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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:04 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | a) Berechen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph [mm] f(x)=cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] im Intervall [0,1] um die x-Achse rotiert.
b) Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den Funktionsgraphen f(x)=cosh(x) und [mm] g(x)=\bruch{x}{2} [/mm] im Intervall [0,1] um die x-Achse rotiert. |
Hallo,
ich muss die zwei Aufgaben machen und habe ein paar Fragen dazu.
Zu Aufgabe a:
1. Was wird mit cosh(x) gemeint, ist das irgendwie von Bedeutung oder kann man das ignorieren?
2. Die Formel zur Berechnung ist [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2} dx} [/mm] und da bin ich mir leider nicht sicher wie ich mit dem Exponenten 2 umgehen soll? Wenn ich f(x) integriere bekomme ich [mm] F(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) [/mm] raus, aber ich muss ja den Exponenten 2 schon vorher einbeziehen, also habe ich [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}))^{2}dx}. [/mm] Was für eine Regel muss ich da anwenden?
3. Über die Berechnung der Oberfläche des Körpers, weiß ich leider nicht allzu viel. Soll ich die gesamte Oberfläche oder nur die Mantelfläche im Intervall [0,1] ausrechnen? Zur Berechnung der Mantelfläche habe ich folgende Formel gefunden: [mm] 2\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)\wurzel{1+f'(x)^{2}} dx} [/mm] Die Berechnung erscheint mir aber ziemlich kompliziert.
Zu Aufgabe b:
1. Ich muss doch einfach das Volumen von g(x) vom Volumen von f(x) abziehen und bei der Oberflächenberechnung auch?
2. Die Stammfunktion von g(x) müsste doch folgende sein: [mm] \bruch{1}{4}x^{2}?
[/mm]
So das sind erstmal meine Fragen. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
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Hallo Jan,
eine Teilantwort zu (a)
> a) Berechen Sie das Volumen und die Oberfläche des
> Körpers, der entsteht, wenn der Funktionsgraph
> [mm]f(x)=cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})[/mm] im Intervall [0,1]
> um die x-Achse rotiert.
>
> b) Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des
> Körpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den
> Funktionsgraphen f(x)=cosh(x) und [mm]g(x)=\bruch{x}{2}[/mm] im
> Intervall [0,1] um die x-Achse rotiert.
> Hallo,
>
> ich muss die zwei Aufgaben machen und habe ein paar Fragen
> dazu.
>
> Zu Aufgabe a:
> 1. Was wird mit cosh(x) gemeint, ist das irgendwie von
> Bedeutung oder kann man das ignorieren?
Das ist der "cosinus hyperbolicus" und ist einfach der Name der durch [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x+e^{-x}\right)$ [/mm] definierten Funktion.
> 2. Die Formel zur Berechnung ist
> [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und da bin ich mir
> leider nicht sicher wie ich mit dem Exponenten 2 umgehen
> soll? Wenn ich f(x) integriere bekomme ich
> [mm]F(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})[/mm] raus, aber ich muss ja den
> Exponenten 2 schon vorher einbeziehen, also habe ich
> [mm]V=\pi*\integral_{a}^{b}{(\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}))^{2}dx}.[/mm]
> Was für eine Regel muss ich da anwenden?
Binomische Formel, du erhältst:
[mm] $\frac{\pi}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right) \ dx}$ [/mm] ...
Das kannst du summandenweise integrieren ...
> 3. Über die Berechnung der Oberfläche des Körpers,
> weiß ich leider nicht allzu viel. Soll ich die gesamte
> Oberfläche oder nur die Mantelfläche im Intervall [0,1]
> ausrechnen? Zur Berechnung der Mantelfläche habe ich
> folgende Formel gefunden:
> [mm]2\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)\wurzel{1+f'(x)^{2}} dx}[/mm] Die
> Berechnung erscheint mir aber ziemlich kompliziert.
Ist es nicht, wenn du den Term unter der Wurzel mal ausrechnest, ist das genau [mm] $\cosh^2(x)$
[/mm]
Neben der Funktion [mm] $\cosh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x+e^{-x}\right)$ [/mm] gibt es auch die Funkton [mm] $\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$
[/mm]
Es gelten die Zusammenhänge (rechne einfach nach ...):
(1) [mm] $\sinh'(x)=\cosh(x)$ [/mm] und [mm] $\cosh'(x)=\sinh(x)$
[/mm]
(2) [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$, [/mm] also [mm] $\cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)$
[/mm]
Wenn du das einmal allg. zeigst, kannst du das beim Integrieren auch verwenden und musst dich nicht mit den e-Funktionen rumplagen ...
Ach ja: für die gesamte Oberfläche brauchst du neben der Mantelfläche natürlich noch "Deckel" und "Boden" des Rotationsgebildes.
Schaue dir den Graphen von [mm] $\cosh(x)$ [/mm] mal an. Was gibt das denn für ein Gebilde, wenn du es wie in der Aufgebe rotieren lässt?
>
> Zu Aufgabe b:
später ... oder jemand anderes 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich habe nun [mm] \frac{\pi}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right) \ dx} [/mm] berechnet und habe folgendes rausbekommen:
[mm] \bruch{\pi}{4}[\bruch{1}{2}e^{2x}+2x-\bruch{1}{2}e^{-2x}]\limits_{0}^{1}=5.6269*\bruch{\pi}{4}=4,4194
[/mm]
Ist das richtig? Ich werde jetzt mal versuchen die Oberfläche zu berechnen.
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> Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
>
> Ich habe nun
> [mm]\frac{\pi}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right) \ dx}[/mm]
> berechnet und habe folgendes rausbekommen:
>
> [mm]\bruch{\pi}{4}[\bruch{1}{2}e^{2x}+2x-\bruch{1}{2}e^{-2x}]\limits_{0}^{1}=5.6269*\bruch{\pi}{4}=4,4194[/mm]
>
> Ist das richtig?
Hallo,
die Stammfunktion stimmt. Die Zahlen kann ich mangels TR gerade nicht prüfen, aber das Eintippen in den rechner dürfte ja nicht das Problem sein.
Gruß v. Angela
> Ich werde jetzt mal versuchen die
> Oberfläche zu berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Ich habe mir deine Erklärung zu Oberfläche angeschaut und versucht die Formel zu lösen. Du sagst ja, dass der Term unter der Wurzel [mm] cosh^{2}(x) [/mm] ergibt. Da das ja unter der Wurzel ist und den Exponenten 2 hat, würde [mm] \wurzel{cosh^{2}(x)} [/mm] doch cosh(x) ergeben? Also habe ich anschließend [mm] 2\pi\integral_{1}^{0}{(f(x))^{2} dx} [/mm] stehen und das habe ich ja bereits berechnet. Darf ich die Formel so umformen und habe ich irgendwo was falsch gemacht?
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> Ich habe mir deine Erklärung zu Oberfläche angeschaut und
> versucht die Formel zu lösen. Du sagst ja, dass der Term
> unter der Wurzel [mm]cosh^{2}(x)[/mm] ergibt. Da das ja unter der
> Wurzel ist und den Exponenten 2 hat, würde
> [mm]\wurzel{cosh^{2}(x)}[/mm] doch cosh(x) ergeben? Also habe ich
> anschließend [mm]2\pi\integral_{1}^{0}{(f(x))^{2} dx}[/mm] stehen
> und das habe ich ja bereits berechnet.
Hallo,
...mit anderem faktor davor.
> Darf ich die Formel
> so umformen und habe ich irgendwo was falsch gemacht?
Es ist richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Antwort.
Meinst du mit "anderen Faktor davor" [mm] \integral_{1}^{0}, [/mm] was eigentlich [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] sein müsste?
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> Danke für die Antwort.
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> Meinst du mit "anderen Faktor davor" [mm]\integral_{1}^{0},[/mm] was
> eigentlich [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] sein müsste?
Nein, das hab' ich gar nicht gesehen...
Das eine Mal steht [mm] 2\pi [/mm] davor, und das andere Mal [mm] \bruch{\pi}{4}. [/mm] Das meinte ich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Das [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] war bei der Berechnung des Volumens und das [mm] 2\pi [/mm] ist bei der Berechnung der Mantelfläche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Ich habe mal das Volumen von g(x) ausgerechnet: [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{4}x^{2} dx}=\bruch{1}{12}x^{3} [/mm] .... 0,2618
das muss ich von 4,4194 abziehen und als Ergebnis habe ich 4,1576
Ich hoffe, dass das richtig ist.
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Hallo Jan,
> Ich habe mal das Volumen von g(x) ausgerechnet:
> [mm]\red{\pi\cdot{}}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{4}x^{2} dx}=\bruch{1}{12}x^{3}\red{\cdot{}\pi}[/mm]
> .... 0,2618
>
> das muss ich von 4,4194 abziehen und als Ergebnis habe ich
> 4,1576
>
> Ich hoffe, dass das richtig ist.
Jo, das passt so ungefähr
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:54 Do 06.05.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Antwort.
Wie ist das eigentlich mit der Oberfläche in Aufgabe b? Als Mantelfläche von f(x) habe ich 27,768 und die Mantelfläche von g(x) ist 1,963. Die Oberfläche muss ich noch berechnen.
Hier muss ich aber anders als bei dem Volumen die beiden Werte für die Mantelfläche addieren und anschließend die beiden Enden von f(x) dazuaddieren und die von g(x) abziehen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 08.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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