Volumen eines Drehkörpers < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers zwischen den Nullstellen der Funktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] x³ + 2x² |
Hallo zusammen,
ich habe oben genannte Aufgabe berechnet und komme auf ein ungewöhnliches Ergebnis. Deshalb meine Frage, ob irgendjemand Lust hätte, es schnell nachzurechnen? Die Nullstellen sind bei x1/2= 0 und x3=-6. Als Volumen des rotierenden Drehkörpers erhalte ich dann circa -66075.
Das kann doch nicht sein, oder?
VG
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Hallo,
> Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers zwischen den
> Nullstellen der Funktion
> f(x) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] x³ + 2x²
> Hallo zusammen,
>
> ich habe oben genannte Aufgabe berechnet und komme auf ein
> ungewöhnliches Ergebnis. Deshalb meine Frage, ob
> irgendjemand Lust hätte, es schnell nachzurechnen? Die
> Nullstellen sind bei x1/2= 0 und x3=-6. Als Volumen des
> rotierenden Drehkörpers erhalte ich dann circa -66075.
>
> Das kann doch nicht sein, oder?
Nein, und du hättest dir die Frage sparen können: ein Volumen ist niemals negativ.
Das ist aber nicht dein einziger Fehler. Es kommt ein Volumen von etwas weniger als 1000 VE heraus. Wenn du deinen Fehler klären möchtest, dann gib bitte deine Rechnungen an!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Meine Rechnung ist:
V= [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{-6}^{0}(\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2})^{2} [/mm] dx
= [mm] -\pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{6}(\bruch{1}{9}x^{6} [/mm] + [mm] 4x^{4} [/mm] + [mm] 1\bruch{1}{3}x^{5}) [/mm] dx
= [mm] -\pi [/mm] * [mm] [\bruch{1}{63}x^{7} [/mm] + [mm] \bruch{4}{5}x^{5} [/mm] + [mm] \bruch{2}{9}x^{6}] [/mm] --> von 0-6
= [mm] -\pi [/mm] * (4443 [mm] \bruch{3}{7} [/mm] + 6220 [mm] \bruch{4}{5} [/mm] + 10368)
= ~66075
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Mi 29.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Meine Rechnung ist:
>
> V= [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{-6}^{0}(\bruch{1}{3}x^{3}[/mm] + [mm]2x^{2})^{2}[/mm]
> dx
>
> = [mm]-\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{6}(\bruch{1}{9}x^{6}[/mm] + [mm]4x^{4}[/mm] +
> [mm]1\bruch{1}{3}x^{5})[/mm] dx
Warum willst du hier die Integrationsgrenzen vertauschen, und das auch noch falsch?
[mm] \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}f(x)dx
[/mm]
Da änderst du kein Vorzeichen der Integrationsgrenzen, das ist aber auch nicht nötig.
[mm] V=\pi\cdot\int\limits_{-6}^{0}\frac{1}{9}x^{6}+\frac{4}{3}x^{5}+4x^{4}dx
[/mm]
[mm] =\pi\cdot\left(\left[\frac{1}{63}x^{7}+\frac{2}{9}x^{6}+\frac{4}{5}x^{5}\right]_{-6}^{0}\right)
[/mm]
[mm] =\pi\cdot\left(\left[\frac{1}{63}\cdot 0^{7}+\frac{2}{9}\cdot0^{6}+\frac{4}{5}\cdot0^{5}\right]-\left[\frac{1}{63}\cdot(-6)^{7}+\frac{2}{9}\cdot(-6)^{6}+\frac{4}{5}\cdot(-6)^{5}\right]\right)
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Hm... demnach kommt also 930,63 raus...
Aber ich verstehe noch nicht genau, warum mein Weg falsch war, das Integral von -6 bis 0 ist doch das gleiche, wie das negative Integral von 0 bis 6? Oder nicht?
*grübel*
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Hallo,
> Hm... demnach kommt also 930,63 raus...
das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber ich verstehe noch nicht genau, warum mein Weg falsch
> war, das Integral von -6 bis 0 ist doch das gleiche, wie
> das negative Integral von 0 bis 6? Oder nicht?
Nein: das ist der Fehler! Denn jetzt geht die 6 überall psoitiv in die Rechnung ein, während mit der korrekten Schranke die Vorzeichen der einzelnen Summanden unterschiedlich sind, je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Ja das sehe ich schon ein... ist an sich ja logisch... Ach klar, das Integral darf ich nur "umdrehen", wenn es bspw. von 10 bis 0 ist, also "in die andere Richtung geht"... Oder? Hab ichs jetzt?
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Hallo,
es ist generell
[mm] \int_{a}^{b}{f(x) dx}=-\int_{b}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
Du hast jedoch einen völlig neuen Zahlenwert für eine der beiden Schranken aus dem Hut gezaubert, also die Integration über einem ganz anderen Bereich durchgeführt, als vorgesehen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mi 29.01.2014 | | Autor: | uli001 |
Okay, jetzt ist alles klar!
Herzlichen Dank an alle, die mir wieder mal geholfen haben!!! Was würde ich nur ohne euch tun??? :-P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Mi 29.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers zwischen den
> Nullstellen der Funktion
> f(x) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] x³ + 2x²
> Hallo zusammen,
>
> ich habe oben genannte Aufgabe berechnet und komme auf ein
> ungewöhnliches Ergebnis. Deshalb meine Frage, ob
> irgendjemand Lust hätte, es schnell nachzurechnen? Die
> Nullstellen sind bei x1/2= 0 und x3=-6.
Die Nullstellen stimmen.
> Als Volumen des
> rotierenden Drehkörpers erhalte ich dann circa -66075.
Du bekommst also:
[mm] V=\pi\cdot\int\limits_{-6}^{0}\left(\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}\right)^{2}dx
[/mm]
>
> Das kann doch nicht sein, oder?
Kann es sein, dass du die binomische Formel übersehen hast?
Aber um deinen Fehler zu finden, müssen wir deine Rechnung sehen.
>
> VG
Marius
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