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Forum "Extremwertprobleme" - Volumen-Oberflächenberechnung!
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Volumen-Oberflächenberechnung!: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Fr 14.12.2007
Autor: Isaak

Aufgabe 1
Ein zylinderförmiger Blechbecher soll das Volumen 1000cm³ haben.
Wie groß muss man den Radius und die Höhe wählen, damit der Blechverbrauch möglichst gering ist?

Aufgabe 2
Welches Volumen hat die größtmögliche Dose bei gegebener Oberfläche?
O = 200cm²

a) mit Deckel
b) ohne Deckel

Hey,

bei beiden Aufgaben sind, glaube ich, sowohl die Formel
[mm] V=\pi*r²*h [/mm] und [mm] O=2*\pi*r²+2*\pi*r*h [/mm] von nöten.
Ich habe leider keine Ahnung wie ich eine Differentialrechnung mit den Formeln anstellen kann!
Um für I. den "möglichst geringen Blechverbrauch" zu berechnen, ist glaub ich eine Ableitung nötig!
Bei II. muss man nur noch drauf achten, einmal die Oberfläche auf die Mantelfläche und nur "einmal" auf eine Grundfläche zu legen(->b)
Leider kann ich weder die eine noch die andere Aufgabe berechnen...

Ich hoffe ihr könnt mir helfen !

mfg isger
        
Bezug
Volumen-Oberflächenberechnung!: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Fr 14.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Isaak!



> bei beiden Aufgaben sind, glaube ich, sowohl die Formel [mm]V=\pi*r²*h[/mm]

[ok]


> und [mm]O=2*\pi*r²+2*\pi*r*h[/mm] von nöten.

[notok] Diese Formel gilt nur für Becher / Dose mit Deckel. Ohne Deckel gilt:
$O \ = \ [mm] \pi*r^2+2*\pi*r*h$ [/mm] .

Bei Aufgabe 1 musst Du nun die Volumenformel nach $h \ = \ ...$ umformen und in die Oberflächenformel einsetzen.

Damit hast Du dann eine Funktion, die nur noch von $r_$ abhängt.

Hiervon dann die entsprechende Extremwertberechnung (Nullstelle der 1. Ableitung etc.) durchführen.


Bei Aufgabe 2 musst Du die Oberflächenformel nach $h \ = \ ...$ umformen und in die Volumenformel einsetzen.

Weitere Vorgehensweise wie bei 1 ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Volumen-Oberflächenberechnung!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Fr 14.12.2007
Autor: Isaak

Hey,

danke für die schnelle Antwort!
Nach Umstellung der Volumen-Formel nach h, kommt folgenes raus;
[mm] \bruch{1000cm³}{\pi*r²} [/mm] eingefügt in die Oberflächenformel;
O= [mm] 2*\pi*r²+2*\pi*r*\bruch{1000cm³}{\pi*r²}... [/mm]
darf ich wie folgt kürzen?!;
[mm] O=2*\pi*r²+\bruch{2000cm³}{r} [/mm]

Sieht die Ableitung, denn so richtig aus?! ;
[mm] O=\bruch{6000cm²}{r}+4*\pi*r [/mm]

PS: Ist dies richtig oder wo mache ich den "entschiedenen" Denkfehler?

mfg isger
Bezug
                        
Bezug
Volumen-Oberflächenberechnung!: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Fr 14.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Isaak!


> Nach Umstellung der Volumen-Formel nach h, kommt folgenes raus;
> [mm]\bruch{1000cm³}{\pi*r²}[/mm]

[ok]


> eingefügt in die Oberflächenformel;
> O= [mm]2*\pi*r²+2*\pi*r*\bruch{1000cm³}{\pi*r²}...[/mm]

[notok] Es muss zu Beginn $O(r) \ = \ [mm] \red{1}*\pi*r^2+2*\pi*r*\bruch{1000}{\pi*r^2}$ [/mm] heißen.
Schließlich hat ein Becher (nach meinem Verständnis) keinen Deckel oben drauf.


> darf ich wie folgt kürzen?!;  [mm]O=2*\pi*r²+\bruch{2000cm³}{r}[/mm]

[ok] Ja, das Kürzen ist erlaubt und sinnvoll!


> Sieht die Ableitung, denn so richtig aus?! ;
> [mm]O=\bruch{6000cm²}{r}+4*\pi*r[/mm]

[notok] Zum einen ist der Faktor $2_$ zuviel (s.o.) und dann hast Du den Bruch falsch abgeleitet. Nach welcher Regel bist Du hier vorgegangen?

Man kann auch schreiben [mm] $\bruch{2000}{r} [/mm] \ = \ [mm] 2000*r^{-1}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

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