Volumen eines Rotationskörpers < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Sa 11.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Bestimme das Volumen des folgenden Körpers:
R(h,r):={(x,y,z) [mm] \in \IR^3: x^2+y^2+z^2 \le r^2, x^2+y^2 \ge r^2-h^2}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] h [mm] \le [/mm] r. |
Hallo ihr lieben,
wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor??
Viele Grüße
kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 11.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Um das noch weiter zu konkretisieren: Was ist der Schnitt dieser Mengen? Also was genau ist G? Oder anders gesagt: Wie sind die Integralgrenzen?
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Die Ungleichung [mm]x^2 + y^2 + z^2 \leq r^2[/mm] beschreibt eine Vollkugel vom Radius [mm]r[/mm], die Ungleichung [mm]x^2 + y^2 \geq r^2 - h^2[/mm] das Äußere eines unendlichen Zylinders vom Radius [mm]p = \sqrt{r^2 - h^2}[/mm]. Du kannst dir [mm]R(r,h)[/mm] also vorstellen als eine Kugel, aus der ein Zylinder mit zwei aufsitzenden ![[]](/images/popup.gif) Kugelsegmenten symmetrisch zu einem Kugeldurchmesser ausgestanzt wurde. Wegen [mm]p^2 + h^2 = r^2[/mm] (Satz des Pythagoras) ist [mm]2h[/mm] gerade die Höhe des ausgestanzten Zylinderstücks. Ein ausgestanztes Kugelsegment hat die Höhe [mm]r-h[/mm]. Das Volumen des Körpers kann mit Schulmathematik ermittelt werden:
[mm]V_{\text{gesamt}} = V_{\text{Kugel}} - V_{\text{Zylinder}} - 2 \, V_{\text{Kugelsegment}}[/mm]
Ergebnis: [mm]V = \frac{4}{3} \pi h^3[/mm]
Wenn du das mit Integralrechnung lösen willst, empfehlen sich Zylinderkoordinaten:
[mm]x = \varrho \cos \varphi \, , \ \ y = \varrho \sin \varphi \, , \ \ z = t \, ; \ \ \ \frac{\partial (x,y,z)}{\partial ( \varrho , \varphi , t )} = \varrho[/mm]
Da [mm]r[/mm] in der Aufgabe als Parameter fungiert, habe ich hier [mm]\varrho[/mm] als Variablenname gewählt. Generell gilt: [mm]\varrho \geq 0 \, , \ 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \, , \ t \in \mathbb{R}[/mm]. Und jetzt mußt du die beiden den Körper charakterisierenden Ungleichungen in [mm]x,y,z[/mm] in Ungleichungen in [mm]\varrho, \varphi, t[/mm] übersetzen. Einfach die Umrechnungsformeln einsetzen. So bekommst du den neuen Integrationsbereich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Do 16.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Vielen Dank!!!!!! Alles verstanden! 
Grüße kiri
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