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Forum "Determinanten" - Volumen berechnen
Volumen berechnen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Volumen berechnen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Mo 17.06.2013
Autor: Redenwirmaldarueber

Aufgabe
<br>
[mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1} [/mm]   [mm]b_2=\vektor{1\\2\\0} [/mm]   [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2} [/mm]

 Bestimmmen Sie das Volumen des von [mm]b_1 b_2 b_3[/mm] erzeugten Körpers. 



Was würde ich nur ohne dieses Tolle Forum tun...
Danke für die ganze Hilfe hier.


Ich möchte gerne das Volumen berechnen. Mit der Determinate geht das recht flux:

[mm]\vmat{ -2&1&2 \\ 1&2&-1 \\ 1&0&2} = 1* \vmat{ 1&2 \\ 2&-1 } + 2 * \vmat{ -2&1 \\ 1&2 } [/mm]

[mm]= 1 *((-1)-4) + 2*(-4-1) = -15[/mm]

Bedeutet das Volumen ist 15.
---------------------------------------------------------------------------


Jetzt möchte ich das ganze aber auch ohne Determinate lösen.

Als erstes habe ich geschaut ob die Vektoren Senkrecht aufeinander stehen.

[mm]< \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}> ?= 0 = 0[/mm]    b1 und b2 stehen Senkrecht

[mm]< \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ 2}> ?= 0 \neq -1[/mm] b1 und b2 stehen nicht Senkrecht

[mm]< \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 2}> ?= 0 = 0[/mm]   b2 und b3 stehen Senkrecht


Somit ergeben b1 und b2 die Grundfläche. Was bedeutet das ich b3 auf b1 Projeziere und b3 - die Projektion nehme was die "höhe" ergibt. Da b3 schon senkrecht auf b2 steht brauche ich diesen nicht zu Projezieren (=0).

Ich glaube hier habe ich meinen Fehler! 

[mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{< \vektor{2 \\ -1 \\2},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}{<\vektor{-2 \\ 1 \\1},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}*\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]


[mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - (- \frac{3}{6})\vektor{-2 \\ 1 \\1} = \frac{1}{6}* \vektor{0 \\ -9\\15}[/mm]



Ok die Längen ausgrechnet:

[mm] \vmat{ b_1 } = \vmat{ \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} } = \sqrt{6}[/mm]
[mm] \vmat{ b_2 } = \vmat{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0} } = \sqrt{3}[/mm]
[mm] \vmat{ h } = \vmat{ \frac{1}{6}\vektor{0 \\ -9 \\ 15} } = \sqrt{2}[/mm]

Dann [mm]b_1 * b_2 * h = \sqrt{6} * \sqrt{3} * \sqrt{2} = 6[/mm].
Hier kann etwas nicht stimmen.



Gruß Redenwirmaldarueber






 

        
Bezug
Volumen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Mo 17.06.2013
Autor: felixf

Moin!

>  [mm]b_1=\vektor{-2\\1\\1} [/mm]   [mm]b_2=\vektor{1\\2\\0} [/mm] 
>  [mm]b_3=\vektor{2\\-1\\2}[/mm]
>  
>  Bestimmmen Sie das Volumen des von [mm]b_1 b_2 b_3[/mm] erzeugten
> Körpers. 
>  
>
> Was würde ich nur ohne dieses Tolle Forum tun...
>  Danke für die ganze Hilfe hier.
>  
>
> Ich möchte gerne das Volumen berechnen. Mit der
> Determinate geht das recht flux:
>  
> [mm]\vmat{ -2&1&2 \\ 1&2&-1 \\ 1&0&2} = 1* \vmat{ 1&2 \\ 2&-1 } + 2 * \vmat{ -2&1 \\ 1&2 }[/mm]
>  
> [mm]= 1 *((-1)-4) + 2*(-4-1) = -15[/mm]
>  
> Bedeutet das Volumen ist 15.

[ok]

> Jetzt möchte ich das ganze aber auch ohne Determinate
> lösen.
>  
> Als erstes habe ich geschaut ob die Vektoren Senkrecht
> aufeinander stehen.
>  
> [mm]< \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}> ?= 0 = 0[/mm] 
>   b1 und b2 stehen Senkrecht
>  
> [mm]< \vektor{-2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -1 \\ 2}> ?= 0 \neq -1[/mm] b1
> und b2 stehen nicht Senkrecht

Hier meinst du [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_3$, [/mm] oder?

> [mm]< \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{2 \\ -1 \\ 2}> ?= 0 = 0[/mm] 
>  b2 und b3 stehen Senkrecht
>  
>
> Somit ergeben b1 und b2 die Grundfläche. Was bedeutet das
> ich b3 auf b1 Projeziere und b3 - die Projektion nehme was
> die "höhe" ergibt. Da b3 schon senkrecht auf b2 steht
> brauche ich diesen nicht zu Projezieren (=0).

Genau.

> Ich glaube hier habe ich meinen Fehler! 
>  
> [mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{< \vektor{2 \\ -1 \\2},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}{<\vektor{-2 \\ 1 \\1},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}*\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]
>  
>
> [mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - (- \frac{3}{6})\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]

Soweit stimmt es.

> [mm]= \frac{1}{6}* \vektor{0 \\ -9\\15}[/mm]

Das stimmt jetzt nicht mehr. Da hast du dich wohl verrechnet.

> [mm]\vmat{ b_1 } = \vmat{ \vektor{-2 \\ 1 \\ 1} } = \sqrt{6}[/mm]

[ok]

> [mm]\vmat{ b_2 } = \vmat{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0} } = \sqrt{3}[/mm]

Nein, da kommt [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] heraus.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Volumen berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Mo 17.06.2013
Autor: Redenwirmaldarueber

>>
> > [mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{< \vektor{2 \\ -1 \\2},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}{<\vektor{-2 \\ 1 \\1},\vektor{-2 \\ 1 \\1}>}*\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]

>

> >
> >
> > [mm]h= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - (- \frac{3}{6})\vektor{-2 \\ 1 \\1}[/mm]

>

> Soweit stimmt es.

>

> > [mm]= \frac{1}{6}* \vektor{0 \\ -9\\15}[/mm]

>

[mm]= \vektor{2 \\ -1 \\ 2} - \frac{1}{6}* \vektor{6 \\ -3 \\ -3} = \frac{1}{6} \vektor{6 \\ -3\\ 15}[/mm]

[mm]\vmat{ h } = \vmat{ \frac{1}{6} \vektor{6 \\ -3 \\ 15} } = \sqrt{7,5}[/mm]

Und damit geht auch [mm]b_1 * b_2 *h[/mm] auf: [mm]\sqrt{6} * \sqrt{5} * \sqrt{7,5} = 15[/mm]

> >
> > [mm]\vmat{ b_2 } = \vmat{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0} } = \sqrt{3}[/mm]

>

> Nein, da kommt [mm]\sqrt{5}[/mm] heraus.

Ups das stimmt! :D


Danke für die Hilfe!!
 

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