Volumen eines Zylinders < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hohlraum wird beschrieben durch Rotation der Funktion: [mm] y=e^{2x-1} [/mm] um die y-Achse
Welches Volumen wird dabei eingeschlossen, wenn die Integrationsgrenzen [mm] y_{1}=1 [/mm] und [mm] y_{2}=10 [/mm] gelten.
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Nach Bildung der Umkehrfunktion: [mm] y=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}ln(x) [/mm] wollte ich den Flächeninhalt so berechnen: A= [mm] \pi \integral_{1}^{10}{(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}ln(x))^{2} dx} [/mm] berechnen, habe mit der Auflösung des INtegrals jedoch Schwierigkeiten.
Viele Dank für schnelle Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Sa 08.11.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hohlraum wird beschrieben durch Rotation der Funktion:
> [mm]y=e^{2x-1}[/mm] um die y-Achse
>
> Welches Volumen wird dabei eingeschlossen, wenn die
> Integrationsgrenzen [mm]y_{1}=1[/mm] und [mm]y_{2}=10[/mm] gelten.
>
>
> Nach Bildung der Umkehrfunktion:
> [mm]y=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}ln(x)[/mm] wollte ich den
> Flächeninhalt so berechnen: A= [mm]\pi \integral_{1}^{10}{(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}ln(x))^{2} dx}[/mm]
> berechnen, habe mit der Auflösung des INtegrals jedoch
> Schwierigkeiten.
>
> Viele Dank für schnelle Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
ausquadrieren und partielle integration (des 1. faktors) führt doch sofort zum ziel
[mm] \integral_{}^{}{ln^2y dy}=y\cdot ln^2y-2\integral_{}^{}{lny dy}
[/mm]
und schon bist du (fast) fertig, da sich der 2.teil nun vertschüßt
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Mit den INtegralen komme ich überhaupt nicht klar. kann das vielleicht mal jemand erklärend vorrechnen. Ich komme immer nur auf volumen die nicht richtig sind.
Wie löse ich denn das INtegral:
[mm] \integral_{1}^{10}{(\bruch{1}{2}ln(x)+\bruch{1}{2})^{2}dx}
[/mm]
richtig auf?
Vielen Dank für die Hilfe
Somebodytoldme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Somebodytoldme!
Warum wendest Du den o.g. Tipp nicht an und siehst, wie weit Du damit kommst?
[mm] $$\integral{\left[\bruch{1}{2}*\ln(x)+\bruch{1}{2}\right]^{2} \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{4}*\integral{\left[\ln(x)+1\right]^{2} \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{4}*\integral{\ln^2(x)+2*\ln(x)+1 \ dx}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{4}*\integral{\ln(x)*\ln(x) \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{1*\ln(x) \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \bruch{1}{4}*\integral{1 \ dx}$$
[/mm]
Und nun bei den ersten beiden Integralen jeweils mit partieller Integration weiter.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 So 09.11.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo Somebodytoldme!
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> Warum wendest Du den o.g. Tipp nicht an und siehst, wie
> weit Du damit kommst?
>
> [mm]\integral{\left[\bruch{1}{2}*\ln(x)+\bruch{1}{2}\right]^{2} \ dx}[/mm]
>
> [mm]= \ \bruch{1}{4}*\integral{\left[\ln(x)+1\right]^{2} \ dx}[/mm]
>
> [mm]= \ \bruch{1}{4}*\integral{\ln^2(x)+2*\ln(x)+1 \ dx}[/mm]
> [mm]= \ \bruch{1}{4}*\integral{\ln(x)*\ln(x) \ dx} \ + \ \bruch{1}{2}*\integral{1*\ln(x) \ dx} \ + \ \bruch{1}{4}*\integral{1 \ dx}[/mm]
>
> Und nun bei den ersten beiden Integralen jeweils mit
> partieller Integration weiter.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
der 2. integrand fällt nach der 1. partiellen integration des ersten integrals weg, mit dem braucht man sich also gar nicht mehr zu plagen
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Ich komm aber trotzdem nicht auf das gesuchte ergebnis von [mm] V_{y}\approx48.73 [/mm] könntest du das vielleicht nochmal überprüfen ob das so stimmt?
Ich werd echt verrückt ...
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Somebodytoldme!
Dann poste mal, wie Du auf Dein Ergebnis kommst mit den entsprechenden Zwischenschritten.
Gruß
Loddar
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hab die integrale aufgeteilt:
[mm] 1.)\bruch{1}{4} \integral_{1}^{10}{ln(x) ln(x) dx}= \bruch{1}{4} [/mm] ( (x ln(x) ln(x) - 2 ln(x)+2x) [mm] \approx [/mm] 16.60345
2.) [mm] \bruch{1}{2}\integral_{1}^{10}{ln(x) dx}= \bruch{1}{2} [/mm] (x ln(x)-x) [mm] \approx [/mm] 7.0129
3.) [mm] \integral_{1}^{10}{ \bruch{1}{4} dx}\approx [/mm] 2.25
so richtig?
danke, grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 09.11.2008 | | Autor: | weduwe |
ich hätte zu bieten:
[mm]V=\frac{\pi}{4}\integral_{1}^{10}{(ln^2y+2lny+1) dy}=\frac{\pi}{4}|y\cdot ln^2y+y|^{10}_1=\frac{\pi}{4}(10\cdot ln^210+9)\approx 48.71[/mm]
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die obige mitteilung sollte eine frage werden... Sorry
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