Volumen Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 26.08.2010 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | | Die von der Kurve [mm] y=e^{-x^{2}} (x\ge0) [/mm] und ihrer Asymptote begrenzte Figur drehe sich um die y-Achse. Berechnen Sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers. |
Die Asymptote der Funktion liegt bei y=0.
Für die Berechnung des Volumens brauche ich ja zunächst den Flächeninhalt der begrenzten Figur.
Die untere Grenze liegt bei [mm] x_u=0. [/mm] Wo liegt die obere Grenze?
Ich brauche ja einen x-Wert für das bestimmte Integral.
Es gilt ja [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x^{2}}=0.
[/mm]
Ist dann die obere Grenze [mm] x_o=\infty?
[/mm]
Stehe irgendwie auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Do 26.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bedenke, dass die Formel für das Rotationsvolumen
[mm] V=\pi*\integral\left(f(x)\right)^{2}dx [/mm] für die Rotation um die x-Achse ist. Du brauchst also evtl die Umkehrfunktionen.
Deine zweite Integrationsgrenze ist hier aber tatsächlich das unendliche, nimm dafür dann sinnvollerweise n und lasse n später gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
Marius
P.S.:
Hier noch eine Skizze dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 26.08.2010 | | Autor: | hennes82 |
Erstmal danke für die Mühe.
Leider verstehe ich nicht, was mir das bringt.
Also da die Rotation um die y-Achse erfolgen soll, kann ich mit der Umkehrfunktion die Rotation um die x-Achse berechnen. Das Volumen ist dann gleich dem Volumen, das entsteht, wenn die ursprüngliche Kurve um die y-Achse rotiert.
Die Umkehrfunktion ist [mm] g(y)=\wurzel{ln\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Dann folgt für das Volumen: [mm] V=\pi*\integral_{0}^{\infty}{g(y) dx}=\pi*\integral_{0}^{\infty}{\wurzel{ln\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
Soweit richtig?
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Hallo hennes!
> Die Umkehrfunktion ist [mm]g(y)=\wurzel{ln\bruch{1}{x}}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann folgt für das Volumen:
> [mm]V=\pi*\integral_{0}^{\infty}{g(y) dx}=\pi*\integral_{0}^{\infty}{\wurzel{ln\bruch{1}{x}}dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Bedenke zum einen, dass die Formel für das Rotationsvolumen um die x-Achse lautet:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_a^b{g^{\red{2}}(x) \ dx}$$
[/mm]
Zum anderen solltest Du auch nochmal über Deine Integrationsgrenzen nachdenken, die sich durch die Umkehrfunktion auch verändern.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 26.08.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK, danke. Hab mal wieder nicht konzentriert gearbeitet:-(
Also [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{g(x)^2 dx}=\pi*\integral_{0}^{1}{ln\bruch{1}{x}dx}. [/mm] Richtig?
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Hallo hennes!
Das sieht schon viel besser aus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 26.08.2010 | | Autor: | hennes82 |
Danke.
Also [mm] V=\pi*\integral_{0}^{1}{ln\bruch{1}{x}}=\pi*1*ln\bruch{1}{1}+1=\pi
[/mm]
Ich hoffe, das stimmt.
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Hallo hennes!
Wo bitte, hast Du denn integriert?
Ich würde hier auch zunächst umformen:
[mm] $$\ln\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\ln(x)$$
[/mm]
Zudem handelt es sich hier auch um ein uneigentliches Integral durch die untere Grenze von [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ , so dass hier auch eine entsprechende Grenzwertbetrachtung vonnöten ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 26.08.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Danke.
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> Also
> [mm]V=\pi*\integral_{0}^{1}{ln\bruch{1}{x}}=\pi*1*ln\bruch{1}{1}+1=\pi[/mm]
>
> Ich hoffe, das stimmt.
So wie Du das geschrieben hast, steht da [mm]1=\pi[/mm] denn ln(1) = 0.
Für uns von Interesse wäre auch noch die von Dir bestimmte Stammfunktion (ich habe nämlich abweichende Vorzeichen).
Poste doch mal Deinen kompletten Lösungsweg.
Salve.
Pappus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Do 26.08.2010 | | Autor: | hennes82 |
Danke für eure Arbeit.
Ich schaffe das zeitlich leider nicht mehr. Muss gleich zur Arbeit (bin schon zu spät). Poste heute abend meine komplette Lösung.
Hab vergessen Klammern zu setzen. habe partiell integriert und wohl irgendwo nen Fehler drin.
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