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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 20.09.2006 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | | Einem Kegel mit dem Radius r=5cm und der Höhe h=40cm soll ein zweiter Kegel so einbeschrieben werden, dass dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche des ersten Kegels liegt. Wie sind die Höhe und der Radius des einbeschriebenen Kegels zu wählen, damit sein Volumen maximal wird? |
Hi,
war eine Klausuraufgabe von eine parallel-12-LK-Mathe kurs, dessen aufgaben ich heute zum üben erhalten habe.
Wäre für Tipps sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo bonanza!
Wie sieht es denn mit Deinen eigenen Ideen / Lösungsansätzen aus? 
Zunächst einmal machen wir uns eine Skizze, und zwar einen Schnitt mitten durch den bzw. die beiden Kegel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als Hauptbedingung haben wir nun die Volumenformel eines Kegels mit den zu bestimmenden Größen $h_$ und $r_$ :
[mm] $V_{\text{Kegel}} [/mm] \ = \ V(r,h) \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^2*h$
[/mm]
Und aus der Skizze können wir nun mittels Strahlensatz die Nebenbedingung aufstellen, sprich: die Beziehung zwischen $h_$ und $r_$ .
[mm] $\bruch{40-h}{\red{40}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r}{5}$
[/mm]
Diese Gleichung nun nach $h_$ oder $r_$ auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen. Mit dieser dann gewonnenen Zielfunktion die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 20.09.2006 | | Autor: | bonanza |
> Und aus der Skizze können wir nun mittels Strahlensatz die
> Nebenbedingung aufstellen, sprich: die Beziehung zwischen
> [mm]h_[/mm] und [mm]r_[/mm] .
>
> [mm]\bruch{40-h}{h} = \bruch{r}{5}[/mm]
Warum [mm] \bruch{40-h}{h} [/mm] = [mm] \bruch{r}{5} [/mm] ?
gilt denn nicht :
[mm] \bruch{40}{h} [/mm] = [mm] \bruch{5}{r} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Bonanza,
> > Und aus der Skizze können wir nun mittels Strahlensatz die
> > Nebenbedingung aufstellen, sprich: die Beziehung zwischen
> > [mm]h_[/mm] und [mm]r_[/mm] .
> >
> > [mm]\bruch{40-h}{h} = \bruch{r}{5}[/mm]
>
>
> Warum [mm]\bruch{40-h}{h}[/mm] = [mm]\bruch{r}{5}[/mm] ?
>
> gilt denn nicht :
>
> [mm]\bruch{40}{h}[/mm] = [mm]\bruch{5}{r}[/mm] ?
Das gilt auch nicht.
Beim 2. Strahlensatz musst du immer vom Scheitelpunkt ausgehen, also:
[mm]\bruch{40-h}{40}[/mm] = [mm]\bruch{r}{5}[/mm]
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 20.09.2006 | | Autor: | bonanza |
Wikipedia:
Je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
[Dateianhang nicht öffentlich]
daran sieht man doch, dass meine aussagen korrekt sein müsste oder habe ich etwas übersehen ?!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Bonanza,
> Wikipedia:
> Je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie
> die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
Das ist der 1. Strahlensatz
> daran sieht man doch, dass meine aussagen korrekt sein
> müsste oder habe ich etwas übersehen ?!
r und 5cm sind doch Abschnitte auf den Parallelen, nicht auf einem Strahl, also brauchst du den 2. Strahelensatz.
Gruß
Sigrid
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