Volumen kegelförmiger Trichter < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Sa 23.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Aus einem kreisförmigen Blech wird ein Segment (Tortenstück) mit Winkel [mm] \alpha [/mm] herausgeschnitten. Das verbleibende Blech wird zu einem kegelförmigen Trichter zusammengebogen und verlötet. Für welches [mm] \alpha [/mm] ist das Volumen des Trichters am größten? |
Hallo Zusammen,
als erstes die Hauptbedingung:
[mm] V_k(r,h) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] r² h
Nun benötigt man noch eine weitere Nebenbedingung, dies erhält man aus folgender Überlegung:
Schneidet man ein Stück aus dem Blech, entspricht der Radius r des Bleches (Schnittkante) der Seite s des Kegels, [mm] r_b [/mm] = s.
Über Pythagoras erhält man folgende Beziehung für die Seite s des Kegels:
s = [mm] \wurzel{r_k²+h²}, [/mm] dies nun nach r auflösen -> [mm] r_k² [/mm] = s²-h²
Dies nun in die Hauptbedingung eingesetzt:
[mm] V_k(h) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] h (s²-h²) = [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] s² h - [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] h³
Dies nun ableiten, da das Maximum des Volumens gefragt ist:
[mm] V_k(h)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] s² - [mm] \pi [/mm] h²
Nun die Extremwerte suchen:
[mm] \bruch{1}{3} \pi [/mm] s² - [mm] \pi [/mm] h² = 0
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] s² = h²
-> h = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] s = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} r_b
[/mm]
Nun kann man in Abhängigkeit vom Radius des Kreisstücks, die Höhe des Kegels berechnen, bei dem dann das Volumen maximal wird. Aus obiger Beziehung:
[mm] r_k² [/mm] = s²-h² kann nun noch des Radius des Kegels berechnet werden, bei dem das Volumen maximal wird:
[mm] r_k [/mm] = [mm] \wurzel{s²-\bruch{1}{3} s²} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}s [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}} r_b
[/mm]
Nun hat man die beiden Variablen [mm] r_k [/mm] und h des Kegels in Abhängigkeit des Radius des Kreises berechnet, setzt man dies nun in die Volumenformel ein, erhält man:
[mm] V_k(r_k) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \pi \bruch{2}{3}r_b² \wurzel{\bruch{1}{3}} r_b [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi }{9 \wurzel{3}} r_b³
[/mm]
Es war jedoch nach dem Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] des Tortenstückes gefragt, nachdem das Volumen des Kegels maximal wird. Ich habe nun folgenden Zusammenhang gefunden:
[mm] U_k [/mm] = [mm] U_k [/mm] - [mm] U_T
[/mm]
Also der Umfang des Kegels [mm] (2\pi r_k) [/mm] entspricht dem Umfang des Blechstückes [mm] (2\pi r_b) [/mm] Minus dem Umfang des Tortenstückes [mm] (\alpha \cdot{} r_b)
[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm] 2\pi r_k [/mm] = [mm] 2\pi r_b [/mm] - [mm] \alpha \cdot{} r_b
[/mm]
[mm] r_k [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}} r_b:
[/mm]
[mm] 2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}} r_b [/mm] = [mm] 2\pi r_b [/mm] - [mm] \alpha \cdot{} r_b [/mm] | dann kürzt sich des Radius des Bleckstückes
[mm] 2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] - [mm] \alpha \cdot{}
[/mm]
-> [mm] \alpha [/mm] = -1 ( [mm] 2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] - [mm] 2\pi [/mm] ) = - [mm] 2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] + [mm] 2\pi [/mm] = [mm] 2\pi (-\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] + 1) = 1,15
Dies nun in Grad umgerechnet ergibt [mm] \alpha [/mm] = 66,06°. Für diesen Schnittwinkel des Tortenstückes aus dem Blechstück, wäre das Volumen des Kegels maximal.
Stimmt diese Rechnung?
Gruß
itse
|
|
| |
|
Hallo itse,
> Aus einem kreisförmigen Blech wird ein Segment
> (Tortenstück) mit Winkel [mm]\alpha[/mm] herausgeschnitten. Das
> verbleibende Blech wird zu einem kegelförmigen Trichter
> zusammengebogen und verlötet. Für welches [mm]\alpha[/mm] ist das
> Volumen des Trichters am größten?
> Hallo Zusammen,
>
> als erstes die Hauptbedingung:
>
> [mm]V_k(r,h)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \pi[/mm] r² h
>
> Nun benötigt man noch eine weitere Nebenbedingung, dies
> erhält man aus folgender Überlegung:
>
> Schneidet man ein Stück aus dem Blech, entspricht der
> Radius r des Bleches (Schnittkante) der Seite s des Kegels,
> [mm]r_b[/mm] = s.
>
> Über Pythagoras erhält man folgende Beziehung für die Seite
> s des Kegels:
>
> s = [mm]\wurzel{r_k²+h²},[/mm] dies nun nach r auflösen -> [mm]r_k²[/mm] =
> s²-h²
>
> Dies nun in die Hauptbedingung eingesetzt:
>
> [mm]V_k(h)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \pi[/mm] h (s²-h²) = [mm]\bruch{1}{3} \pi[/mm] s²
> h - [mm]\bruch{1}{3} \pi[/mm] h³
>
> Dies nun ableiten, da das Maximum des Volumens gefragt
> ist:
>
> [mm]V_k(h)'[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \pi[/mm] s² - [mm]\pi[/mm] h²
>
> Nun die Extremwerte suchen:
>
> [mm]\bruch{1}{3} \pi[/mm] s² - [mm]\pi[/mm] h² = 0
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] s² = h²
>
> -> h = [mm]\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm] s = [mm]\wurzel{\bruch{1}{3}} r_b[/mm]
>
> Nun kann man in Abhängigkeit vom Radius des Kreisstücks,
> die Höhe des Kegels berechnen, bei dem dann das Volumen
> maximal wird. Aus obiger Beziehung:
>
> [mm]r_k²[/mm] = s²-h² kann nun noch des Radius des Kegels berechnet
> werden, bei dem das Volumen maximal wird:
>
> [mm]r_k[/mm] = [mm]\wurzel{s²-\bruch{1}{3} s²}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{2}{3}}s[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{2}{3}} r_b[/mm]
>
> Nun hat man die beiden Variablen [mm]r_k[/mm] und h des Kegels in
> Abhängigkeit des Radius des Kreises berechnet, setzt man
> dies nun in die Volumenformel ein, erhält man:
>
> [mm]V_k(r_k)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} \pi \bruch{2}{3}r_b² \wurzel{\bruch{1}{3}} r_b[/mm]
> = [mm]\bruch{2 \pi }{9 \wurzel{3}} r_b³[/mm]
>
> Es war jedoch nach dem Schnittwinkel [mm]\alpha[/mm] des
> Tortenstückes gefragt, nachdem das Volumen des Kegels
> maximal wird. Ich habe nun folgenden Zusammenhang
> gefunden:
>
> [mm]U_k[/mm] = [mm]U_k[/mm] - [mm]U_T[/mm]
>
> Also der Umfang des Kegels [mm](2\pi r_k)[/mm] entspricht dem Umfang
> des Blechstückes [mm](2\pi r_b)[/mm] Minus dem Umfang des
> Tortenstückes [mm](\alpha \cdot{} r_b)[/mm]
>
> Somit ergibt sich:
>
> [mm]2\pi r_k[/mm] = [mm]2\pi r_b[/mm] - [mm]\alpha \cdot{} r_b[/mm]
>
> [mm]r_k[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{2}{3}} r_b:[/mm]
>
> [mm]2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}} r_b[/mm] = [mm]2\pi r_b[/mm] - [mm]\alpha \cdot{} r_b[/mm]
> | dann kürzt sich des Radius des Bleckstückes
>
> [mm]2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] - [mm]\alpha \cdot{}[/mm]
>
> -> [mm]\alpha[/mm] = -1 ( [mm]2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] - [mm]2\pi[/mm] ) = -
> [mm]2\pi \wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] + [mm]2\pi[/mm] = [mm]2\pi (-\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm]
> + 1) = 1,15
>
> Dies nun in Grad umgerechnet ergibt [mm]\alpha[/mm] = 66,06°. Für
> diesen Schnittwinkel des Tortenstückes aus dem Blechstück,
> wäre das Volumen des Kegels maximal.
>
> Stimmt diese Rechnung?
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß
> itse
Gruß
MathePower
|
|
|
|
