Volumen Zylinder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Mi 02.12.2009 | | Autor: | domino22 |
| Aufgabe | Die Vektoren (a,0,0) und (0,0,a) mit a > 0 spannen ein Dreieck in der x-z-Ebene auf. Durch Rotation dieses Dreiecks um die z-Achse entsteht ein Kegel K. Man berechne
[mm] \integral_{K}^{}{x^2 + y^2 d(x,y,z)}
[/mm]
mit Hilfe von Zylinderkoordinaten |
Hallo!
Ich bin leider etwas eingerostet - bei der ganzen Integriererei :)
Zylinderkoordinaten:
x = r * cos [mm] \phi
[/mm]
y = r * sin [mm] \phi
[/mm]
z = h
z ist aber abhängig vom radius: z = a - r
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] + [mm] cos^2 \phi [/mm] + [mm] r^2 [/mm] + [mm] sin^2 \phi
[/mm]
= [mm] r^2 [/mm] * [mm] (cos^2 \phi [/mm] + [mm] sin^2 \phi)
[/mm]
= [mm] r^2
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{a - r}{1 dz} d\phi} dr} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{2\pi}{(a - r) d\phi} dr} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{a}{(r - a) * 2\pi dr} [/mm] = [mm] 2\pi \integral_{0}^{a}{(r - a) dr} [/mm] = [ar - [mm] r^2 [/mm] / 2 [mm] ]_{0}^{a} [/mm] = 2* [mm] \pi (a^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] / 2) ... das kann doch nicht stimmen
[mm] \integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{a - r}{r^2 dz} d\phi} dr} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{2\pi}{(r^2a - r^3) d\phi} dr} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{a}{(r^2a- r^3) * 2\pi dr} [/mm] = [mm] 2\pi \integral_{0}^{a}{(ar^2 - r^3 ) dr} [/mm] = [mm] [r^4 [/mm] / 4 - [mm] ar^3/3 ]_{0}^{a} [/mm] = 2* [mm] \pi (a^4/3 [/mm] - [mm] a^4 [/mm] / 4) ... das kann doch nicht stimmen
was mache ich falsch? bzw welche lösung stimmt denn?
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Beim schnellen Hinschauen fiel mir auf, dass die Determinate der Funktionalmatrix fehlt. Die ist bei Zylinderkoordinaten r
also
dx dy dz = r * dr [mm] d\phi [/mm] dh
Du hast also das Integral:
[mm] \integral_{B}^{}{r * dr d\phi dh} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{z-r}{(r) dh} d\phi} dr}
[/mm]
lg
|
|
|
|
