Volumen eines Kompaktums < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $A\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] eine kompakte Menge, [mm] $f:A\to\mathbb{R}-+$ [/mm] stetig. [mm] $K\subset \mathbb{R}^{n+1}$ [/mm] das Kompaktum
[mm] $K=\{(x,y)\in A\times \mathbb{R}|\:0\leq y\leq f(x)\}$
[/mm]
Man zeige: [mm] $Vol(K)=\int_A [/mm] f(x)dx$ |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab für die Aufgabe 2 Lösungswege gefunden und wollte nachfragen ob ich das so machen kann:
1.) [mm] $vol(K)=\int_{\mathbb{R}^{n+1}}1_{K}(x)dx=\int_{\mathbb{R}^{n+1}}1_A(z)\cdot 1_{\{0\leq y\leq f(z)\}}(y)dzdy=\int_{\mathbb{R}^n}1_A(z)\int_{\mathbb{R}}1_{0\leq y\leq f(z)}dydz=\int_{\mathbb{R}^n}1_A(z)\int_0^{f(z)}1 [/mm] dy dz = [mm] \int_{\mathbb{R}^n}1_A(z)f(z)dz=\int_A [/mm] f(z)dz$
2.)
Sei [mm] $K_t:=\{x\in A:\:t\leq f(x)\}$, [/mm] damit folgt mit dem Cav. Prinzip:
[mm] $vol(K)=\int_{\mathbb{R}}\int_A1_A(x)dx=\int_A \int_0^{f(t)}1_A(x)dx=\int_A [/mm] f(x)dx$
Vielen Dank schonmal 
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Es sei [mm]A\subset\mathbb{R}^n[/mm] eine kompakte Menge,
> [mm]f:A\to\mathbb{R}-+[/mm] stetig. [mm]K\subset \mathbb{R}^{n+1}[/mm] das
> Kompaktum
>
> [mm]K=\{(x,y)\in A\times \mathbb{R}|\:0\leq y\leq f(x)\}[/mm]
>
> Man zeige: [mm]Vol(K)=\int_A f(x)dx[/mm]
> Hi,
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hab für die Aufgabe 2 Lösungswege gefunden und wollte
> nachfragen ob ich das so machen kann:
>
> 1.)
> [mm]vol(K)=\int_{\mathbb{R}^{n+1}}1_{K}(x)dx=\int_{\mathbb{R}^{n+1}}1_A(z)\cdot 1_{\{0\leq y\leq f(z)\}}(y)dzdy=\int_{\mathbb{R}^n}1_A(z)\int_{\mathbb{R}}1_{0\leq y\leq f(z)}dydz=\int_{\mathbb{R}^n}1_A(z)\int_0^{f(z)}1 dy dz = \int_{\mathbb{R}^n}1_A(z)f(z)dz=\int_A f(z)dz[/mm]
>
> 2.)
> Sei [mm]K_t:=\{x\in A:\:t\leq f(x)\}[/mm], damit folgt mit dem Cav.
> Prinzip:
>
> [mm]vol(K)=\int_{\mathbb{R}}\int_A1_A(x)dx=\int_A \int_0^{f(t)}1_A(x)dx=\int_A f(x)dx[/mm]
>
also weg 1) sieht fuer mich jedenfalls gut aus. Bei weg 2) verstehe ich nicht auf anhieb, wie du das meinst. Heisst aber nicht, das es nicht stimmt...
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Irgendwas2 |
Erstmal danke für die Antwort!
zu 2.)
das Cav. Prinzip besagt ja, dass Wenn [mm] $K\subset\mathbb{R}^d$ [/mm] kompakt ist, [mm] $K_t:=\{(x_1,...,x_{d-1})\in\mathbb{R}^{d-1}|\:(x_1,...,x_{d-1},t)\in K\}$, [/mm] dann gilt [mm] $Vol(K)=\int_{\mathbb{R}}Vol(K_t)dt$
[/mm]
Aber eig. müssten die [mm] $(x_1,...,x_{d-1})$ [/mm] ja in [mm] $\mathbb{R}^{d-1}$ [/mm] liegen und nicht nur in $A$!? (bei der Def. von [mm] $K_t$). [/mm] Also würde das ja so noch nicht passen...
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