Volumen des Standardsimplex < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Fr 29.06.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das n-dimensionale Volumen des Standardsimplex [mm] S_{n}\in\IR^{2},
[/mm]
[mm] S_{n}:=\{x=(x_{1},...,x_{n})\in\IR^{n};x_{1},...,x_{n}\ge0,x_{1}+...+x_{n}\le1\} [/mm] |
Hallo.
Ich weiß bereits, dass [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] rauskommen muss, und dass es da irgendeine Rekursionsformel gibt, aber die find ich einfach nicht.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich habs so weit schon hinbekommen:
Man wähle [mm] x_{1}\in[0,1], [/mm] dann [mm] x_{2}\in[0,1-x_{1}] [/mm] und so weiter bis [mm] x_{n}\in[1-x_{1}-...-x_{n-1}].
[/mm]
Mit Fubini hab ich dann mal die Volumenformel aufgestellt:
[mm] vol_{n}S_{n}=\integral_{x_{1}=0}^{1}\integral_{x_{2}=0}^{1-x_{1}}...\integral_{x_{n}=0}^{1-x_{1}-...-x_{n-1}}1dx_{n}...dx_{2}dx_{1}
[/mm]
[mm] =\integral_{x_{1}=0}^{1}\integral_{x_{2}=0}^{1-x_{1}}...\integral_{x_{n-1}=0}^{1-x_{1}-...-x_{n-2}}(1-x_{1}-...-x_{n-1})dx_{n-1}...dx_{2}dx_{1}
[/mm]
[mm] =\integral_{x_{1}=0}^{1}\integral_{x_{2}=0}^{1-x_{1}}...\integral_{x_{n-1}=0}^{1-x_{1}-...-x_{n-2}}(1-\summe_{i=1}^{n}x_{i})dx_{n-1}...dx_{2}dx_{1}
[/mm]
Hier komm ich jetzt nicht weiter. ich habe zwar die 1 als [mm] vol_{n-1}, [/mm] aber den Rest mit der Summe muss ich irgendwie noch verarbeiten.
Hat jemand eine Idee wie? Oder ist das der komplett falsche Ansatz.
Schonmal vielen Dank.
Grüße
Max
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Ich würde Fubini nur einmal anwenden, um eine Rekursionsbeziehung zu bekommen. Das Volumen des [mm]n[/mm]-dimensionalen Simplexes sei [mm]V_n[/mm]. Dann geht es doch nur darum,
[mm]V_{n+1} = \frac{1}{n+1} \, V_n \, , \ \ n \geq 1[/mm]
nachzuweisen. Mit [mm]V_1 = 1[/mm] ist man dann fertig.
Konkret beginnt man so:
[mm]V_{n+1} = \int_0^1~\left( \int \limits_{x_1 + \ldots + x_n \leq 1 - x_{n+1}} \mathrm{d}(x_1, \ldots, x_n) \right)~\mathrm{d}x_{n+1}[/mm]
Wenn beim inneren Integral in der Ungleichung rechts 1 stünde, wäre man ja am Ziel. Da steht aber [mm]1 - x_{n+1}[/mm]. Für das innere Integral ist das aber eine Konstante. Man führt daher mit
[mm]x_1 = \left( 1 - x_{n+1} \right) t_1 \, , \ x_2 = \left( 1 - x_{n+1} \right) t_2 \, , \ \ldots \, , \ x_n = \left( 1 - x_{n+1} \right) t_n[/mm]
neue Variable ein. Die Funktionalmatrix ist eine Diagonalmatrix, deren Determinante also unmittelbar berechenbar. Und die Substitutionsformel für Bereichsintegrale bringt dich jetzt ans Ziel.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 15:22 Mi 04.07.2007 | | Autor: | max3000 |
Vielen Dank.
Jetzt hab ichs verstanden. Hat nur ein bisschen gedauert, wegen anderer Begriffswelt.
Das ist ja einfach nur die Transformationsformel.
Grüße
Max
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