Volumen über Dreifachintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Di 03.12.2013 | | Autor: | Aegon |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der von der angegebenen Fläche begrenzt wird:
[mm] (x^2+y^2+z^2)^2 = xyz [/mm] |
Ich habe bei diesem Beispiel Probleme die Integrationsgrenzen zu finden, da ich das Volumen aus der Angabe durch Integration über einen Normalbereich berechnen möchte. Wie sieht der Normalbereich hier aus?
Ist es weiters vorteilhaft Kugelkoordinaten einzuführen?
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> Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der von der
> angegebenen Fläche begrenzt wird:
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> [mm](x^2+y^2+z^2)^2 = xyz[/mm]
> Ich habe bei diesem Beispiel
> Probleme die Integrationsgrenzen zu finden, da ich das
> Volumen aus der Angabe durch Integration über einen
> Normalbereich berechnen möchte. Wie sieht der
> Normalbereich hier aus?
>
> Ist es weiters vorteilhaft Kugelkoordinaten einzuführen?
Hallo Aegon,
ich denke, dass es jedenfalls sinnvoll ist, mit
Kugelkoordinaten zu rechnen. Man kann dann
nämlich die Fläche relativ leicht in der Form
$\ r\ =\ [mm] r(\theta,\varphi)$
[/mm]
darstellen, wobei auch sofort klar wird, dass
r beschränkt und damit das Volumen sicher
endlich sein muss. Für die Integration kann
man dann möglicherweise auch noch die
Symmetrie der Gleichung bzw. des Körpers
nutzen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Di 03.12.2013 | | Autor: | Aegon |
Ich habe es mit Kugelkoordinaten versucht:
[mm]x = r \sin{\theta}\cos{\phi},[/mm]
[mm]y = r \sin{\theta}\sin{\phi},[/mm]
[mm]z = r \cos{\theta}, [/mm]
[mm]r^2= x^2 + y^2 + z^2[/mm]
Wenn ich jetzt in die Ausgangsgleichung einsetze, bekomme ich
[mm]r^4 = r^3 \sin{\theta}\cos{\phi}\sin{\theta}\sin{\phi} \cos{\theta}[/mm]
Also
[mm] r = \sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta}[/mm]
Kann ich damit schon das Integral aufstellen? Für r würde ich die Grenzen [mm] 0 [/mm] und [mm] \sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta}[/mm] einsetzen.
Was mache ich bei den beiden anderen Variablen? Beide von 0 bis [mm] 2\pi[/mm] laufen lassen?
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Hallo Aegon,
> Ich habe es mit Kugelkoordinaten versucht:
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> [mm]x = r \sin{\theta}\cos{\phi},[/mm]
> [mm]y = r \sin{\theta}\sin{\phi},[/mm]
>
> [mm]z = r \cos{\theta},[/mm]
> [mm]r^2= x^2 + y^2 + z^2[/mm]
>
> Wenn ich jetzt in die Ausgangsgleichung einsetze, bekomme
> ich
>
> [mm]r^4 = r^3 \sin{\theta}\cos{\phi}\sin{\theta}\sin{\phi} \cos{\theta}[/mm]
>
> Also
> [mm]r = \sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta}[/mm]
>
> Kann ich damit schon das Integral aufstellen? Für r würde
> ich die Grenzen [mm]0[/mm] und
> [mm]\sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta}[/mm] einsetzen.
> Was mache ich bei den beiden anderen Variablen? Beide von
> 0 bis [mm]2\pi[/mm] laufen lassen?
Die Integrationsbereiche dieser Variablen lassen sich
doch aus der Tatsache, daß [mm]r \ge 0[/mm] sein muss, ableiten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 03.12.2013 | | Autor: | Aegon |
[mm]r = (\sin^2{\theta}\cos{\theta}) (\cos{\phi}\sin{\phi}) \geq 0[/mm]
Um die Ungleichung zu erfüllen muss entweder
[mm] \sin^2{\theta}\cos{\theta} \geq 0[/mm] und [mm]\cos{\phi}\sin{\phi}\geq 0[/mm]
oder
[mm] \sin^2{\theta}\cos{\theta} < 0[/mm] und [mm]\cos{\phi}\sin{\phi}< 0[/mm]
Ich habe die beiden Funktionen [mm] \sin^2{\theta}\cos{\theta}[/mm] und [mm]\cos{\phi}\sin{\phi}[/mm] dann gezeichnet und komme auf [mm] 0 \leq \theta, \phi \leq \pi [/mm].
War das so gedacht?
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Hallo Aegon,
> [mm]r = (\sin^2{\theta}\cos{\theta}) (\cos{\phi}\sin{\phi}) \geq 0[/mm]
>
> Um die Ungleichung zu erfüllen muss entweder
>
> [mm]\sin^2{\theta}\cos{\theta} \geq 0[/mm] und
> [mm]\cos{\phi}\sin{\phi}\geq 0[/mm]
>
> oder
>
> [mm]\sin^2{\theta}\cos{\theta} < 0[/mm] und [mm]\cos{\phi}\sin{\phi}< 0[/mm]
>
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> Ich habe die beiden Funktionen [mm]\sin^2{\theta}\cos{\theta}[/mm]
> und [mm]\cos{\phi}\sin{\phi}[/mm] dann gezeichnet und komme auf [mm]0 \leq \theta, \phi \leq \pi [/mm].
> War das so gedacht?
Gedacht ja. aber das angegebene Intervall stimmt nicht,
da hier dann auch Werte kleiner Null auftreten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 03.12.2013 | | Autor: | Aegon |
[mm](\sin^2{\theta}\cos{\theta}) (\cos{\phi}\sin{\phi}) \geq 0[/mm]
Ich betrachte [mm] \cos{\phi}\sin{\phi} < 0 [/mm]. Das gilt für [mm] \frac{\pi}{2} < \phi < \pi [/mm] und [mm] \frac{3\pi}{2} < \phi < 2\pi[/mm].
Das Gleiche mache ich für [mm]\sin^2{\theta}\cos{\theta} < 0 [/mm]. Das gilt für [mm] \frac{\pi}{2} < \theta < 2 \pi [/mm].
Damit wäre [mm](\sin^2{\theta}\cos{\theta}) (\cos{\phi}\sin{\phi}) \geq 0 [/mm] für [mm] 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/mm] und [mm] 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}, \pi \leq \phi \leq \frac{3\pi}{2}[/mm]
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> [mm](\sin^2{\theta}\cos{\theta}) (\cos{\phi}\sin{\phi}) \geq 0[/mm]
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> Ich betrachte [mm]\cos{\phi}\sin{\phi} < 0 [/mm]. Das gilt für
> [mm]\frac{\pi}{2} < \phi < \pi[/mm] und [mm]\frac{3\pi}{2} < \phi < 2\pi[/mm].
>
> Das Gleiche mache ich für [mm]\sin^2{\theta}\cos{\theta} < 0 [/mm].
> Das gilt für [mm]\frac{\pi}{2} < \theta < 2 \pi [/mm].
>
> Damit wäre [mm](\sin^2{\theta}\cos{\theta}) (\cos{\phi}\sin{\phi}) \geq 0[/mm]
> für [mm]0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}[/mm] und [mm]0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}, \pi \leq \phi \leq \frac{3\pi}{2}[/mm]
Hallo Aegon,
da hast du wohl noch nicht alle Möglichkeiten erfasst.
Ich würde es zuerst ohne die Winkel betrachten. Die
Gleichung $\ [mm] (x^2+y^2+z^2)^2\ [/mm] =\ x*y*z$ ist genau dann mit
reellen $\ x,y,z$ und einem positiven $\ r:=\ [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ [/mm]
lösbar, wenn $\ [mm] x*y*z\,>\,0$ [/mm] ist. Diese Ungleichung ist
genau in 4 der insgesamt 8 Oktanten des [mm] \IR^3 [/mm] erfüllt.
Du kannst dir selber klar machen, in welchen.
Ferner kann man aus der Symmetrie der Gleichung
schließen, dass die Fläche (und der von ihr umschlossene
Körper) eine entsprechende Symmetrie aufweisen
muss, und dass es deshalb für die Rechnung genügen
wird, die Integration über einen dieser Oktanten zu
erstrecken und dann das Ergebnis mit 4 (für die 4
tatsächlich benötigten Oktanten) zu multiplizieren.
Die Symmetrie der Fläche müsste der eines regel-
mäßigen Tetraeders entsprechen. Irgendwann habe
ich mir Bilder von Flächen gemacht, die dieselbe
Art von Symmetrie haben (die Gleichung war allerdings
eine andere).
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ich habe es mit Kugelkoordinaten versucht:
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> [mm]x = r \sin{\theta}\cos{\phi},[/mm]
> [mm]y = r \sin{\theta}\sin{\phi},[/mm]
>
> [mm]z = r \cos{\theta},[/mm]
> [mm]r^2= x^2 + y^2 + z^2[/mm]
>
> Wenn ich jetzt in die Ausgangsgleichung einsetze, bekomme
> ich
>
> [mm]r^4 = r^3 \sin{\theta}\cos{\phi}\sin{\theta}\sin{\phi} \cos{\theta}[/mm]
>
> Also
> [mm]r = \sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta}[/mm]
>
> Kann ich damit schon das Integral aufstellen? Für r würde
> ich die Grenzen [mm]0[/mm] und
> [mm]\sin^2{\theta}\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta}[/mm] einsetzen.
> Was mache ich bei den beiden anderen Variablen? Beide von
> 0 bis [mm]2\pi[/mm] laufen lassen?
Hallo Aegon,
es wäre sehr sinnvoll (und nach meiner Ansicht
absolut notwendig !), dass du dir die genaue Bedeutung
der Winkel [mm] \theta [/mm] und [mm] \phi [/mm] anschaulich klar machst !
Wenn du so weit bist, solltest du dann auch sehen
können, welches die richtigen Intervalle sind, um die
Kugeloberfläche (genau einmal) abzudecken.
LG , Al-Chw.
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