Volumen - Rotation um y-Achse < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Kurve y²+(x-3)² =2,25 (x>=3) rotiere um die y-Achse. Man berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. |
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage zu diese Aufgabe ist, wie man die Gleichung am besten nach x umstellt, oder wie man das Volumen sonst berechnen kann ohne nach x umzustellen. Nach y geht das ja einfach... den Rest schaff ich dann alleine ^^
mfg, maria
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Mo 09.07.2007 | | Autor: | barsch |
Sorry, habe jetzt erst gesehen, dass du um die y-Achse rotieren lassen willst.
Ich hätte wohl:
![[keineahnungfressehalten]](/images/smileys/keineahnungfressehalten.gif "[keineahnungfressehalten]")
MfG
barsch
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Hallo bellrings2!
Zunächst ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Kurve y²+(x-3)² =2,25 (x>=3) rotiere um die y-Achse.
> Man berechne das Volumen des entstehenden
> Rotationskörpers.
> #
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Frage zu diese Aufgabe ist, wie man die Gleichung am
> besten nach x umstellt, oder wie man das Volumen sonst
> berechnen kann ohne nach x umzustellen. Nach y geht das ja
> einfach... den Rest schaff ich dann alleine ^^
> mfg, maria
Knackpunkt ist bei dieser Aufgabe die Tatsache, dass die Kurve um die y-Achse und nicht wie üblich um die x-achse rotieren soll. Das Volumen kannst du hier berechnen, indem du die Umkehrfunktion zu deiner Funktion ermittelst und diese dann in die entsprechende Formel [mm] V_{x}=\pi*\integral_{a}^{b}{[f(x)]^{2} dx} [/mm] einsetzt. (Vorher natürlich noch die Integrationsgrenzen a und b ermitteln!)
Gruß,
Tommy
PS: Meines Wissens nach gibt es noch eine alternative Formel zur Volumenbestimmung, wenn die Funktion um die y-Achse rotiert. Wenn du diese benutzt erspart sich natürlich der Zwischenschrittmit der Umkehrfunktion.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo bellrings2,
deine Frage war ja, wie man die Gleichung umstellt.
[mm]y^2+(x-3)^2=2,25=1,5^2[/mm]
Das ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt (3/0) und dem Radius 1,5. Lässt Du ihn um die y-Achse rotieren, erhälst Du einen Torus.
[mm](x-3)^2=2,25-y^2[/mm]
[mm]x-3=\wurzel{2,25-y^2}[/mm]
[mm]x_{(y)}=\wurzel{2,25-y^2}+3[/mm]
Einsetzen in die Rotationsformel:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{a}^{b} x_{(y)}^2\, dy [/mm]
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{-1,5}^{1,5} (\wurzel{2,25-y^2}+3)^2\, dy [/mm]
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{-1,5}^{1,5} 2,25-y^2+6*\wurzel{2,25-y^2}+9\, dy [/mm]
[mm]V_{y}=\pi*\left[11,25*y-\bruch{1}{3}*y^3 + 3*\left(y*\wurzel{1,5^2-y^2} +2,25*arcsin\left(\bruch{y}{1,5}\right)\right) \right]_{-1,5}^{1,5} [/mm]
[mm] V_{y}=165,59
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Di 10.07.2007 | | Autor: | bellrings2 |
Das ging aber wirklich schnell. Die von Antwort Martinius hat mir wirklich sehr weitergeholfen. Vielen lieben Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Di 10.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo bellrings2,
ich hatte im vorherigen post den Faktor [mm] \pi [/mm] vergessen, bei der Rotationsformel. Hab's berichtigt.
sorry.
Martinius
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