Volterrascher Integraloperator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei [mm] $k\in C([0,1]^2)$. [/mm] Der Integraloperator [mm] $T_k: C[0,1]\rightarrow [/mm] C[0,1]$,
[mm] $$(T_k x)(s)=\int_0^s [/mm] k(s,t)x(t)dt$$
heißt dann [mm] \textit{Volterrascher Integraloperator}. [/mm] Zeige, dass [mm] $T_k$ [/mm] wohldefiniert und kompakt ist. |
Hi,
ich peil immer nicht, was mit wohldefiniert gemeint ist, soll ich da zeigen, dass [mm] $T_k$ [/mm] auch wirklich nach $C[0,1]$ abbildet?
Und wie zeig ich die Kompaktheit des Operators? Ich hab mich noch nicht so recht mit diesen "relativ kompakten" Mengen angefreundet!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]k\in C([0,1]^2)[/mm]. Der Integraloperator [mm]T_k: C[0,1]\rightarrow C[0,1][/mm],
>
> [mm](T_k x)(s)=\int_0^s k(s,t)x(t)dt[/mm]
> heißt dann
> [mm]\textit{Volterrascher Integraloperator}.[/mm] Zeige, dass [mm]T_k[/mm]
> wohldefiniert und kompakt ist.
> Hi,
>
> ich peil immer nicht, was mit wohldefiniert gemeint ist,
> soll ich da zeigen, dass [mm]T_k[/mm] auch wirklich nach [mm]C[0,1][/mm]
> abbildet?
Genau das !
>
> Und wie zeig ich die Kompaktheit des Operators? Ich hab
> mich noch nicht so recht mit diesen "relativ kompakten"
> Mengen angefreundet!
Der Kern k lässt sich auf [mm] [0,1]^2 [/mm] gleichmäßig durch Polynome [mm] k_n [/mm] approximieren (Approximationssatz von Weierstraß)
[mm] P_n [/mm] sei der Volterrasche Integraloperator mit Kern [mm] k_n.
[/mm]
Dann ist [mm] P_n [/mm] stetig und endlichdimensional, insbes. also kompakt.
Zeige: [mm] (P_n) [/mm] konvergiert in der Operatorennorm gegen [mm] T_k
[/mm]
FRED
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Do 04.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Die Kompaktheit müsste ich doch mit diesem Satz zeigen können:
Seien $X$ und $Y$ Banachräume, [mm] $T\in [/mm] L(X,Y)$. Falls eine Folge [mm] $(T_n)$ [/mm] stetiger linearer Operatoren mit endlichdimensionalen Bild und [mm] $||T_n-T||\rightarrow [/mm] 0$ existiert, so ist $T$ kompakt .
Die Frage ist nur, wie ich mir so eine Folge konstruiere. Ich hatte an Polynome gedacht, allerdings stört mich die Endlichdimension des Bildes. Idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Kompaktheit müsste ich doch mit diesem Satz zeigen
> können:
> Seien [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] Banachräume, [mm]T\in L(X,Y)[/mm]. Falls eine Folge
> [mm](T_n)[/mm] stetiger linearer Operatoren mit endlichdimensionalen
> Bild und [mm]||T_n-T||\rightarrow 0[/mm] existiert, so ist [mm]T[/mm] kompakt
Ja. Damit kannst Du es zeigen. Das hatte ich oben gemeint.
> .
>
> Die Frage ist nur, wie ich mir so eine Folge konstruiere.
Das habe ich Dir doch oben gesagt !!!
> Ich hatte an Polynome gedacht,
Oben sprach ich von Polynomen !!!!
>allerdings stört mich die
> Endlichdimension des Bildes. Idee?
Was stört Dich daran ??? Du brauchst doch gerade stetige endlichdim. Operatoren.
Hast Du meine obige Antwort überhaupt gelesen ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:30 Do 04.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Entschuldige, hab bevor ich gerad geposted hab nicht nochmal drüber geschaut. Also, was ich nicht verstehe: Warum ist das Bild von
[mm] $$(P_nx)(s)=\int_0^s k_n(s,t)x(t)dt$$
[/mm]
endlichdimensional? Mach ich das über den Kern-Bild-Satz? Dafür müsste ich ja wieder die Dimension des Kerns kennen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Habs doch anders gemacht - mit Arzela-Ascoli, da muss ich nur zeigen, dass das Bild von [mm] $T_k$ [/mm] beschränkt ist und [mm] $T_k$ [/mm] gleichgradig stetig ist. Trotzdem danke für deine Hilfe!!!
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