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Forum "Integration" - Volumen üb Kreis m Polarkoord
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Volumen üb Kreis m Polarkoord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Fr 14.09.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie das Volumen über einen Kreis mit M(0/0/0) und r =2 um die z-Achse,

mit f(x;y) = x + y +2  

mithilfe von Polarkoordinaten.


Moin Moin,

laut Musterlösung ergibt sich ein Doppelintegral

[mm] \integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{2}{f(x;y)*r} [/mm] dr [mm] d\alpha [/mm]


mit x = r*cos [mm] \alpha [/mm]  und y = r*sin [mm] \alpha. [/mm]


Ich habe zwei Fragen. Ich kann mir das nicht gut vorstellen.

1. Was für eine Art Körper entsteht hier? Ein Zylinder? Ein Kegelstumpf?  oder oder oder???

2. Wie kommt das

* r    im Integral zustande, welches hinter f(x;y) steht ??

bzw. wie kann ich mir das vorstellen?

Und wieso schwankt r von 0 bis 2 ???


... Mit dem Ansatz weiterrechnen ist nicht mein Problem.


Danke & Gruß!








        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Fr 14.09.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie das Volumen über einen Kreis mit M(0/0/0)
> und r =2 um die z-Achse,
>
> mit f(x;y) = x + y +2  
>
> mithilfe von Polarkoordinaten.


Sorry, aber ich kann überhaupt nicht verstehen, was für ein
Volumen da gesucht sein soll.

Bitte um klar verständliche Aufgabenstellung !

Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Fr 14.09.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo Al,

> Sorry, aber ich kann überhaupt nicht verstehen, was für
> ein  Volumen da gesucht sein soll.

ernst gemeinte Frage: Was verstehst du an der Aufgabenstellung nicht?
Sie ist nicht hübsch, zugegeben, aber meiner Meinung nach ist durchaus verständlich, was gemeint ist… und meiner Erfahrung nach kann so eine Formulierung auch genau so vorkommen.

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Fr 14.09.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Was verstehst du an der Aufgabenstellung nicht?

Hallo Gonozal

Mit dem Text "Berechnen Sie das Volumen über einen Kreis ..."
konnte ich zunächst wirklich gar nichts anfangen.
Möglicherweise auch, weil für mich ein Kreis zunächst
mal eine (eindimensionale) Kreislinie ist ...

Später, nach mehrmaligem Durchlesen des Ganzen,
wurde mir dann schon klar, was wahrscheinlich gemeint
war.

Jedenfalls möchte ich schwammige und unklare Aufgaben-
stellungen, die zum Ratespiel für den Leser ausarten, nicht
einfach so stehen lassen.

> … und meiner Erfahrung nach kann so eine Formulierung
> auch genau so vorkommen.

Ja, das ist eben das Schlimme, dass wohl auch Lehrkräfte
sich an schludrige Beschreibungen gewöhnt haben.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Fr 14.09.2018
Autor: fred97


> Hallo Al,
>  
> > Sorry, aber ich kann überhaupt nicht verstehen, was für
> > ein  Volumen da gesucht sein soll.

Hallo Gono,

>  
> ernst gemeinte Frage: Was verstehst du an der
> Aufgabenstellung nicht?

So wie die Aufgabenstellung formuliert ist,  musste ich auch mehrfach lesen und dann spekulieren. Als Resultat :  die  Formulierung der Aufgabe ist völlig  bescheuert.


> Sie ist nicht hübsch, zugegeben, aber meiner Meinung nach
> ist durchaus verständlich, was gemeint ist…

Da widerspreche ich aber heftigst


> und meiner
> Erfahrung nach kann so eine Formulierung auch genau so
> vorkommen.

Gemeint ist wohl Folgendes:  sei K die abgeschlossene Kreisscheibe in der x-y Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2.

Berechne das Volumen von f(K).


>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                                
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Fr 14.09.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend Fred

> Gemeint ist wohl Folgendes:  sei K die abgeschlossene
> Kreisscheibe in der x-y Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung
> und Radius 2.
>  
> Berechne das Volumen von f(K).


Wenn man hier f(K) als geometrisches Objekt (Punktmenge)
repräsentiert sehen möchte, denke ich da nicht an einen
schief abgeschnittenen Vollzylinder (mit Grundkreisfläche
in der x-y-Ebene), sondern an eine elliptische, flache
Scheibe mit dem Volumen Null, welche sich in der Ebene
mit der Gleichung   $\ [mm] z\,=\,f(x,y)$ [/mm]  befindet

Am Ende ist es doch wohl am einfachsten, wenn man die
mathematische Schreibweise nutzt und etwa von der Punkt-
menge

     $\ Z\ =\ [mm] \{\ (x|y|z)\, \in\ \IR^3\ |\ \ 0\le z \le f(x,y)\ \wedge |(x|y|0)|\,\le 2\ \}$ [/mm]

spricht.

LG ,   Al

Bezug
                                        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:28 Sa 15.09.2018
Autor: hase-hh

Zunächst: vielen Dank für die Diskussion der Fragestellung.

Eine andere habe ich aber nicht.

Bezug
        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Fr 14.09.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Berechnen Sie das Volumen über einen Kreis mit M(0/0/0)
> und r =2 um die z-Achse,
>
> mit f(x;y) = x + y +2  
>
> mithilfe von Polarkoordinaten.
>  
> Moin Moin,
>  
> laut Musterlösung ergibt sich ein Doppelintegral
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi} \integral_{0}^{2}{f(x;y)*r}[/mm] dr
> [mm]d\alpha[/mm]
>  
>
> mit x = r*cos [mm]\alpha[/mm]  und y = r*sin [mm]\alpha.[/mm]
>  
>
> Ich habe zwei Fragen. Ich kann mir das nicht gut
> vorstellen.
>
> 1. Was für eine Art Körper entsteht hier? Ein Zylinder?
> Ein Kegelstumpf?  oder oder oder???

Weder noch… ein seltsames etwas.
Aber du kannst es dir vorstellen als einen Zylinder mit Grundfläche M und der Höhe [mm] $2-\sqrt{2}$ [/mm] wo dann noch eine Schräge Fläche oben drauf gepackt wird.

Die schräge Fläche sieht dabei []>> so << aus (nur den blauen Kreis beachten).


>  
> 2. Wie kommt das
>
> * r   im Integral zustande, welches hinter f(x;y) steht ??
>  
> bzw. wie kann ich mir das vorstellen?

Das kommt durch die Transformation in Polarkoordinaten zustande.
Man kann kurz den []Wikipedia-Eintrag dazu lesen, insbesondere das Beispiel, wo das genau an deinem Beispiel (mit einer anderen Funktion) mal gemacht wird.

> Und wieso schwankt r von 0 bis 2 ???

Weil das der Radius der Kreisfläche ist, die dem Körper zugrunde liegt.
Um den ganzen Kreis abzudecken muss man über den Bereich [mm] $[0,2\pi] \times [/mm] [0,2]$ integrieren.
Wie sollte es denn deiner Meinung nach schwanken?

Alternativ ginge natürlich auch der Bereich [mm] $[0,\pi] \times [/mm] [-2,2]$ aber das ist letztlich egal.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:54 Sa 15.09.2018
Autor: hase-hh

Vielen Dank für die Antwort.

Ich habe zwei Fragen.

1. Der Ausdruck  r*cos [mm] \alpha [/mm] + r*sin [mm] \alpha [/mm] beschreibt alle Punkte auf einem Kreis (Kreisrand), d.h. zu jedem [mm] \alpha [/mm] erhalte ich einen bestimmten Punkt auf dem Kreis, richtig?

2. Zu jedem Punkt auf dem Kreis gehört ein z-Wert... Ich habe mal eine Wertetabelle gemacht

[mm] \alpha [/mm]         z

    0     4
  30     4,73
  45     4,83
  60     4,73
  90     4
120     2,73
150     1,27
180     0
210   -0,73
225   -0,83
240   -0,73
270     0
300     1,27
330     2,73
360     4

Daraus würde ich schließen, dass der Körper am Kreisrand  aus Stäben besteht, die die ausgerechnete Höhe besitzen. ?

Nun würde ich an eine Art Zylinder mit gewellter Höhe denken...






Bezug
                        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Sa 15.09.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1. Der Ausdruck  r*cos [mm]\alpha[/mm] + r*sin [mm]\alpha[/mm] beschreibt
> alle Punkte auf einem Kreis (Kreisrand),

Nein. Wie kommst du darauf, dass die addiert werden müssten?
Im zweidimensionalen wäre das [mm] $(r\cos\alpha,r\sin\alpha)$, [/mm] also zwei Koordinaten.
Da der Kreis M sich aber in einem dreidimensionalem Raum auf der "Höhe" Null befindet, müssen wir diese Koordinate mit dazunehmen. M wird also beschrieben durch [mm] $(r\cos\alpha,r\sin\alpha,0)$ [/mm]


d.h. zu jedem

> [mm]\alpha[/mm] erhalte ich einen bestimmten Punkt auf dem Kreis,
> richtig?

Die Frage ist jetzt: Sprichst du vom Vollkreis oder vom Kreisrand.
Für jedes fixe [mm] $r\in [/mm] [0,2]$ erhälst du durch [mm] $(r\cos\alpha,r\sin\alpha,0)$ [/mm] einen Punkt auf dem Kreisrand für den Kreis mit Radius $r$.

Wenn du den Vollkreis beschreiben willst (also den ausgefüllten Kreis), musst du r natürlich für alle [mm] $r\in [/mm] [0,2]$ betrachten.

Den Kreisrand deines Kreises M erhälst du für den Fall r=2.


> 2. Zu jedem Punkt auf dem Kreis gehört ein z-Wert... Ich
> habe mal eine Wertetabelle gemacht

Zu welchem r?

>  
> [mm]\alpha[/mm]         z
>  
> 0     4
>    30     4,73
>    45     4,83
>    60     4,73
>    90     4
>  120     2,73
>  150     1,27
>  180     0
>  210   -0,73
>  225   -0,83
>  240   -0,73
>  270     0
>  300     1,27
>  330     2,73
>  360     4

Deinen $z$-Werten nach nehme ich mal an für $r=2$, was dann der Kreisrand von M wäre.


> Daraus würde ich schließen, dass der Körper am Kreisrand
>  aus Stäben besteht, die die ausgerechnete Höhe besitzen.
> ?

Ja. Allerdings betrachtest du jetzt ja "nur" den Hohlzylinder, d.h. nur die Höhe am Kreisrand. Die Höhe ändert sich aber auch innerhalb des Zylinders. Du musst das also auch mal für das Innere des Kreises machen… also wenn du das für ein paar $r [mm] \in [/mm] (0,2)$ betrachtest.

> Nun würde ich an eine Art Zylinder mit gewellter Höhe
> denken...

Da wellt meines Erachtens nix, das wird eine schräge Dachfläche. Keine Wellen.
Bedenke: Mit deiner Wahl von [mm] $\alpha$ [/mm] läufst du einmal um den Kreis rum. Der Höhe des  Zylinders ist um den Kreis aber symmetrisch.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:27 Sa 15.09.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin,

danke! Jetzt ist mir das Ganze doch schon mal deutlich klarer geworden.

> > 2. Zu jedem Punkt auf dem Kreis gehört ein z-Wert... Ich
> > habe mal eine Wertetabelle gemacht
>  
> Zu welchem r?

Naja, zu dem r aus der Aufgabe , d.h. r= 2.

  

> > [mm]\alpha[/mm]         z
>  >  
> > 0     4
>  >    30     4,73
>  >    45     4,83
>  >    60     4,73
>  >    90     4
>  >  120     2,73
>  >  150     1,27
>  >  180     0
>  >  210   -0,73
>  >  225   -0,83
>  >  240   -0,73
>  >  270     0
>  >  300     1,27
>  >  330     2,73
>  >  360     4
>  
> Deinen [mm]z[/mm]-Werten nach nehme ich mal an für [mm]r=2[/mm], was dann
> der Kreisrand von M wäre.
>  
>
> > Daraus würde ich schließen, dass der Körper am Kreisrand
> >  aus Stäben besteht, die die ausgerechnete Höhe besitzen.

> > ?
>  
> Ja. Allerdings betrachtest du jetzt ja "nur" den
> Hohlzylinder, d.h. nur die Höhe am Kreisrand. Die Höhe
> ändert sich aber auch innerhalb des Zylinders. Du musst
> das also auch mal für das Innere des Kreises machen…
> also wenn du das für ein paar [mm]r \in (0,2)[/mm] betrachtest.
>  
> > Nun würde ich an eine Art Zylinder mit gewellter Höhe
> > denken...
>
> Da wellt meines Erachtens nix, das wird eine schräge
> Dachfläche. Keine Wellen.
>  Bedenke: Mit deiner Wahl von [mm]\alpha[/mm] läufst du einmal um
> den Kreis rum. Der Höhe des  Zylinders ist um den Kreis
> aber symmetrisch.
>
> Gruß,
>  Gono

Die Höhe des Zylinders um den Kreis ist symmetrisch; aber es ist ja kein Zylinder, richtig?

Was ich nicht verstehe, dass die Höhen um den Kreisrand mal positiv, mal negativ sind. Stimmt das?

Äh, du meinst aber nicht, dass diese um den Kreisrand herum symmetrisch sein müssen?



Bezug
                                        
Bezug
Volumen üb Kreis m Polarkoord: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Sa 15.09.2018
Autor: chrisno

Du musst genau beschreiben, was für eine Symmetrie Du meinst.
Dafür ist es hilfreich, ein paar Werte von f(x,y)auf der Kreislinie zu berechnen:
$f(0;2) = f(2;0) = 4$
$f(0;-2) = f(-2;0) = 0$
[mm] $f(\br{2}{\wurzel{2}};-\br{2}{\wurzel{2}}) [/mm] = [mm] f(-\br{2}{\wurzel{2}};\br{2}{\wurzel{2}}) [/mm] = 2$
[mm] $f(-\br{2}{\wurzel{2}};-\br{2}{\wurzel{2}}) \approx [/mm] -0,83$
[mm] $f(\br{2}{\wurzel{2}};\br{2}{\wurzel{2}})$ [/mm] überlasse ich Dir.


Die Beschreibung als Zylinder ist ein Ausgangspunkt, führt aber leicht in die Irre. Ich versuche es mal:
Errichte senkrecht auf der Kreisscheibe einen Zylinder, der auch unterhalb der Kreislinie fortgesetzt wird.
Dann nimm eine schräg stehende Ebene, die diesen Zylinder schneidet. Einige Schnittpunkte sind oben berechnet.
Die gesuchte Figur befindet sich nun zwischen der Kreisfläche und der Ebene. Ein kleinerer Teil der Figur liegt unterhalb der x-y-Ebene, der größere oberhalb. Diese beiden Teilfiguren entstehen jeweils aus einem Zylinder, der (zuerst) entlang einer Ebene parallel zur Zylinderachse abgeschnitten wird. Die GRundfläche hat nun eine Schnittkante. Durch diese Schnittkante wird eine zur x-y-Ebene gekippte Schnittebene gelegt, die eine Dachschräge der Figur erzeugt.


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