Volumen eines Rotationskörpers < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Graph zu f(x)=sin(x) rotiert um die Gerade g(x)=c mit 0<c<1 für x[0;pi]. Bestimmen Sie c so, dass der entstehende Rotationskörper minimales Volumen hat. |
Hallo,
ich konnte in der Aufgabe c nicht bestimmen. Wie kann ich c überhaupt bestimmen? Könnt ihr mir es zeigen?
Ich werde hier alles ausführen, die ich bis jetzt gemacht habe. Vielleicht ist es für euch hilfreich.
Bildung des Funktions:
f(x)=sin(x)- c (Der Rotationskörper rotiert um die Gerade c, also zwischen 0 und 1. Demnach muss es nachher zum x-Achse herabgesetzt werden.)
Bildung des Integrals:
(pi) (integralzeichen) (von 0 bis pi) [mm] (sin^2(x)-c)^2 [/mm] dx
Aufleiten des Funktions:
Erst Auflösen: [mm] (sin^2(x)-c)^2 [/mm] -> [mm] sin^2(x)-2*c*sin(x)+c^2
[/mm]
EInzeln Aufleiten:
[mm] sin^2(x) [/mm] -> 1/2*(sin(x)*(-cos(x))+x) (mit der partiellen Integration)
-2*c*sin(x) -> 2*c*(-cos(x))
[mm] c^2 [/mm] -> [mm] c^2*x
[/mm]
Die Aufleitung lautet also:
[mm] (pi)((1/2(sin(x)*(-cos(x))+x)+2*c*cos(x)+c^2*x) [/mm] Bei den Grenzen [0;(pi)]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß aber, dass...
..es sich um ein Extremwertaufgabe handelt. Der Tiefpunkt muss bestimmt werden. Deshalb brauche ich auch die erste Ableitung der Stammfunktion.
...ich nach c irgendwo Auflösen muss
...zuerst c herauskriegen muss
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Ich gehe davon aus, dass meine Vorgehensweise bislang richtig ist.
lg Sunshine107
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Hallo Sunshine107,
> Der Graph zu f(x)=sin(x) rotiert um die Gerade g(x)=c mit
> 0<c<1 für x[0;pi]. Bestimmen Sie c so, dass der
> entstehende Rotationskörper minimales Volumen hat.
> Hallo,
> ich konnte in der Aufgabe c nicht bestimmen. Wie kann ich
> c überhaupt bestimmen? Könnt ihr mir es zeigen?
> Ich werde hier alles ausführen, die ich bis jetzt gemacht
> habe. Vielleicht ist es für euch hilfreich.
>
> Bildung des Funktions:
>
> f(x)=sin(x)- c (Der Rotationskörper rotiert um die
> Gerade c, also zwischen 0 und 1. Demnach muss es nachher
> zum x-Achse herabgesetzt werden.)
>
> Bildung des Integrals:
>
> (pi) (integralzeichen) (von 0 bis pi) [mm](sin^2(x)-c)^2[/mm] dx
benutze bitte den Formeleditor, damit man die Terme besser lesen kann:
[mm] V(c)=\pi*\integral_{0}^{\pi}{(\sin^2(x)-c)^2 \ dx}
[/mm]
>
> Aufleiten des Funktions:
>
> Erst Auflösen: [mm](sin^2(x)-c)^2[/mm] -> [mm]sin^2(x)-2*c*sin(x)+c^2[/mm]
>
> EInzeln Aufleiten:
>
> [mm]sin^2(x)[/mm] -> 1/2*(sin(x)*(-cos(x))+x) (mit der
> partiellen Integration)
> -2*c*sin(x) -> 2*c*(-cos(x))
> [mm]c^2[/mm] -> [mm]c^2*x[/mm]
>
> Die Aufleitung lautet also:
[mm]\pi\integral_{0}^\pi}{((1/2(sin(x)*(-cos(x))+x)+2*c*cos(x)+c^2*x) dx}[/mm] Bei den Grenzen [0;(pi)]
jetzt setze mal die Grenzen regelgerecht ein:
übrig bleibt ein Term V(c), der der minimal sein soll.
>
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß aber, dass...
> ..es sich um ein Extremwertaufgabe handelt. Der Tiefpunkt
> muss bestimmt werden. Deshalb brauche ich auch die erste
> Ableitung der Stammfunktion.
nein, V(c) musst du auf Extremstellen untersuchen.
> ...ich nach c irgendwo Auflösen muss
> ...zuerst c herauskriegen muss
>
>
> Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Ich gehe davon aus,
> dass meine Vorgehensweise bislang richtig ist.
>
> lg Sunshine107
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Jaein...Vorerst: Ich brauche eine Weile, bis ich den Formeleditor richtig nutzen kann.
Wenn ich die Grenzen einsetzte, kommt folgendes raus:
$ \pi\integral_{0}^\pi}{((1/2(sin(x)\cdot{}(-cos(x))+x)+2\cdot{}c\cdot{}cos(x)+c^2\cdot{}x) dx} $
mein Problem hierbei ist, dass ich c nicht einfach wie ein Zahl behandeln kann, weil ich die Vorgehensweise nicht genau weiß.
Ich schreibe soweit ich komme:
Ich habe es in meinem GTR eingesetzt und, wie ich gesagt hatte, das c nicht berechnet.
Das (Ergebnis): \pi((1,5707)+2*(-1)*c+c^2*\pi ->Für \pi
Wenn ich 0 einsetzte, müsste logischerweise 0 herauskommen.
Ich kann einfach c nicht so behandeln, als ob es eine konstante währe.
Ich bräuchte mehr klarheit, falls es nicht zuviel verlangt ist.
Danke
lg Sunshine
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Hallo Sunshine107,
> Jaein...Vorerst: Ich brauche eine Weile, bis ich den
> Formeleditor richtig nutzen kann.
>
> Wenn ich die Grenzen einsetzte, kommt folgendes raus:
>
> [mm]\pi\integral_{0}^\pi}{((1/2(sin(x)\cdot{}(-cos(x))+x)+2\cdot{}c\cdot{}cos(x)+c^2\cdot{}x) dx}[/mm]
>
> mein Problem hierbei ist, dass ich c nicht einfach wie ein
> Zahl behandeln kann, weil ich die Vorgehensweise nicht
> genau weiß.
>
> Ich schreibe soweit ich komme:
>
> Ich habe es in meinem GTR eingesetzt und, wie ich gesagt
> hatte, das c nicht berechnet.
> Das (Ergebnis): [mm]\pi((1,5707)+2*(-1)*c+c^2*\pi[/mm] ->Für [mm]\pi[/mm]
mein CAS sagt:
Stammfunktion von [mm] (\sin(x)-c)^2 [/mm] ist [mm] \cos x*(2c-\bruch{\sin x}{2})+(c^2+\bruch{1}{2})
[/mm]
Grenzen einsetzen und mit [mm] \pi [/mm] multiplizieren:
[mm] V(c)=\bruch{\pi}{2}(2\pi*c^2-8c+\pi)
[/mm]
komisch dass dein GTR anders rechnet... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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> Wenn ich 0 einsetzte, müsste logischerweise 0
> herauskommen.
>
> Ich kann einfach c nicht so behandeln, als ob es eine
> konstante währe.
>
>
> Ich bräuchte mehr klarheit, falls es nicht zuviel verlangt
> ist.
> Danke
>
> lg Sunshine
>
>
Gruß informix
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Ich habe die Aufleitung rechnerisch bestimmt, da mein GTR nicht im stande ist, etwas aufzuleiten (habe ein Casio cfx-9850GC Plus). Ich setze nur die Grenzen im GTR ein. Wenn die Stammfunktion schon vom anfang an falsch ist, ist es nicht wunderlich, dass ich nicht weiter komme. Ich bin sicher, dass ich [mm] sin^2(x) [/mm] und [mm] c^2 [/mm] richtig aufgeleitet habe. Dann habe ich Wahrscheinlich beim rechnen ein anderen Rechenfehler gemacht...ich muss wohl besser die Aufleitung üben.
Danke für die Erklärung! Es war sehr hilfreich.
lg Sunshine107
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