Volumen an Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 24.05.2009 | | Autor: | sunbell |
| Aufgabe | fn(x)= [mm] \bruch{1}{x^n}
[/mm]
a) Ermittle die Volumenformel für diesen Rotationskörper für das Intervall I=[1 ; b] b>1
b) Untersuche ob für [mm] b\to \infty [/mm] der Rotationskörper ein endliches oder unendliches Volumen besitzt. Gib gegebenfalls das endliche Volumen an! |
Hallo Leute,
also ich bin mit der a) noch zu recht gekommen. da hab ich ein volumen von
V= [mm] \infty (\bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})
[/mm]
müsste meines erachtens auch richtig sein..
und zu b)
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} =(\bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] ( [mm] -\bruch{1}{-2n+1}) limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})
[/mm]
und da muss man nur noch [mm] (\bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1}) [/mm] betrachten
hab mir überlegt, dass für ein endliches volumen n> 0,5 sein müsste..
und das bei n< 0,5 es ein unendliches volumen gäbe, aber ich kann es nicht nachweisen..
was ist aber wenn n= 0,5 ist?
hoffe jemand kann mit weiterhelfen...
Liebe grüße
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Hallo sunbell,
dein Ergebnis stimmt nicht für [mm] n=\bruch{1}{2}, [/mm] denn dann integrierst du die Funktion [mm]h(x)=\bruch{1}{x}[/mm] und du landest beim Logarithmus. Insofern musst du den Fall ohnehin gesondert betrachten.
Zur Begründung:
Schreibe: [mm] b^{1-2n} [/mm] = [mm] \bruch{b}{b^{2n}}. [/mm] Wenn n > [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] dann kannst du ein b wegkürzen und im Nenner bleiben trotzdem noch "b-Reste" übrig. Da b>1 ist, geht dann der Bruch gegen 0. Wenn n < [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] dann stehen im Zähler sozusagen mehr b, also geht das alles gegen [mm] \infty.
[/mm]
Ein bisschen mathematischer: klammere jeweils b aus und analysiere dann.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 25.05.2009 | | Autor: | sunbell |
>
> dein Ergebnis stimmt nicht für [mm]n=\bruch{1}{2},[/mm] denn dann
> integrierst du die Funktion [mm]h(x)=\bruch{1}{x}[/mm] und du
> landest beim Logarithmus. Insofern musst du den Fall
> ohnehin gesondert betrachten.
>
ich verstehe nich, wieso man bei [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bei [mm] h(x)=\bruch{1}{x} [/mm] landet...
wie muss ich sonst die sache betrachten?
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Hallo sunbell!
Da hat sich oben ein kleiner Fehler eingeschlichen: der Sonderfall für den Logarithmus erhält man im Fall $n \ = \ 1$ .
Diesen Fall musst Du also gesondert betrachten.
Gruß vom
Roadrunner
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Denn er berechnet das Volumen des Rotationskörpers, der begrenzt wird durch die Funktion [mm]f_{n}(x)=\bruch{1}{x^{n}}[/mm]. Das berechnet sich so: [mm]V_{rot}=\pi*\integral_{1}^{b}{f^{2}(x) dx}=\pi*\integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^{2n}} dx}[/mm].
Somit tritt der Spezialfall der Integration von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für [mm] n=\bruch{1}{2} [/mm] ein, nicht für n=1.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo weightgainer!
Ups: ich habe es doch tatsächlich geschafft, den Teil mit dem Rotationsvolumen zu übersehen ignorieren.
Durch das Quadrat hast Du dann natürlich Recht!
Gruß vom
Roadrunner
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> fn(x)= [mm]\bruch{1}{x^n}[/mm]
>
> a) Ermittle die Volumenformel für diesen Rotationskörper
> für das Intervall I=[1 ; b] b>1
>
> b) Untersuche ob für [mm]b\to \infty[/mm] der Rotationskörper ein
> endliches oder unendliches Volumen besitzt. Gib
> gegebenfalls das endliche Volumen an!
> Hallo Leute,
>
> also ich bin mit der a) noch zu recht gekommen. da hab ich
> ein volumen von
>
> V= [mm]\infty (\bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})[/mm]
>
> müsste meines erachtens auch richtig sein..
.... ist es aber wohl doch nicht ganz, weil du statt
des pi-Symbols das unendlich-Symbol gesetzt hast
> und zu b)
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} =(\bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})[/mm]
>
> = [mm]\pi[/mm] ( [mm]-\bruch{1}{-2n+1}) limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})[/mm]
>
> und da muss man nur noch [mm](\bruch{b^{-2n+1} -1}{-2n+1})[/mm]
> betrachten
>
> hab mir überlegt, dass für ein endliches volumen n> 0,5
> sein müsste..
> und das bei n< 0,5 es ein unendliches volumen gäbe, aber
> ich kann es nicht nachweisen..
>
> was ist aber wenn n= 0,5 ist?
Möglicherweise sind mit den n ohnehin nur natürliche
Zahlen gemeint. Für diese gilt die Ungleichung allesamt.
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