Volumen eines Spats < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen eines Spats für den Fall, dass die auf ihn aufspannenden Vektoren die Länge 1 haben und paarweise den Winkel 60 Grad miteinander Bilden. |
Meine Annahme ist nun das ich den Spat in ein rechwinkliges Koordinatensystem lege in dem a die x-Achse darstellt, b in das Feld ragt und c nach oben (y-Achse) ragt.
Daraus ergibt sich ja dann das:
Vektor a=(1,0,0)
Vektor b=(1/2, 1/2√3,0)
c=(c1,c2,c3) muss ja nun erfüllen das a*b=b*c=1/2=cos60 ist.Und das c*c=1 ist.
Nun meine Frage ist nun ob das ganze nicht Komplanar ist da es sich ja alles in einem 2 Dimensionalen System befindet und wie ich das nun beweise das das Komplanar ist. Denn ich Blicke anhand der Aufgabenstellung und des Gegebenen ansatzes nicht ob c nun angenommen wird als 1 oder ob ich c erst berechnen muss.
Bin dankbar für jede Hilfe
Scorpion
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich würde dir hier auf die Schnelle das Spatprodukt vorschlagen.
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) diesen Link an, da ist auch eine Herleitung dabei, warum das genau das Volumen eines Spates ist.
D.h. du nimmst dir einfach einen Vektor, zb (1,0,0), dan berechnest du einen, der einen Winkel von 60° mit der x-y-Ebene einschließt, und dann berechnest du einen, der mit dem Vektor (1,0,0) den Winkel 60° einschileßt. Dann das ganze ins Spatprodukt, und du bist fertig.
Alternativ kannst du dir das auch einfach aufzeichnen, und dir die Winkel etc. eintragen, und dann rein geometrisch rechnen, das sollte auch gehen. So kannst du z.B. sagen, dass die Fläche, die aufgespannt wird, der Betrag von [mm] $a\times [/mm] b$ ist, und es [mm] $|a\times [/mm] b| = [mm] a*b*\sin\phi$, [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] der Winkel zwischen a und b ist. Dann noch die Höhe berechnen, das geht ähnlich mit dem Cosinus, und du bist fertig.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ich habe einen Vorschlag für den Vektor [mm] $\vec [/mm] c$ :
[mm] $\vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] ; [mm] $\vec [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ \wurzel{\bruch{3}{4}} \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] ; [mm] $\vec [/mm] c = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ \wurzel{\bruch{1}{12}} \\ \wurzel{\bruch{2}{3}} \end{pmatrix}$
[/mm]
Das Spatprodukt wäre dann [mm] $[\vec [/mm] c [mm] \quad \vec [/mm] a [mm] \quad \vec [/mm] b] = [mm] \vec c*(\vec a\times \vec [/mm] b)$.
LG, Martinius
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Ich bin nicht der beste was Mathe angeht und hab mich mal im Formelumstellen probiert, ich befürchte allerdings das das nicht ganz passt.
[mm] \wurzel{a}³=\sin(\alpha)/\wurzel{b}³ [/mm]
Das sieht a) fürchterlich aus und ist b) doch sicher falsch oder? Ich denke doch wieder zu kompliziert, ich wälz hier jetzt schon seit 2h die Bücher und versuche was raus zu bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
benutze einfach die Determinatenformel:
[mm] V=det(\vmat{ 1 & 0 & 0\\ 0,5 & \wurzel{3/4}&0 \\ 0,5 &1/\wurzel{12} & \wurzel{2/3} })
[/mm]
Dann müsste was ohne winkel sondern ne reine zahl rauskommen.
Ich glaub [mm] \wurzel{3/4}*\wurzel{2/3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
wo liegen denn die Schwierigkeiten? Im Ausrechnen des Spatproduktes oder im Erstellen des Vektors [mm] $\vec [/mm] c$?
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mo 28.04.2008 | | Autor: | scorpion-c |
Das erstellen des Vektors [mm] \vec{c} [/mm] macht mir Probleme.
Das ganze soll mein Testat werden und wenn ich mehr Vorbereitung hätte als 1 [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Tage hätte ich das sicher hinbekommen. Aber so muss es ein bisschen holter die polter gehen und ich bin schon seit heute mittag um 15 Uhr dran mir einen zusammen zu rechnen. Mit dem Erfolg das ich keine Ahnung mehr habe wie ich auf [mm] \vec{c} [/mm] komme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
wahrscheinlich gibt es mehrere Wege um auf den Vektor [mm] $\vec [/mm] c$ zu kommen. Ich habe es so gemacht:
Die Vektoren [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] b$, die in der x-y-Ebene liegen, sind dir ja klar:
$ [mm] \vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ ; $ [mm] \vec [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ \wurzel{\bruch{3}{4}} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $\vec [/mm] a = [mm] \overrightarrow{OA}$ [/mm] und [mm] $\vec [/mm] b = [mm] \overrightarrow{OB}$. [/mm] O ist der Ursprung des Koordinatensystems.
Nun habe ich in der x-y-Ebene noch den Vektor [mm] $\vec [/mm] d$ = [mm] \overrightarrow{AB}.
[/mm]
[mm] $\vec [/mm] d = [mm] \vec b-\vec [/mm] a = [mm] \begin{pmatrix} -\bruch{1}{2} \\ \wurzel{\bruch{3}{4}} \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Also liegt in der Ebene ein gleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen 1 und den Innenwinkeln von 60°. Über dieser Grundfläche errichtest Du nun eine Pyramide, deren 3 Seiten genauso aussehen wie die Grundfläche: gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge 1. Die Spitze der Pyramide sei der Punkt C. Er liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden H des Grundflächendreiecks.
Also müssen wir zunächst den Schnittpunkt H der Seitenhalbierenden berechnen.
Die Mitte der Strecke AB sei M.
[mm] $\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \bruch{1}{2}*(\vec [/mm] b - [mm] \vec a)=\begin{pmatrix} \bruch{3}{4} \\ \bruch{\wurzel{3}}{4} \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Die Seitenhalbierenden teilen sich nun im Verhältnis 1:2, d. h.:
[mm] $\overrightarrow{OH} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*\overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{6} \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Nun musst Du nur noch die Höhe (= [mm] |\overrightarrow{HC}|) [/mm] des senkrecht zur x-y-Ebene stehenden rechtwinkligen Dreiecks OHC berechnen, die dann die z-Koordinate des Vektors [mm] $\vec [/mm] c$ darstellt; die x- und y-Koordinaten sind die gleichen wie von [mm] \overrightarrow{OH}.
[/mm]
[mm] $|\overrightarrow{OH}| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}}$ [/mm]
[mm] $|\overrightarrow{HC}| [/mm] = [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}$ [/mm]
Somit haben wir den Vektor [mm] $\vec [/mm] c$ ermittelt:
[mm] $\vec [/mm] c = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ \wurzel{\bruch{1}{12}} \\ \wurzel{\bruch{2}{3}} \end{pmatrix}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 28.04.2008 | | Autor: | scorpion-c |
Danke danke danke danke
Das rettet mir den Tag. Auf die Idee über ein dreieck und dann eine Pyramide zu gehen muss man erstmal kommen. Absolut genial. Und das beste:
Ich habs verstanden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Di 29.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo scorpion-c,
vielen Dank für dein Lob. Wie ich zu meiner Schande aber jetzt erst sehe, hätte man [mm] $\vec [/mm] c$ viel einfacher nach deinem ersten Lösungsansatz ermitteln können:
[mm] $\vec [/mm] c * [mm] \vec [/mm] a = [mm] \vec [/mm] c * [mm] \vec [/mm] b = 1*1*cos(60°) = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
und [mm] $|\vec [/mm] c| = 1$.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Mo 28.04.2008 | | Autor: | scorpion-c |
Hab mir mal einen neuen ansatz gesucht der mir auch erklärt warum b so ist wie er ist.
Demnach ist:
[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] b=\vektor{cos60° \\ sin60° \\ 0}
[/mm]
[mm] c=\vektor{cos30° \\ sin60° \\ sin60°}
[/mm]
Damit müsste ich ja dann das Volumen ausrechnen können. Zum kotzen wenn das 10te Schuljahre, 8 Jahre her ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Hab mir mal einen neuen ansatz gesucht der mir auch erklärt
> warum b so ist wie er ist.
>
> Demnach ist:
>
> [mm]a=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{cos60° \\ sin60° \\ 0}[/mm]
>
> [mm]c=\vektor{cos30° \\ sin60° \\ sin60°}[/mm]
>
> Damit müsste ich ja dann das Volumen ausrechnen können. Zum
> kotzen wenn das 10te Schuljahre, 8 Jahre her ist.
Ich fürchte [mm] $\vec [/mm] c$ ist nicht richtig.
Ich habe dir in der anderen Mitteilung eine Lösung geschrieben.
LG, Martinius
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