in Ordnung?


der erste teil war quark

der zweite Teil ist o.k.


>
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Sa 22.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Dann noch einmal zum ersten Teil:

Sei [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine beliebige Cauchyfolge in $X$.
[mm] $\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass [mm] $\forall m,n>\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\epsilon$. [/mm]

Sei [mm] $f_n(y)=x_n$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] Y$.
Dann ist [mm] $d(x_m,x_n)\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)$ [/mm]

Da [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] vollständig ist, gibt es ein [mm] $f\in C_b(Y,X)$ [/mm] mit [mm] $f_i(y)\to [/mm] f(y)$ und [mm] $D(f_n, f)<\epsilon$. [/mm]

Ich komme aber irgendwie nicht weiter...

Bezug
                        
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Sa 22.10.2016
Autor: Helbig

Hallo,

beachte, dass $f$ eine konstante Funktion ist. Die Folge der [mm] $x_i$ [/mm] konvergiert gegen diesen konstanten Wert von $f$.

OK?

Bezug
                                
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Sa 22.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Leider nein.
Ich weiß nicht, wie ich weiter komme. Auch nicht nach deinem Tipp. :(

Bezug
                                        
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 22.10.2016
Autor: Helbig

Fuer alle $y$ ist $f(y) = [mm] \lim f_i(y) [/mm] = [mm] \lim x_i$. [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Sa 22.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Oh, das heißt also, dass [mm] $x_i\to [/mm] f(y)$ konvergiert.
Also ist $X$ vollständig.

Bezug
                                                        
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Sa 22.10.2016
Autor: Helbig

Genau dieses!

Bezug
                                                                
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Sa 22.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Den Beweis würde ich also nun so beenden:

Sei $ [mm] (x_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] $ eine beliebige Cauchyfolge in $ X $.
$ [mm] \forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N} [/mm] $ so, dass $ [mm] \forall m,n>\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\epsilon [/mm] $.

Sei $ [mm] f_n(y)=x_n [/mm] $ für alle $ [mm] y\in [/mm] Y $.
Dann ist $ [mm] d(x_m,x_n)\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n) [/mm] $

Da $ [mm] C_b(Y,X) [/mm] $ vollständig ist, gibt es ein $ [mm] f\in C_b(Y,X) [/mm] $ mit $ [mm] f_i(y)\to [/mm] f(y) $ und $ [mm] D(f_n, f)<\epsilon [/mm] $.
Also [mm] $f_n\to [/mm] f$. Wegen [mm] $f(y)=\lim f_n(y)=\lim x_n$, [/mm] gilt also [mm] $x_n\to [/mm] f(y)$.
Somit hat jede Cauchyfolge in $X$ einen Grenzwert, und $X$ ist damit vollständig.

Bezug
                                                                        
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:21 So 23.10.2016
Autor: tobit09


> Den Beweis würde ich also nun so beenden:
>  
> Sei [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine beliebige Cauchyfolge in [mm]X [/mm].
> [mm]\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}[/mm] so, dass [mm]\forall m,n>\mathbb{N}: d(x_n,x_m)<\epsilon [/mm].

Guter Start.


> Sei [mm]f_n(y)=x_n[/mm] für alle [mm]y\in Y [/mm].

Ausführlicher: Wir definieren für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine Abbildung [mm] $f_n\colon Y\to [/mm] X$ durch [mm] $f_n(y):=x_n$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] Y$.
Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt dann: [mm] $f_n$ [/mm] ist eine konstante Abbildung, insbesondere ist [mm] $f_n$ [/mm] stetig und beschränkt, also [mm] $f_n\in C_b(Y,X)$. [/mm]

Nun wollen wir zeigen, dass die Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ist.

> Dann ist [mm]d(x_m,x_n)\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)[/mm]

... für alle [mm] $n,m\in\IN$. [/mm]

Nicht falsch, aber das hilft uns nicht weiter für den Nachweis, dass [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ist.

Vielmehr benötigen wir die umgekehrte Ungleichung [mm] $D(f_m,f_n)\le d(x_m,x_n)$, [/mm] die aber glücklicherweise auch für alle [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] gilt.


> Da [mm]C_b(Y,X)[/mm] vollständig ist, gibt es ein [mm]f\in C_b(Y,X)[/mm] mit
> [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm] und [mm]D(f_n, f)<\epsilon [/mm].
> Also [mm]f_n\to f[/mm].

Zunächst einmal gibt es wegen der Vollständigkeit von [mm] $C_b(Y,X)$ [/mm] ein [mm] $f\in C_b(Y,X)$ [/mm] mit [mm] $f_n\to [/mm] f$ für [mm] $n\to\infty$. [/mm]
Dann kann man sich überlegen, dass für jedes [mm] $y\in [/mm] Y$ auch [mm] $f_n(y)\to [/mm] f(y)$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] folgt.

> Wegen [mm]f(y)=\lim f_n(y)=\lim x_n[/mm], gilt also
> [mm]x_n\to f(y)[/mm].

Was für ein y nimmst du hier?
Glücklicherweise ist Y als nichtleer vorausgesetzt, so dass tatsächlich ein [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert, mithilfe dessen du so schließen kannst.


>  Somit hat jede Cauchyfolge in [mm]X[/mm] einen
> Grenzwert, und [mm]X[/mm] ist damit vollständig.

Ja.

Bezug
        
Bezug
Vollständigkeit, metr. Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:42 Fr 21.10.2016
Autor: tobit09

Hallo impliziteFunktion!


Vorweg: Ich möchte mich im Moment nicht ausführlich mit dieser Aufgabe beschäftigen und weise daher nur auf Probleme hin, ohne sie selbst zu lösen.


> Die Rückrichtung geht analog:
>  
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>  
> Sei [mm]X[/mm] ein vollständiger metrischer Raum und sei
> [mm](f_i)_{i\in\mathbb{N}}[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]C_b(Y,X)[/mm].
>  Dann existiert für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] so,
> dass [mm]D(f_n,f_m)<\epsilon[/mm] für alle [mm]m,n> N[/mm].
>  
> Da [mm]X[/mm] vollständig ist und [mm]d(f_m(y),f_n(y))\leq sup_{y\in Y} d(f_m(y),f_n(y))=D(f_m,f_n)<\epsilon[/mm]
> existiert ein [mm]f(y)\in X[/mm] mit [mm]f_i(y)\to f(y)[/mm].

Damit ist [mm] $f\colon Y\to [/mm] X$ konstruiert. Warum gilt [mm] $f\in C_b(Y,X)$, [/mm] also warum ist f beschränkt und stetig?


>  Also [mm]d(f_i(y), f(y))<\epsilon\Rightarrow D(f_i,f)<\epsilon[/mm].

Genauer formuliert meinst du offenbar:
Zu jedem [mm] $y\in [/mm] Y$ und zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $I_{\epsilon,y}\in\IN$ [/mm] mit [mm] $d(f_i(y),f(y))<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $i\ge I_{\epsilon,y}$. [/mm]
Nun behauptest du, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $I_\epsilon\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $D(f_i,f)<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $i\ge I_\epsilon$. [/mm]

Sei also [mm] $\epsilon>0$ [/mm] vorgegeben. Warum gibt es dann ein solches [mm] $I_\epsilon$? [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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