Volumen eines kompakten Körper < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 18.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des (kompakten) Körpers K, der durch die vier Ebenen
x = 0, y = [mm] \wurzel{2}, [/mm] y = x, z = 0 und die Fläche z = x2 + 5/3 y2 berandet wird. |
Würde gerne wissen wie man vorgeht, was man genau machen soll. Danke schön!
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> Berechnen Sie das Volumen des (kompakten) Körpers K, der
> durch die vier Ebenen
> x = 0, y = [mm]\wurzel{2},[/mm] y = x, z = 0 und die Fläche z = x2
> + 5/3 y2 berandet wird. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das soll zuletzt wohl heißen: $\ z\ =\ [mm] x^2+\frac{5}{3}*y^2$
[/mm]
> Würde gerne wissen wie man vorgeht, was man genau machen
> soll. Danke schön!
Mach dir zuerst eine Zeichnung bzw. Ansichtsskizzen, damit
du dir die Form des Körpers anschaulich vorstellen kannst.
(es zeigt sich, dass es um einen auf der x-y-Ebene stehenden
prisma-ähnlichen Körper handelt, der allerdings eine gekrümmte
Deckfläche hat)
Dann überlegst du dir, in welcher Weise man den gesamten
Körper "durchscannen" soll, um das Volumen durch ein
geeignetes (Doppel- oder Dreifach-) Integral darzustellen.
LG Al-Chw.
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> > Berechnen Sie das Volumen des (kompakten) Körpers K, der
> > durch die vier Ebenen
> > x = 0, y = [mm]\wurzel{2},[/mm] y = x, z = 0 und die Fläche
> [mm]z=x^2[/mm] + [mm]\bruch{5}{3}y^2[/mm] berandet wird.
>
> > Mach dir zuerst eine Zeichnung bzw. Ansichtsskizzen, damit
> > du dir die Form des Körpers anschaulich vorstellen
> > kannst.
> Okay, wie mache ich das? Es sind doch Ebenen, und wenn ich
> die alle in ein Koordinatensystem zeichne sehe ich gar
> nichts mehr.
Hallo frank85,
hast du dir denn wirklich schon Skizzen gemacht ?
Ich habe dir nämlich noch einen ganz wichtigen Tipp
mitgeliefert, nämlich:
es zeigt sich, dass es sich um einen auf der
x-y-Ebene stehenden prisma-ähnlichen Körper
handelt, der allerdings eine gekrümmte Deck-
fläche hat
Hast du das verstanden ? Es bedeutet, dass drei der
fünf Begrenzungsflächen des Körpers senkrecht zur
x-y-Ebene stehen und deshalb in einer Ansicht von
oben (wenn man also senkrecht auf die x-y-Ebene
schaut) als Geraden erscheinen. Mach dir die Lage
dieser Ebenen klar !
Auch die vierte Begrenzungsfläche ist ganz einfach
(eigentlich noch einfacher als die ersten drei) zu
verstehen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 19.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo frank85,
>
> hast du dir denn wirklich schon Skizzen gemacht ?
Ja hatte zuerst eine Skizze mit allen drei Koordinatenachsen gezeichnet, da sieht man aber nix mehr...
> Ich habe dir nämlich noch einen ganz wichtigen Tipp
> mitgeliefert, nämlich:
>
> es zeigt sich, dass es sich um einen auf der
> x-y-Ebene stehenden prisma-ähnlichen Körper
> handelt, der allerdings eine gekrümmte Deck-
> fläche hat
>
> Hast du das verstanden ? Es bedeutet, dass drei der
> fünf Begrenzungsflächen des Körpers senkrecht zur
> x-y-Ebene stehen und deshalb in einer Ansicht von
> oben (wenn man also senkrecht auf die x-y-Ebene
> schaut) als Geraden erscheinen. Mach dir die Lage
> dieser Ebenen klar !
Das habe ich jetzt gemacht. Man sieht ein Dreieck auf x-y-Ebene mit den Eckkoordinaten [mm] (0,0),(0,\wurzel{2}),(1.4(circa), \wurzel{2})
[/mm]
> Auch die vierte Begrenzungsfläche ist ganz einfach
> (eigentlich noch einfacher als die ersten drei) zu
> verstehen.
Die Ebene z=0 ist ja die komplette x-y-Ebene oder? Und die vierte, [mm] x^2+\bruch{5}{3}y^2 [/mm] , weiß ich immer noch nicht was ich damit anfangen soll....
Danke danke danke!
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> Das habe ich jetzt gemacht. Man sieht ein Dreieck auf
> x-y-Ebene mit den Eckkoordinaten
> [mm](0,0),(0,\wurzel{2}),(1.4(circa), \wurzel{2})[/mm]
Dritte Ecke: exakt [mm] (\wurzel{2},\wurzel{2})
[/mm]
> Die Ebene z=0 ist ja die komplette x-y-Ebene oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und die vierte, [mm]x^2+\bruch{5}{3}y^2[/mm] , weiß ich immer
> noch nicht was ich damit anfangen soll....
Diese Fläche hängt als obere Begrenzung über der
x-y-Ebene.
Analog wie du die Fläche des Gebietes in der x-y-Ebene
zwischen der x-Achse und dem Graph von [mm] y=x^2+2
[/mm]
über dem Intervall [a;b]=[1,3] berechnen würdest:
A = [mm] $\integral_1^3\,(x^2+2\,)\,dx$
[/mm]
berechnen würdest, ist jetzt das gesuchte Volumen
V = [mm] $\iint\limits_{D}\,\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\,dy$
[/mm]
wobei D das Gebiet des Grunddreiecks in der x-y-Ebene ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mo 19.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Diese Fläche hängt als obere Begrenzung über der
> x-y-Ebene.
Ja verstehe.
> Analog wie du die Fläche des Gebietes in der x-y-Ebene
> zwischen der x-Achse und dem Graph von [mm]y=x^2+2[/mm]
> über dem Intervall [a;b]=[1,3] berechnen würdest:
> A = [mm]\integral_1^3\,(x^2+2\,)\,dx[/mm]
Woher kommt den das Intervall jetzt?
> ist jetzt das gesuchte Volumen
> V =
> [mm]\iint\limits_{D}\,\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\,dy[/mm]
>
> wobei D das Gebiet des Grunddreiecks in der x-y-Ebene ist.
Das Problem sind also jetzt die Grenzen dieses Integrals:
[mm] \iint\limits_{0}^{\sqrt{2}},\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\,dy [/mm] so wird es falsch sein denke ich mal, oder?
Vielen Dank!
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> > Diese Fläche hängt als obere Begrenzung über der
> > x-y-Ebene.
> Ja verstehe.
> > Analog wie du die Fläche des Gebietes in der x-y-Ebene
> > zwischen der x-Achse und dem Graph von [mm]y=x^2+2[/mm]
> > über dem Intervall [a;b] = [1,3] berechnen würdest:
> > A = [mm]\integral_1^3\,(x^2+2\,)\,dx[/mm]
> Woher kommt den das Intervall jetzt?
Das war ja nur ein analoges Beispiel zum Vergleich, das
aber im Übrigen keinen Zusammenhang zu deiner Aufgabe
hat.
> > ist jetzt das gesuchte Volumen
> > [mm]\ V\ =\ \iint\limits_{D}\,\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\,dy[/mm]
> >
> > wobei D das Gebiet des Grunddreiecks in der x-y-Ebene ist.
> Das Problem sind also jetzt die Grenzen dieses Integrals:
>
> [mm]\iint\limits_{0}^{\sqrt{2}},\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\,dy[/mm]
> so wird es falsch sein denke ich mal, oder?
Wir brauchen natürlich Grenzen für jedes einzelne Integral,
also das über x und das über y .
Lassen wir einmal das äußere Integral über x laufen (also
von links nach rechts) und das innere über y (also für
jeden komkreten x-Wert von unten nach oben).
In x-Richtung erstreckt sich das Dreieck D von x=0 bis [mm] x=\sqrt{2}
[/mm]
Also sollten die Grenzen des äußeren Integrals genau diese
beiden Werte sein:
$\ V\ =\ [mm] \integral_{x=0}^{\sqrt{2}}\,\left(\ \integral_{y=....}^{....}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dy\right)\,dx$
[/mm]
Jetzt habe ich nur noch die Grenzen des inneren Integrals
offen gelassen. Bestimme diese, indem du dir das Dreieck
D in der x-y-Ebene aufzeichnest und anschaust !
Überlege dir zur Übung und als Kontrolle auch, wie man es
anstellen muss, wenn man die äußere Integration über y
und die innere über x macht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 20.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Das war ja nur ein analoges Beispiel zum Vergleich, das
> aber im Übrigen keinen Zusammenhang zu deiner Aufgabe
> hat.
Okay danke, das es nur ein Beispiel war und keinen Bezug zur Aufgabe hatte kam nicht ganz an, aber jetzt ist es klar.
> [mm]\ V\ =\ \integral_{x=0}^{\sqrt{2}}\,\left(\ \integral_{y=....}^{....}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dy\right)\,dx[/mm]
> Jetzt habe ich nur noch die Grenzen des inneren Integrals
> offen gelassen. Bestimme diese, indem du dir das Dreieck
> D in der x-y-Ebene aufzeichnest und anschaust !
Das Dreieck ist ja wie die rechte Hälfte von [mm] \left| x \right|, [/mm] also wäre eine Idee:
[mm]\ V\ =\ \integral_{x=0}^{\sqrt{2}}\,\left(\ \integral_{y=x}^{\wurzel{2}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dy\right)\,dx[/mm]
> Überlege dir zur Übung und als Kontrolle auch, wie man
> es anstellen muss, wenn man die äußere Integration über y
> und die innere über x macht.
Hm, nicht leicht...Vielleicht so?
[mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=y}^{\wurzel{2}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
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Hallo frank85,
> > Das war ja nur ein analoges Beispiel zum Vergleich, das
> > aber im Übrigen keinen Zusammenhang zu deiner Aufgabe
> > hat.
> Okay danke, das es nur ein Beispiel war und keinen Bezug
> zur Aufgabe hatte kam nicht ganz an, aber jetzt ist es
> klar.
>
> > [mm]\ V\ =\ \integral_{x=0}^{\sqrt{2}}\,\left(\ \integral_{y=....}^{....}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dy\right)\,dx[/mm]
> > Jetzt habe ich nur noch die Grenzen des inneren Integrals
> > offen gelassen. Bestimme diese, indem du dir das
> Dreieck
> > D in der x-y-Ebene aufzeichnest und anschaust !
> Das Dreieck ist ja wie die rechte Hälfte von [mm]\left| x \right|,[/mm]
> also wäre eine Idee:
> [mm]\ V\ =\ \integral_{x=0}^{\sqrt{2}}\,\left(\ \integral_{y=x}^{\wurzel{2}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dy\right)\,dx[/mm]
>
> > Überlege dir zur Übung und als Kontrolle auch, wie man
> > es anstellen muss, wenn man die äußere Integration über
> y
> > und die innere über x macht.
> Hm, nicht leicht...Vielleicht so?
> [mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=y}^{\wurzel{2}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
Das ist leider nicht richtig.
Eher so:
[mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=\red{0}}^{\red{y}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
Überlege Dir warum das so ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 20.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > Hm, nicht leicht...Vielleicht so?
> > [mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=y}^{\wurzel{2}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
>
>
> Das ist leider nicht richtig.
>
> Eher so:
>
> [mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=\red{0}}^{\red{y}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
>
> Überlege Dir warum das so ist.
>
>
> Gruss
> MathePower
Puh...die Grenzen des äußeren Integrals sind richtig aber die Inneren nicht?! Hm, also ich habe keine Ahnung. Woran macht man das denn fest? Wie sehe ich das dem Gebiet,hier ja Dreieck, an?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Hilfe bitte...
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> > [mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=\red{0}}^{\red{y}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
> >
> > Überlege Dir warum das so ist.
> >
> Puh...die Grenzen des äußeren Integrals sind richtig aber
> die Inneren nicht?! Hm, also ich habe keine Ahnung. Woran
> macht man das denn fest? Wie sehe ich das dem Gebiet,hier
> ja Dreieck, an?
> Hilfe bitte...
Also, das Dreieck D hat doch die Eckpunkte O(0|0), [mm] P(\sqrt{2}|\sqrt{2})
[/mm]
und [mm] Q(0|\sqrt{2}) [/mm] .
Für einen vorgegebenen konstanten Wert y der äußeren
Integrationsvariablen (welcher zwischen [mm] y_{min}=0 [/mm] und [mm] y_{max}=\sqrt{2}
[/mm]
liegen soll), musst du doch, um das Dreieck entlang
dieser waagrechten Linie zu durchqueren, von dessen
linker Randlinie (also der Dreiecksseite OQ ) zu dessen
rechter Randlinie (der Dreiecksseite OP) wandern.
Und wie lauten denn die Gleichungen dieser beiden
Geraden OQ und OP ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Di 20.09.2011 | | Autor: | frank85 |
[mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=\red{0}}^{\red{y}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
> Also, das Dreieck D hat doch die Eckpunkte O(0|0), [mm]P(\sqrt{2}|\sqrt{2})[/mm] und [mm]Q(0|\sqrt{2})[/mm].
Das habe ich auch so hier skizziert.
> Für einen vorgegebenen konstanten Wert y der äußeren
> Integrationsvariablen (welcher zwischen [mm]y_{min}=0[/mm] und
> [mm]y_{max}=\sqrt{2}[/mm]
> liegen soll), musst du doch, um das Dreieck entlang
> dieser waagrechten Linie zu durchqueren, von dessen
> linker Randlinie (also der Dreiecksseite OQ ) zu dessen
> rechter Randlinie (der Dreiecksseite OP) wandern.
> Und wie lauten denn die Gleichungen dieser beiden
> Geraden OQ und OP ?
öhm, hmmmm...tjaaaaa
OQ: [mm]\vektor{0\\0}+\lambda\vektor{0\\1}[/mm] mit [mm] \lambda=\wurzel{2}
[/mm]
OP: [mm]\vektor{0\\0}+\lambda\vektor{1\\1}[/mm] mit [mm] \lambda=\wurzel{2}
[/mm]
aber das ist nicht was du jetzt als antwortest wolltest denke ich, oder?
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> [mm]\ V\ =\ \integral_{y=0}^{\wurzel{2}}\,\left(\ \integral_{x=\red{0}}^{\red{y}}\left(x^2+\bruch{5}{3}\,y^2\right)\,dx\right)\,dy[/mm]
> > Also, das Dreieck D hat doch die Eckpunkte O(0|0),
> [mm]P(\sqrt{2}|\sqrt{2})[/mm] und [mm]Q(0|\sqrt{2})[/mm].
> Das habe ich auch so hier skizziert.
> > Für einen vorgegebenen konstanten Wert y der äußeren
> > Integrationsvariablen (welcher zwischen [mm]y_{min}=0[/mm] und
> > [mm]y_{max}=\sqrt{2}[/mm]
> > liegen soll), musst du doch, um das Dreieck entlang
> > dieser waagrechten Linie zu durchqueren, von dessen
> > linker Randlinie (also der Dreiecksseite OQ ) zu
> dessen
> > rechter Randlinie (der Dreiecksseite OP) wandern.
> > Und wie lauten denn die Gleichungen dieser beiden
> > Geraden OQ und OP ?
> öhm, hmmmm...tjaaaaa
> OQ: [mm]\vektor{0\\0}+\lambda\vektor{0\\1}[/mm]
> OP: [mm]\vektor{0\\0}+\lambda\vektor{1\\1}[/mm]
solche Parametergleichungen brauchst du gar nicht,
sondern nur, dass auf OQ überall x=0 ist und auf
OP gilt x=y.
Also muss doch für einen gegebenen konstanten y-
Wert das x jeweils von x=0 bis x=y laufen !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Di 20.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> solche Parametergleichungen brauchst du gar nicht,
> sondern nur, dass auf OQ überall x=0 ist und auf
> OP gilt x=y.
> Also muss doch für einen gegebenen konstanten y-
> Wert das x jeweils von x=0 bis x=y laufen !
>
> LG
Oh man, Okay, das sehe ich ein. Finds endlos schwer
Danke schön ich versuch das jetzt zu integrieren und schreib dann nochmal.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 20.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | In der x,z-Ebene des [mm] R^3 [/mm] sei die Punktmenge [mm] K_0 [/mm] definiert als die Fläche zwischen
den Kurven x = 1 + [mm] z^2, [/mm] x = 2 + [mm] z^4, [/mm] z = 1 und z = -1 (Skizze!). Bei Drehung von [mm] K_0 [/mm] um die z-Achse entsteht aus [mm] K_0 [/mm] ein laufringartiger Körper K, dessen Volumen berechnet werden soll. |
Ich habe das Ding mal gezeichnet, sieht so aus wie hier:
![[]](/images/popup.gif) http://tinyurl.com/3arvls3 nur halt ohen die Drehung.
Vorangehensweise ist bei dieser Aufgabe ja dann doch etwas anders als bei der davor, bei der ein Dreieck als Gebiet gegeben war. Jetzt hat man diesen Merkwürdigen Ring, also ein 3D Problem...
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Hallo frank85,
> In der x,z-Ebene des [mm]R^3[/mm] sei die Punktmenge [mm]K_0[/mm] definiert
> als die Fläche zwischen
> den Kurven x = 1 + [mm]z^2,[/mm] x = 2 + [mm]z^4,[/mm] z = 1 und z = -1
> (Skizze!). Bei Drehung von [mm]K_0[/mm] um die z-Achse entsteht aus
> [mm]K_0[/mm] ein laufringartiger Körper K, dessen Volumen berechnet
> werden soll.
> Ich habe das Ding mal gezeichnet, sieht so aus wie hier:
> http://tinyurl.com/3arvls3 nur halt ohen die Drehung.
> Vorangehensweise ist bei dieser Aufgabe ja dann doch etwas
> anders als bei der davor, bei der ein Dreieck als Gebiet
> gegeben war. Jetzt hat man diesen Merkwürdigen Ring, also
> ein 3D Problem...
Eine Möglichkeit wäre, das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen.
Dazu kann man x als Funktion von z betrachten.
Das Volumen, das wir berechnen wollen ergibt sich durch "Herausschälen" des inneren Rotationskörpers [mm] R_i, [/mm] der durch Rotation der Fläche entsteht, die durch [mm] x=1+z^2 [/mm] begrenzt ist. Die dem äußeren Rotationskörper [mm] R_a [/mm] zugrundeliege Fläche ist entsprechend durch [mm] x=2+z^4 [/mm] begrenzt.
Nun einfach die Formeln für das Rotationsvolumen verwenden.
[mm] V_{R_i}=\pi*\int_{\min(z)}^{\max(z)}{(f(z))^2dz}=\pi*\int_{-1}^{1}{(1+z^2)^2dz}
[/mm]
[mm] V_{R_a}= [/mm] ?
V_ges= ?
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 20.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Eine Möglichkeit wäre, das Volumen von Rotationskörpern
> zu berechnen.
Das soll man hier machen denke ich.
> Dazu kann man x als Funktion von z betrachten.
>
> Das Volumen, das wir berechnen wollen ergibt sich durch
> "Herausschälen" des inneren Rotationskörpers [mm]R_i,[/mm] der
> durch Rotation der Fläche entsteht, die durch [mm]x=1+z^2[/mm]
> begrenzt ist.
Den Satz verstehe ich leider nicht. Gar nichts davon...
> Die dem äußeren Rotationskörper [mm]R_a[/mm]
> zugrundeliege Fläche ist entsprechend durch [mm]x=2+z^4[/mm]
> begrenzt.
Die Fläche [mm] R_a [/mm] ist wo genau? Die Begrenzung sehe ich, ok.
> Nun einfach die Formeln für das Rotationsvolumen
> verwenden.
> [mm]V_{R_i}=\pi*\int_{\min(z)}^{\max(z)}{(f(z))^2dz}=\pi*\int_{-1}^{1}{(1+z^2)^2dz}[/mm]
Woher kommt diese Formel?
> [mm]V_{R_a}=[/mm] ?
>
> V_ges= ?
>
>
> LG
Vielen Dank!
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> > Das Volumen, das wir berechnen wollen ergibt sich durch
> > "Herausschälen" des inneren Rotationskörpers [mm]R_i,[/mm] der
> > durch Rotation der Fläche entsteht, die durch [mm]x=1+z^2[/mm]
> > begrenzt ist.
> Den Satz verstehe ich leider nicht. Gar nichts davon...
Schau dir die Skizze bei wolframalpha an. Die eingeschlossene Fläche soll um die z-Achse rotieren und das Volumen des ringartigen Rotationskörpers R berechnet werden.
Nun werden die Volumina [mm] V_{R_a} [/mm] und [mm] V_{R_i} [/mm] von
a) äußerem Rotationskörper [mm] R_a [/mm] (rotierende Fläche begrenzt durch x=0, z=-1, z=1, [mm] x=z^4+2) [/mm] und
b) innerem Rotationskörper [mm] R_i [/mm] (rotierende Fläche begrenzt durch x=0, z=-1, z=1, [mm] x=z^2+1) [/mm] berechnet.
Das Volumen [mm] V_R [/mm] von R berechnet sich zu
[mm] V_R=V_{R_a}-V_{R_i}
[/mm]
> > Die dem äußeren Rotationskörper [mm]R_a[/mm]
> > zugrundeliege Fläche ist entsprechend durch [mm]x=2+z^4[/mm]
> > begrenzt.
> Die Fläche [mm]R_a[/mm] ist wo genau? Die Begrenzung sehe ich,
> ok.
> > Nun einfach die Formeln für das Rotationsvolumen
> > verwenden.
> >
> [mm]V_{R_i}=\pi*\int_{\min(z)}^{\max(z)}{(f(z))^2dz}=\pi*\int_{-1}^{1}{(1+z^2)^2dz}[/mm]
> Woher kommt diese Formel?
Die hast du bestimmt vorgetragen bekommen. Du kannst hier nachlesen. Beachte, dass dort die Achsenbezeichnungen vertauscht sind.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 21.09.2011 | | Autor: | frank85 |
Alles ausgerechnet, muss nur wissen ob es [mm] stimmt:\pi*\int_{-1}^{1}{(2+z^4)^2dz} [/mm] - [mm] \pi*\int_{-1}^{1}{(1+z^2)^2dz}
[/mm]
[mm] =\pi \bruch{442}{45} [/mm] - [mm] \pi \bruch{56}{15}
[/mm]
[mm] =\bruch{274 \pi}{45}[/mm]
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Hallo frank85,
> Alles ausgerechnet, muss nur wissen ob es
> [mm]stimmt:\pi*\int_{-1}^{1}{(2+z^4)^2dz}[/mm] -
> [mm]\pi*\int_{-1}^{1}{(1+z^2)^2dz}[/mm]
> [mm]=\pi \bruch{442}{45}[/mm] - [mm]\pi \bruch{56}{15}[/mm]
> [mm]=\bruch{274 \pi}{45}[/mm]
>
Stimmt.
Gruss
MathePower
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