Volumen elliptischen Kegels < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Volumen eines Kegels von der Höhe H, dessen Querschnitte senkrecht zur Achse Ellipsen mit gleichem Achsenverhältnis q sind. Auf der Grundfläche sei die große Halbachse R. |
Hallo, ich komm mit dem Intergral nicht zurecht bzw. bin mir nicht mal sicher ob ich das richtig habe bisher.
Ich wollte das ganze in Zylinderkoordinaten machen und habe also $ [mm] r(\phi)=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}sin^{2}{\phi}+b^{2}cos^{2}{\phi}}} [/mm] $, weiterhin ist r auch noch von z abhängig also hätte ich [mm] $r(\phi{},z)=\frac{-r(\phi}{H}+r(\phi)$.
[/mm]
Wenn ich nun integriere habe ich $ [mm] \integral_{0}^{H}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R(z,\phi)}{rdrd\phi{}dz}$ [/mm] Wenn ich nun über r und z integriere [mm] $(=\integral_{0}^{H}\integral_{0}^{2\pi}{\frac{R(\phi{},z)}{2}^{2}d\phi{}dz}=..= \frac{H}{6}\integral_{0}^{2\pi}{\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}sin^{2}{\phi}+b^{2}cos^{2}{\phi}}d\phi}$ [/mm] und hier komme ich nicht weiter, wie könnte man an solches Integral rangehen bzw. stimmt das bis hierhin überhaupt?
Ich merke aber auch gerade dass das Integral in kartesischen Koordinaten deutlich angenehmer aussieht. :)
Gruß helicopter
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> Bestimmen Sie das Volumen eines Kegels von der Höhe H,
> dessen Querschnitte senkrecht zur Achse Ellipsen mit
> gleichem Achsenverhältnis q sind. Auf der Grundfläche sei
> die große Halbachse R.
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> Hallo, ich komm mit dem Intergral nicht zurecht bzw. bin
> mir nicht mal sicher ob ich das richtig habe bisher.
> Ich wollte das ganze in Zylinderkoordinaten machen und
> habe also
> [mm]r(\phi)=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}sin^{2}{\phi}+b^{2}cos^{2}{\phi}}} [/mm],
> weiterhin ist r auch noch von z abhängig also hätte ich
> [mm]r(\phi{},z)=\frac{-r(\phi}{H}+r(\phi)[/mm].
> Wenn ich nun integriere habe ich
> [mm]\integral_{0}^{H}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{R(z,\phi)}{rdrd\phi{}dz}[/mm]
> Wenn ich nun über r und z integriere
> [mm](=\integral_{0}^{H}\integral_{0}^{2\pi}{\frac{R(\phi{},z)}{2}^{2}d\phi{}dz}=..= \frac{H}{6}\integral_{0}^{2\pi}{\frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}sin^{2}{\phi}+b^{2}cos^{2}{\phi}}d\phi}[/mm]
> und hier komme ich nicht weiter, wie könnte man an solches
> Integral rangehen bzw. stimmt das bis hierhin überhaupt?
>
>
> Ich merke aber auch gerade dass das Integral in
> kartesischen Koordinaten deutlich angenehmer aussieht. :)
>
> Gruß helicopter
Hallo helicopter,
ich denke, dass dies wesentlich einfacher gehen sollte,
sogar ohne Integration, falls diese nicht ausdrücklich
verlangt ist.
Die einfachste Lösung:
Der Kreiskegel mit Grundkreisradius R und Höhe H hat
das Volumen
$\ V\ =\ [mm] \frac{\pi}{3}\,R^2\,H$
[/mm]
Der elliptische Kegel entsteht daraus durch eine Parallel-
streckung mit dem Faktor q bzw. [mm] \frac{1}{q} [/mm] , je nach dem,
wie q definiert ist. Das Volumen wird ebenfalls mit dem
entsprechenden Faktor multipliziert.
LG , Al-Chw.
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