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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Volumen einer Menge
Volumen einer Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Volumen einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 03.04.2014
Autor: Herbart

Hallo,

ich möchte das Volumen von [mm] A=\{x\in\IR:0\le x_2\le1,1\le x_1^2+x_3^2\le4,0\le x_3\le x_1\sqrt{3}\} [/mm] bestimmen.
Dazu habe ich eine Parametrisierung mit [mm] \Phi(r,\rho,t)=(r cos(\rho),r sin(\rho),t) [/mm] durchgeführt und mit
[mm] 1\le r\le4, [/mm]
[mm] 0\le t\le rcos(\rho)\sqrt{3}, [/mm]
[mm] 0\le sin(\rho)\le1\Rightarrow0\le \rho\learcsin(1/r) [/mm]
folgende Integralgrenzen erhalten
[mm] $Vol(A)=\int_1^4(\int_0^{arcsin(1/r)}(\int_0^{\sqrt{3}rcos(\rho)}1dt)d\rho) [/mm] dr$
Als Ergebnis erhalte ich [mm] Vol(A)=3\sqrt{3}. [/mm]
Mir geht es primär um die Integralsgrenzen. Habe ich sie richtig bestimmt oder ist mir ein Fehler unterlaufen?

MfG Herbart

        
Bezug
Volumen einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Do 03.04.2014
Autor: Fulla

Hallo Herbart!

> Hallo,

>

> ich möchte das Volumen von [mm]A=\{x\in\IR:0\le x_2\le1,1\le x_1^2+x_3^2\le4,0\le x_3\le x_1\sqrt{3}\}[/mm]
> bestimmen.
> Dazu habe ich eine Parametrisierung mit [mm]\Phi(r,\rho,t)=(r cos(\rho),r sin(\rho),t)[/mm]
> durchgeführt und mit
> [mm]1\le r\le4,[/mm]
> [mm]0\le t\le rcos(\rho)\sqrt{3},[/mm]
> [mm]0\le sin(\rho)\le1\Rightarrow0\le \rho\learcsin(1/r)[/mm]

Zylinderkoordinaten sind schonmal ne gute Idee. Aber du musst schon die Lage des Körpers beachten. Die Menge A beschreibt eine Art Kuchenstück, das auf der [mm]x_1-x_3-[/mm]Ebene steht und von dem die Spitze weggeschnitten wurde. Oder: Es handelt sich um einen Sektor eines Ringes.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Jetzt zu den Zylinderkoordinaten: [mm]0\le x_2\le 1[/mm] steht für die "Höhe" t des Zylinders.
[mm]1\le x_1^2+x_3^2\le 4[/mm] beschreibt die Grund- bzw. Deckfläche
[mm]0\le x_3 \le \sqrt3 x_1[/mm] begrenzt den Zylinder auf einen Sektor.

Insgesamt: [mm]\Phi(r, \rho,t)=(r\cos\rho, t, r\sin\rho)[/mm] mit
[mm]0\le t\le 1[/mm]
[mm]1\le (r\cos\rho)^2+(r\sin\rho)^2\le 4 \Longrightarrow 1\le r\le 2[/mm] (warum 2 und nicht 4?)
[mm]0\le r\sin\rho \le \sqrt3 r\cos\rho \Longrightarrow 0\le\tan\rho\le\sqrt 3 \Longrightarrow 0\le\rho\le \frac \pi 3[/mm]

> folgende Integralgrenzen erhalten

>

> [mm]Vol(A)=\int_1^4(\int_0^{arcsin(1/r)}(\int_0^{\sqrt{3}rcos(\rho)}1dt)d\rho) dr[/mm]

Abgesehen von den falschen Integrationsgrenzen musst du [mm]\int\int\int r\ dr\ d\rho\ dt[/mm] berechnen.

> Als Ergebnis erhalte ich [mm]Vol(A)=3\sqrt{3}.[/mm]

Ich komme auf [mm]\frac \pi 2[/mm].


Lieben Gruß,
Fulla

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Volumen einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Sa 05.04.2014
Autor: Herbart

Vielen Dank für deine sehr anschauliche Antwort! Mir ist einiges klarer geworden!

LG Herbart

Bezug
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