Volumen Kegel Satz von Gauß < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Wir betrachten einen Kegel mit der Höhe h und dem Radius a an der Grundfläche. Die Grundfläche liege in der xy- Ebene. Berechne das Volumen des Kegels. |
Hi,
da wir gerade den Satz von Gauß hatten, außerdem mit dem Kegel ein geschlossener Körper gemeint ist und man mit dem Satz auch Volumina berechnen kann, denke ich, dass ich ihn hier anwenden soll.
Meine Idee war bisher entweder das Koordinatensystem verschieben, so dass die Spitze des Kegels im Ursprung liegt, weil dann teta konstant ist (ich glaub aber, dass das gar nicht nötig ist, wir hatten das nur schonmal so gemacht, ich glaube bei Oberffächenberechnung). Auf jeden fall wollte ich den Kegel in Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten umschreiben. Nur wenn ich den Satz von Gauß anwenden will, dann hab ich ein Problem mit dem Vektorfeld... ich hab ja gar keins gegeben... Daher frag ich mich ob ich überhaupt auf dem richtigen Dampfer bin.
LG
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Wir betrachten einen Kegel mit der Höhe h und dem Radius a
> an der Grundfläche. Die Grundfläche liege in der xy-
> Ebene. Berechne das Volumen des Kegels.
> Hi,
>
> da wir gerade den Satz von Gauß hatten, außerdem mit dem
> Kegel ein geschlossener Körper gemeint ist und man mit dem
> Satz auch Volumina berechnen kann, denke ich, dass ich ihn
> hier anwenden soll.
> Meine Idee war bisher entweder das Koordinatensystem
> verschieben, so dass die Spitze des Kegels im Ursprung
> liegt, weil dann teta konstant ist (ich glaub aber, dass
> das gar nicht nötig ist, wir hatten das nur schonmal so
> gemacht, ich glaube bei Oberffächenberechnung). Auf jeden
> fall wollte ich den Kegel in Kugelkoordinaten oder
> Zylinderkoordinaten umschreiben.
Zylinderkoordinaten sind besser, weil der Kegel nur rotationssymmetrisch um eine Achse ist.
> Nur wenn ich den Satz von
> Gauß anwenden will, dann hab ich ein Problem mit dem
> Vektorfeld... ich hab ja gar keins gegeben... Daher frag
> ich mich ob ich überhaupt auf dem richtigen Dampfer bin.
Das geht. Ich fürchte allerdings, dass diese Rechnung aufwändiger ist als die direkte Berechnung des Volumenintegrals.
Um diesen Weg zu gehen, musst du das Volumenintegral in die richtige Form bringen:
[mm] \integral_V dx = \integral_V \mathop{\mathrm{div} F(x) dx [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
genau dann, wenn $\mathop{\mathrm{div} F(x)=1$.
Such dir also ein Vektorfeld, dessen Divergenz konstant 1 ist. Davon gibt es natürlich viele. Durch eine geschickte Wahl kannst du die Berechnung vereinfachen, zum Beispiel wenn das Vektorfeld parallel zu Teilen der Oberfläche ist.
Ein Beispiel: das Vektorfeld
[mm] F(x,y,z) = \vektor{ax\\by\\cy} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hat die Divergenz $\mathop{\mathrm{div} F = a+b+c$;mit der Bedingung $a+b+c=1$ bist du also dabei.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo Rainer,
also ich kann das auch ganz normal mit Volumenintegral berechnen, aber jetzt frage ich mich wie ich das denn machen könnte...
Die hatten wir kurz vorher auch mal, könnte also auch sein, dass wir diese Teilaufgabe so machen sollen.
Also ich drücke den Kegel in Zylinderkoordinaten aus und integriere dann über phi von 0 bis 2 [mm] \pi, [/mm] über rho von 0 bis ? (hier hab ich keine Ahnung) dann über z von 0 bis h.
den Vektor r = rho mal einheitsvektor rho + z mal einheitsvektor von z? Muss ich da von wegen Maßfaktoren noch etwas beachten?
Liebe Grüße und danke dir für deine Antwort! Ich werd das trotzdem auch mal mit dem Satz von Gauß berechnen... das kann ja nur förderlich sein =)
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Sa 22.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hi Kerstin,
> Hallo Rainer,
>
> also ich kann das auch ganz normal mit Volumenintegral
> berechnen, aber jetzt frage ich mich wie ich das denn
> machen könnte...
> Die hatten wir kurz vorher auch mal, könnte also auch
> sein, dass wir diese Teilaufgabe so machen sollen.
> Also ich drücke den Kegel in Zylinderkoordinaten aus und
> integriere dann über phi von 0 bis 2 [mm]\pi,[/mm] über rho von 0
> bis ? (hier hab ich keine Ahnung) dann über z von 0 bis
> h.
die Integrationsgrenze von [mm] $\rho$ [/mm] ist nicht konstant, sondern ändert sich in Abhängigkeit von $z$, also [mm] $\rho(z)$ [/mm]
Versuch mal, den Parameter [mm] $\rho$ [/mm] in Abhängigkeit von $z$ darzustellen. Dazu malst Du Dir am besten ein Bild.
Noch ein heißer Tipp: Strahlensatz ;)
> den Vektor r = rho mal einheitsvektor rho + z mal
> einheitsvektor von z? Muss ich da von wegen Maßfaktoren
> noch etwas beachten?
nein, das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ist:
[mm] $\mathrm{d}V=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z$
[/mm]
Das berechnet sich ganz allgemein über die Funktionaldeterminante.
>
> Liebe Grüße und danke dir für deine Antwort! Ich werd
> das trotzdem auch mal mit dem Satz von Gauß berechnen...
> das kann ja nur förderlich sein =)
>
> Kerstin
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 So 30.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Ich hab zwar ein bissl gebraucht, aber ich habe es hingekriegt. Danke dir für deine Hilfe!
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