Volumen einer Menge bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 01.02.2011 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Man berechne das Volumen der Menge
M := {(x,y,z) [mm] \in IR^3 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] <= 4 und [mm] \wurzel{x^2+y^2}<=\wurzel{8}*z}
[/mm]
1. mithilfe von Kugelkoordinaten
2. mithilfe der Guldinschen Regel |
hallo zusammen,
mir macht die aufgabe hier oben echt kopfzerbrechen.
Hier mal mein Ansatz zu 1.
ich hab die Gleichung [mm] \wurzel{x^2+y^2}<=\wurzel{8}*z [/mm] erstmal quadriert und dann hab ich [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] <= 4 - [mm] \wurzel{x^2+y^2}<=\wurzel{8}*z [/mm] gemacht und es kam dann für z = +- 2/3 heraus.
soweit so gut.
wäre das dann mein zu lösendes Integral ?
[mm] \integral_{-2/3}^{2/3} \integral_{0}^{2 \pi}\integral_{-2}^{2}{r sin \phi dr d \phi dz}
[/mm]
mich wundert nur die aufgabenstellung mit "verwenden sie kugelkoordinaten" weil ich kugelkoordinaten nur bei [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] <= 4 benutzt habe, den rest aber in Zylinderkoordinaten habe.
wäre nett wenn mal einer drüberschauen könnte und mir nen tipp gibt.
lg
meep
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo meep,
> Man berechne das Volumen der Menge
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> M := {(x,y,z) [mm]\in IR^3[/mm] | [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] <= 4 und
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}<=\wurzel{8}*z}[/mm]
>
> 1. mithilfe von Kugelkoordinaten
> 2. mithilfe der Guldinschen Regel
> hallo zusammen,
>
> mir macht die aufgabe hier oben echt kopfzerbrechen.
>
> Hier mal mein Ansatz zu 1.
>
> ich hab die Gleichung [mm]\wurzel{x^2+y^2}<=\wurzel{8}*z[/mm]
> erstmal quadriert und dann hab ich [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] <= 4 -
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}<=\wurzel{8}*z[/mm] gemacht und es kam dann für
> z = +- 2/3 heraus.
>
> soweit so gut.
>
> wäre das dann mein zu lösendes Integral ?
>
> [mm]\integral_{-2/3}^{2/3} \integral_{0}^{2 \pi}\integral_{-2}^{2}{r sin \phi dr d \phi dz}[/mm]
Nein, das ist nicht das zu lösende Integral.
>
> mich wundert nur die aufgabenstellung mit "verwenden sie
> kugelkoordinaten" weil ich kugelkoordinaten nur bei
> [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] <= 4 benutzt habe, den rest aber in
> Zylinderkoordinaten habe.
Gut, Du hast Zylinderkoordinaten verwendet.
Dann lauten doch die beiden Ungleichungen:
[mm]r^{2}+z^{2} \le 4[/mm]
[mm]r \le \wurzel{8}*z[/mm]
Hier kannst Du z in Abhängigkeit von r ausdrücken.
Dann lautet das zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{0}^{2*\pi}{ \integral_{r_{1}}^{r_{2}}{\integral_{z_{1}\left(r\right)}^{z_{2}\left(r\right)}{r \ dz} \ dr } \ d\phi}[/mm]
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> wäre nett wenn mal einer drüberschauen könnte und mir
> nen tipp gibt.
>
> lg
>
> meep
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Sa 05.02.2011 | | Autor: | meep |
hi mathepower,
danke erstmal für deine antwort
da in der aufgabe steht mit kugelkoordinaten sollte ich es wohl auch so machen.
wenn ich kugelkoordinaten benutze bekomme ich ja heraus
[mm] r^2 \le [/mm] 4 und r [mm] \le \wurzel{8}*r*cos \theta
[/mm]
die 2te gleichung kann ich ja dann umformen in cos [mm] \theta [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{8}} [/mm] und damit dann [mm] \theta [/mm] = arccos [mm] \bruch{1}{\wurzel{8}}
[/mm]
dann hätte ich das integral
[mm] \integral_{0}^{arccos \bruch{1}{\wurzel{8}}} \integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{2}{r^2 cos \theta \phi dr d \phi d \theta}
[/mm]
kann das nun stimmen ?
lg
meep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, [mm] \varphi [/mm] läuft von 0 bis [mm] 2*\pi, [/mm] r von 0 bis 2, aber bei [mm] \theta [/mm] musst du nochmal gucken.
Setz mal in Ruhe
[mm] x=r*cos(\theta)*cos(\varphi), [/mm]
[mm] y=r*cos(\theta)*sin(\varphi) [/mm] und
[mm] z=r*sin(\theta) [/mm]
in [mm] \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{8}*z [/mm] ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 05.02.2011 | | Autor: | meep |
hi teufel,
ich bekomme dann folgendes heraus
[mm] \bruch{1}{\wurzel 8} [/mm] = tan [mm] \theta
[/mm]
und dann geht das integral also von 0 bis artan [mm] \bruch{1}{ \wurzel 8}
[/mm]
stimmt das nun so ?
lg
meep
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Also es sollte rauskommen, [mm] \theta\ge arctan(\frac{1}{\sqrt{8}}).
[/mm]
Also [mm] \frac{\pi}{2}\ge\theta \ge arctan(\frac{1}{\sqrt{8}}).[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 05.02.2011 | | Autor: | meep |
alles klar aber warum von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] bis tan... und nicht von 0 bis tan ... ?
kurz: ich versteh das nicht warum die untere grenze [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist
lg
meep
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Das ist die obere Grenze!
Du weiß also, dass
[mm] \theta \ge arctan(\frac{1}{\sqrt{8}}) [/mm] sein muss. Und weil [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] der größe Wert für [mm] \theta [/mm] ist, muss diese Ungleichungskette folgen. Nur wenn [mm] \theta \le arctan(\frac{1}{\sqrt{8}}) [/mm] wäre, dann müsste der Winkel von 0 bis [mm] arctan(\frac{1}{\sqrt{8}}) [/mm] gehen.
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