Volumen mit 3fach Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei der Körper $K$, der von den Flächen [mm] z=1-x^2 [/mm] und [mm] x^2+y^2=1 [/mm] sowie der $xy$-Ebene eingeschlossen wird.
a) Volumen von K berechnen
b) Gegeben sei das Vektorfeld [mm] \vec{g}(x,y,z)=\vektor{xy+yz^2 \\ xz+2xy^2z\\2z-2xyz^2}
[/mm]
Mit Satz von Gauß den Fluss [mm] \phi [/mm] des Vektorfeldes [mm] \vec{g} [/mm] durch die Randfläche $S$ von innen nach außen berechnen. |
Hi Leute,
ich bin gerade dabei mich mit dem ganzen Vektoranalysis-Kram den wir in Analysis II hatten zu beschäftigen. Obige Aufgabe hab ich mir mal rausgesucht und ich bin mir schon bei a) total unsicher. Ich würde so anfangen:
Zunächst will ich Zylinderkoordinaten verwenden (macht das Sinn?) also: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\Phi(r,\varphi,z)=\vektor{r cos\varphi\\ r sin \varphi \\z}
[/mm]
[mm] V(K)=\integral_{}^{}{\integral_{K}^{}{\integral_{}^{}{dx dy dz}}}= \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1-x^2}{det(\Phi')dzd\varphi dr}}}= \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{sin^2\varphi}{r*dz d\varphi dr}}}=\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{r*sin^2\varphi d\varphi dr}}=\integral_{0}^{1}{r*\pi dr}=\pi
[/mm]
Ist das erstmal so in Ordnung? Wenn ja mache Ich weiter, ansonsten würde ich gerne nen richtigen Ansatz wissen wollen.
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mr.Teutone!
a)Da ich mir nicht ganz sicher bin,gebe ich Dir einen Buchtipp:
Meyberg.Vachenauer Band 1.
b)siehe a).
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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Oh natürlich, Danke, richtig müsste dann also sein:
[mm] V(K)=\integral_{}^{}{\integral_{K}^{}{\integral_{}^{}{dx dy dz}}}= \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1-x^2}{det(\Phi')dz d\varphi dr}}}= \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1-r^2 \cos^2\varphi}{r\cdot dz d\varphi dr}}}=\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{r(1-r^2 \cos\varphi) d\varphi dr}}=\integral_{0}^{1}{\pi \cdot r(2-r^2)dr}=\bruch{3}{4}\pi
[/mm]
Ok, nun zu b):
Erstmal will ich den Gaußschen Integralsatz in folgender Form [mm] anwenden:\integral_{}^{}{\integral_{K}^{}{\integral_{}^{}{div \vec{f} dK}}}=\integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{f}*\vec{n°}dS}}
[/mm]
Ich will wieder die Zylinderkorrdinaten verwenden und die linke Seite müsste demnach einfach [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1-r^2 \cos^2\varphi}{r(y+z) dz d\varphi dr}}} [/mm] lauten.
Aber wie lautet bitte die rechte Seite?
Ich brauch ja zunächst irgendeine Parametrisierung der Fläche $S$. Dazu würde ich sozusagen die Zylinderkoordinaten mit dem Radius r=1 nehmen. Würde das klappen, also: [mm] \Phi(\varphi ,z)=\vektor{\cos\varphi\\ \sin\varphi \\z} [/mm] und könnte die rechte Seite dann zunächst folgendermaßen aussehen: [mm] \integral_{0}^{1-\cos^2\varphi}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}*\vec{n°}*r d\varphi dz}} [/mm] ?
Jetzt brauch ich ja noch den äußeren Normalenvektor [mm] \vec{n°} [/mm] . Da würde ich jetzt einfach vorschlagen: [mm] \vec{n°}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] , kann man das so einfach machen? Wenn irgendwas von meinen Gedanken richtig ist, dann bitte mir mitteilen.
Vielen Dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 24.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Ok, nun zu b):
> Erstmal will ich den Gaußschen Integralsatz in folgender
> Form
> [mm]anwenden:\integral_{}^{}{\integral_{K}^{}{\integral_{}^{}{div \vec{f} dK}}}=\integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{f}*\vec{n°}dS}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich will wieder die Zylinderkorrdinaten verwenden und die
> linke Seite müsste demnach einfach
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1-r^2 cos^2\varphi}{r(y+z) dz d\varphi dr}}}[/mm]
> lauten.
Ich bekomme: [mm]\vec\nabla\cdot \vec g = y+2 = r \sin\varphi+2[/mm]
> Aber wie lautet bitte die rechte Seite?
Ich glaube, du hast dich da verrannt. Du sollst doch nicht beide Seiten ausrechnen und überprüfen, dass der Satz von Gauss stimmt.
1. Du willst die rechte Seite ausrechnen.
2. Der Satz von Gauss sagt dir, dass die rechte Seite gleich dem Volumenintegral auf der linken Seite.
3. Du rechnest das Volumenintegral aus, fertig.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Di 24.07.2007 | | Autor: | Mr.Teutone |
Hi, oh ja klar, da hab ich meine 2 für ein z gehalten... ansonsten wenn ich mir die Augfagenstellung angucke, dann ist natürlich be mir [mm] \vec{f}=\vec{g}. [/mm] Und ja klar, ich könnt einfach das Integral ausrechnen, ich will aber lieber gucken ob der Satz von Gauß auch stimmt bzw. interessiert mich eben die rechte Seite, da hab ich nämlich grad nicht so die Ahnung ob das so stimmen kann, was es wohl nicht tut.
Gruß Mr.Teutone
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Di 24.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Ah, ok. 
Der Normalenvektor an einen Punkt der Fläche ist gerade ein Vektor, der senkrecht auf der Tangentialebene in diesem Punkt steht. Hast du zwei Vektoren [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm], die die Tangentialebene aufspannen, so ist [mm] \vec a \times \vec b[/mm] ein Normalenvektor, der dann noch auf Länge 1 normiert werden muss.
Zwei Tangentialvektoren an die Fläche bekommst du zum Beispiel, indem du eine Parametrisierung der Fläche wählst und die Richtungsableitungen bildest. Angenommen, du beschreibst die Punkte deiner Fläche als [mm]\vec{x}(\varphi,z)[/mm], dann sind [mm]\bruch{\partial \vec{x}}{\partial\varphi}[/mm] und [mm]\bruch{\partial \vec{x}}{\partial z}[/mm] geeignete Tangentialvektoren.
(Man muss im Allgemeinen aufpassen, dass die beiden wirklich linear unabhängig sind. Ein Beispiel, bei dem es schiefgeht, sind Kugelkoordinaten für eine Kugeloberfläche: die sind nämlich an Nord- und Südpol der Kugel nicht eineindeutig.)
Du musst also jetzt deine Oberfläche mit zwei Koordinaten beschreiben. Probiere, die Oberfläche durch [mm]\varphi[/mm] und z auszudrücken.
Grüße
Rainer
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Ok, soweit klar,
ich brauch ne Parametrisierung der Fläche $S$, dann die beiden linear unabhängigen Tangentialvektoren und dann bekomm ich mittels Kreuzprodukt den noch zu normierenden Normalenvektor.
So, nur das eigentliche Probem ist wohl, wie sieht $S$ überhaupt aus, bzw. wie ist deren Parameterdarstellung. Ich würde ja nach wie vor motiviert durch [mm] x^2+y^2=1 [/mm] was schonmal nach Einheitskreis aussieht, diese Zylinderkoordinaten verwenden um diese Parametrisierung zu bekommen, d.h.: [mm] \Phi(\varphi,z)=\vektor{\cos \varphi\\ \sin\varphi \\z} [/mm] stellt meine Fläche dar. Wenn das richtig ist, dann folgt:
[mm] \vec{n}=\Phi_{\varphi} \times \Phi_z=\vektor{-\sin \varphi\\ \cos\varphi \\0}\times \vektor{0\\ 0 \\1}=\vektor{\cos \varphi\\ \sin\varphi \\0}=\vec{n}°
[/mm]
Stimmt das so, ist es ok, das ich r=1 setze oder muss ich eventuell vor dem Differenzieren und Ableiten noch für z etwas einsetzen bzw. ist die Idee der Parametrisierung so überhaupt korrekt?
Wenn alles so stimmt müsste die rechte Seite des Satzes von Gauß doch nun lauten: [mm] \integral_{0}^{1-r^2\cos^2\varphi}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{g}\cdot{}\vektor{\cos \varphi\\ \sin\varphi \\0}\cdot{}r *d\varphi dz}} [/mm] mit auch noch r=1 setzen?
Danke für weitere Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Di 24.07.2007 | | Autor: | rainerS |
> So, nur das eigentliche Probem ist wohl, wie sieht [mm]S[/mm]
> überhaupt aus, bzw. wie ist deren Parameterdarstellung. Ich
> würde ja nach wie vor motiviert durch [mm]x^2+y^2=1[/mm] was
> schonmal nach Einheitskreis aussieht, diese
> Zylinderkoordinaten verwenden um diese Parametrisierung zu
> bekommen, d.h.: [mm]\Phi(\varphi,z)=\vektor{\cos \varphi\\ \sin\varphi \\z}[/mm]
> stellt meine Fläche dar.
Das ist nicht ganz richtig. Der Ansatz ist nicht schlecht, aber er beschreibt die Oberfläche eines Zylindermantels um die z-Achse mit Radius 1. Es fehlen die beiden Begrenzungsflächen unten (Kreisscheibe mit Radius 1) und oben. Es bleibt einem nichts Anderes übrig, als die drei Teilflächen getrennt zu betrachten, das Oberflächenintegral also aufzuspalten.
Die obere Begrenzung ist gegeben durch die Bedingung [mm]z=1-x^2[/mm]. Das ist eine Parabel in der in xz-Ebene:
[Dateianhang nicht öffentlich].
Für diese Teilfläche musst du das r stehen lassen und über die Gleichung [mm]z=1-x^2=1-r^2\cos^2\varphi[/mm] entweder r oder [mm]\varphi[/mm] eliminieren. Ich würde r eliminieren, das gibt dann
[mm]\Phi(\varphi,z)=\vektor{\sqrt{1-z} \\ \sqrt{1-z}\tan\varphi \\ z}[/mm].
Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
also heißt aufsplitten, dass ich einfach eine Summe draus mache. Wenn ja dann würde ich es nun wie folgt machen:
Ich habe also drei Flächen, die ich wie folgt parametrisiere:
Deckfläche (Parabel) [mm] S_1: \Phi_1(\varphi,z)=\vektor{\sqrt{1-z} \\ \sqrt{1-z}\tan\varphi \\ z}
[/mm]
Mantelfläche (Zylinder) [mm] S_2: \Phi_2(\varphi,z)=\vektor{\cos \varphi\\ \sin\varphi \\z}
[/mm]
Grundfläche (Einheitskreis) [mm] S_3: \Phi_3(\varphi,r)=\vektor{r*\cos \varphi\\ r*\sin\varphi \\0}
[/mm]
Könnte das Flussintegral nun wie folgt lauten:
[mm] \integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}\cdot{}\vec{n°}dS}}=\integral_{S_1}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}*({\Phi_1}_\varphi \times {\Phi_1}_z)*\mbox{det}({\Phi_1}')dS_1}}+\integral_{S_2}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}*({\Phi_2}_\varphi \times {\Phi_2}_z)*\mbox{det}({\Phi_2}')dS_2}}+\integral_{S_3}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}*({\Phi_3}_\varphi \times {\Phi_3}_r)*\mbox{det}({\Phi_3}')dS_3}} [/mm] ?
Wenn ja kann ich Schritt für Schritt weiter machen oder bin ich schonwieder aufm Holzweg?
Gruß Mr.Teutone
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mi 25.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
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> also heißt aufsplitten, dass ich einfach eine Summe draus
> mache. Wenn ja dann würde ich es nun wie folgt machen:
>
> Ich habe also drei Flächen, die ich wie folgt parametrisiere:
>
> Deckfläche (Parabel) [mm]S_1: \Phi_1(\varphi,z)=\vektor{\sqrt{1-z} \\ \sqrt{1-z}\tan\varphi \\ z}[/mm]
Ja, aber pass auf, das bei [mm]\varphi=\pm\pi/2[/mm] nichts Schlimmes passiert. Da ist zwar [mm]z=1[/mm], sodass die Funktion endlich bleibt, aber ich hab's nicht durchgerechnet.
> Mantelfläche (Zylinder) [mm]S_2: \Phi_2(\varphi,z)=\vektor{\cos \varphi\\ \sin\varphi \\z}[/mm]
>
> Grundfläche (Einheitskreis) [mm]S_3: \Phi_3(\varphi,r)=\vektor{r*\cos \varphi\\ r*\sin\varphi \\0}[/mm]
> Könnte das Flussintegral nun wie folgt lauten:
>
> [mm]\integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}\cdot{}\vec{n°}dS}}=\integral_{S_1}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}*({\Phi_1}_\varphi \times {\Phi_1}_z)*\mbox{det}({\Phi_1}')dS_1}}+\integral_{S_2}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}*({\Phi_2}_\varphi \times {\Phi_2}_z)*\mbox{det}({\Phi_2}')dS_2}}+\integral_{S_3}^{}{\integral_{}^{}{\vec{g}*({\Phi_3}_\varphi \times {\Phi_3}_r)*\mbox{det}({\Phi_3}')dS_3}}[/mm]
> ?
Bis auf ein oder zwei Kleinigkeiten,die dir vermutlich klar sind, die aber so wie's da steht nicht stimmen.
[mm]\mbox{det}({\Phi_1}')[/mm] ist etwas missverständlich. Außerdem gilt das nur, wenn deine Kreuzprodukte auf 1 normiert sind. Genau genommen ist, wenn [mm]d\vec{x}_1[/mm] und [mm]d\vec{x}_2[/mm] das Flächenelement aufspannen und zum Beispiel z und [mm]\varphi[/mm] die Parameter sind:
[mm]d\vec{S} = d\vec{x}_1\times d\vec{x}_2 = \vec{\Phi}_\varphi d\varphi \times \vec{\Phi}_z dz = \vec{\Phi}_\varphi\times \vec{\Phi}_z d\varphi dz[/mm].
Also entweder normierst du das Kreuzprodukt, dann taucht die Norm nochmal im Integranden auf und ist gerade das, was du mit [mm]\mbox{det}({\Phi_1}')[/mm] meinst, oder du lässt das Kreuzprodukt unnormiert stehen, dann brauchst du diesen Faktor nicht.
Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Mr.Teutone |
Hallo,
du hast natürlich Recht. Ich hab Die Koordinatentransformation, wie ich sie ja auf der linken Seite beim Volumenintegral über der Divergenz des Vektorfeldes gemacht hab, mit einfach der Parametrisierung, wie wir sie hier besprochen haben durcheinandergebracht. Also [mm] $\mbox{det}(\Phi')$ [/mm] brauch ich nur bei der Koordinatentransformation in Zylinderkoordinaten. Das mit der Normierung und dem skalaren und vektorielle Oberflächenelementen hab ich jetzt denke soweit verstanden. Ausrechnen werd ich die ganzen Integrale jetzt aber nicht.
Also vielen Dank für die Hilfe.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
