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Forum "Uni-Analysis" - Volumen Oberfläche Kugel
Volumen Oberfläche Kugel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Volumen Oberfläche Kugel: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Di 17.05.2005
Autor: Binu

Aufgabe) Das Volumen einer Kugel ist V=4/3 pi [mm] r^3. [/mm] Leiten Sie daraus her, dass dann die Oberfläche dieser Kugel S=4 pi [mm] r^2 [/mm] ist.

(Lösungsansatz: Muss ich die Volumenformel mit etwas bestimmten gleichsetzen? Hab leider überhaupt keine Vorstellung, wie ich diese Aufgabe angehen soll..)

Vielen Dank im vorraus..

        
Bezug
Volumen Oberfläche Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Di 17.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Binu

[willkommenmr]

Bei uns im Matheraum ist es üblich, dass wir vor der Frage eine nette Begrüssung machen, gerade so, als schreibe man einen Brief. :-)

Und sich im Voraus zu bedanken, ist nicht wichtig. Viel eher wird geschätzt, dass man eigene Lösungsansätze zu der Aufgabe mitliefert, damit die Denkfehler besser gefunden werden können.

> Aufgabe) Das Volumen einer Kugel ist V=4/3 pi [mm]r^3.[/mm] Leiten
> Sie daraus her, dass dann die Oberfläche dieser Kugel S=4
> pi [mm]r^2[/mm] ist.
>  
> (Lösungsansatz: Muss ich die Volumenformel mit etwas
> bestimmten gleichsetzen? Hab leider überhaupt keine
> Vorstellung, wie ich diese Aufgabe angehen soll..)
>  

Ich würde das etwa so überlegen:

Wenn man das Volumen einer gaaaanz dünnen Kugelschale berechnet, sagen wir mit der Dicke $h_$, würde man dies etwa so machen:

[mm] $V=\bruch{4\pi r^3}{3}-\bruch{4\pi (r-h)^3}{3}=\bruch{4\pi}{3}(r^3-(r-h)^3)$ [/mm]

Wenn du diese Formel durch $h_$ dividierst, und dabei $h_$ gegen null laufen lässt, so solltest du doch gerade die Oberfläche erhalten.

Also: [mm] $O=\lim_{h \to 0}\bruch{4\pi}{3}*\bruch{r^3-(r-h)^3}{h}$ [/mm]

Bei genauerem Hinsehen erkennst du auch, dass das gerade die 1. Ableitung des Volumens nach $r_$ ist.

Du kannst also schreiben:

[mm] $O=\bruch{dV}{dr}$ [/mm]

Kannst du das jetzt noch zu Ende rechnen? :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
        
Bezug
Volumen Oberfläche Kugel: ?wie Archimedes?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Di 17.05.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo Binu

Paulus hat es dem Niveau entsprechend auf die moderne weise gezeigt.

Man kann sich die Kugel aber auch aus "unendlich" vielen Pyramiden
zusammengesetzt denken deren Höhe r ist und die Summe derer
Volumina das Kugelvolumen ist - die Kugeloberfläche ist dann die
Summe der Grundflächen dieser Pyramiden.

Bezug
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