Volumen eines Ellipsoids < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne das Volumen des Ellipsoids!
4x²+4y²+z²=16 |
Hab Probleme mit dieser Aufgabe!
Wie komme ich auf die Integrationsgrenzen des Dreifachintegrals?
Wie wird dies dann Integriert?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Vitali und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechne das Volumen des Ellipsoids!
>
> 4x²+4y²+z²=16
Wir freuen uns immer, wenn wir schlicht, aber freundlich mit einem "Hallo" begrüßt werden ...
Auch einem "danke" oder "bitte", geschweige denn einem "Tschüß" sind wir nicht abgeneigt ...
Das erhöht die Motivation, sich Gedanken zur Frage zu machen und zu antworten doch immens!
> Hab Probleme mit dieser Aufgabe!
> Wie komme ich auf die Integrationsgrenzen des
> Dreifachintegrals?
> Wie wird dies dann Integriert?
Nun, hier bietet sich es an, erstmal umzuformen in
[mm] $\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}+\frac{z^2}{4^2}=1$
[/mm]
Damit kannst du den Ellipsoid schreiben als [mm] $E=\left\{(x,y,z)^T\in\IR^3\mid\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}+\frac{z^2}{4^2}\le 1\right\}$ [/mm]
Dann ist eine Koordinatentransformation in (verallgemeinterte)Kugelkoordinaten ganz hilfreich.
[mm] $x=2r\cdot{}\sin(\Psi)\cdot{}\cos(\varphi)$
[/mm]
[mm] $y=2r\cdot{}\sin(\Psi)\cdot{}\sin(\varphi)$
[/mm]
[mm] $z=4r\cdot{}\cos(\Psi)$
[/mm]
mit [mm] $0\le r\le [/mm] 1, [mm] 0\le\Psi\le\pi, 0\le\varphi\le 2\pi$
[/mm]
Denke daran, die Funktionaldeterminante zu berechnen und im transformierten Integral einzusetzen (integriere über die 1) ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Danke das Hilft schon enorm weiter! Was ich aber immer noch nicht verstehe ist was die Integrationsgrenzen sind!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Sa 20.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke das Hilft schon enorm weiter! Was ich aber immer noch
> nicht verstehe ist was die Integrationsgrenzen sind!
Die hat schachuzipus doch angegeben:
$ [mm] 0\le r\le [/mm] 1, [mm] 0\le\Psi\le\pi, 0\le\varphi\le 2\pi [/mm] $
Viele Grüße
Rainer
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