Volumen (unendl.) Zylinder < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Brokando |
| Aufgabe | (a) Auf einen kreisförmigen Zylinder (Höhe 1, Radius der Grundfläche 1) wird ein
weiterer Zylinder mit halber Höhe / halbem Radius gestellt und auf diesen wiederum
(rekursiv) weitere Zylinder jeweils mit halber Höhe / halbem Radius des vorigen
Zylinders.
Wie groß ist das Gesamtvolumen der (unendlich vielen) Zylinder? |
Hallo,
ich habe das mal versucht auszurechnen. Leider sind keine Lösungen gegeben, deswegen würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagt, ob ich es richtig gemacht habe.
V = [mm] \pi \* r^2 \* [/mm] h
Die Reihe müsste dann in etwa so aussehen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pi \* (\bruch{1}{2^n})^2 \* \bruch{1}{2^n}
[/mm]
daraus kann man dann das machen oder?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \pi \* (\bruch{1}{2^n})^3 [/mm] = [mm] \pi *(1/1)^3 [/mm] + [mm] \pi *(1/2)^3 [/mm] + [mm] \pi *(1/4)^3 [/mm] + ...
q = an+1/an = [mm] \pi *(1/2)^3 [/mm] / [mm] \pi *(1/1)^3
[/mm]
Mein q ist somit [mm] (\bruch{1}{2^n})^3 [/mm] oder?
und damit die Summenformel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Sn = a [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \pi \bruch{1}{1-(\bruch{1}{2^n})^3} [/mm] = [mm] \pi \bruch{1}{1-0} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
also [mm] V=\pi [/mm] ?
Vielen Dank schon mal :)
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> (a) Auf einen kreisförmigen Zylinder (Höhe 1, Radius der
> Grundfläche 1) wird ein
> weiterer Zylinder mit halber Höhe / halbem Radius
> gestellt und auf diesen wiederum
> (rekursiv) weitere Zylinder jeweils mit halber Höhe /
> halbem Radius des vorigen
> Zylinders.
> Wie groß ist das Gesamtvolumen der (unendlich vielen)
> Zylinder?
> Hallo,
>
> ich habe das mal versucht auszurechnen. Leider sind keine
> Lösungen gegeben, deswegen würde ich mich freuen, wenn
> mir jemand sagt, ob ich es richtig gemacht habe.
>
> V = [mm]\pi \* r^2 \*[/mm] h
>
> Die Reihe müsste dann in etwa so aussehen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \pi \* (\bruch{1}{2^n})^2 \* \bruch{1}{2^n}[/mm]
>
> daraus kann man dann das machen oder?
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \pi \* (\bruch{1}{2^n})^3[/mm] = [mm]\pi *(1/1)^3[/mm]
> + [mm]\pi *(1/2)^3[/mm] + [mm]\pi *(1/4)^3[/mm] + ...
>
> q = an+1/an = [mm]\pi *(1/2)^3[/mm] / [mm]\pi *(1/1)^3[/mm]
Bis hierhin ist alles richtig.
>
> Mein q ist somit [mm](\bruch{1}{2^n})^3[/mm] oder?
Solche oder-Fragen sind immer mit "ja" zu beantworten.
Ich könnte dir auch bestätigen, dass q den Wert 2,669 oder einen anderen hat.
Tatsächlich ist das n hier fehl am Platz. q=1/8.
>
> und damit die Summenformel:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] Sn = a [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\pi \bruch{1}{1-(\bruch{1}{2^n})^3}[/mm]
Im letzten Term natürlich wieder ohne das n.
Den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] hast du schon vollzogen, als du die Summenformel aufgeschrieben hast.
Ab jetzt musst du natürlich alles entsprechend korrigieren.
> = [mm]\pi \bruch{1}{1-0}[/mm] = [mm]\pi[/mm]
>
> also [mm]V=\pi[/mm] ?
>
> Vielen Dank schon mal :)
>
> Grüße,
>
> Marcel
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Brokando |
> >
> > Mein q ist somit [mm](\bruch{1}{2^n})^3[/mm] oder?
>
> Solche oder-Fragen sind immer mit "ja" zu beantworten.
> Ich könnte dir auch bestätigen, dass q den Wert 2,669
> oder einen anderen hat.
> Tatsächlich ist das n hier fehl am Platz. q=1/8.
Ach mist, ich hatte auch erst 1/8 da stehen und erst hier beim aufschreiben hab ich mir das nochmal anders überlegt.. aber ja, hast natürlich recht mit 1/8..
> >
> > und damit die Summenformel:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] Sn = a [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\pi \bruch{1}{1-(\bruch{1}{2^n})^3}[/mm]
>
> Im letzten Term natürlich wieder ohne das n.
> Den Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] hast du schon vollzogen, als
> du die Summenformel aufgeschrieben hast.
Sn = a [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] = [mm]\pi \bruch{1}{1-(\bruch{1}{8})}[/mm]
>
> Ab jetzt musst du natürlich alles entsprechend
> korrigieren.
[mm] \pi \bruch{1}{1-\bruch{1}{8}} [/mm] = [mm]\pi[/mm] [mm] \bruch{8}{7} [/mm] = 1 [mm] \bruch{1}{7}[/mm] [mm]\pi[/mm]
V= 1 [mm] \bruch{1}{7}[/mm] [mm]\pi[/mm]
so? :)
Vielen Dank :)
> > Vielen Dank schon mal :)
> >
> > Grüße,
> >
> > Marcel
>
> Gruß Sax.
>
Grüße,
Marcel
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Hallo,
> > Ab jetzt musst du natürlich alles entsprechend
> > korrigieren.
>
> [mm]\pi \bruch{1}{1-\bruch{1}{8}}[/mm] = [mm]\pi[/mm] [mm]\bruch{8}{7}[/mm] = 1
> [mm]\bruch{1}{7}[/mm] [mm]\pi[/mm]
>
> V= 1 [mm]\bruch{1}{7}[/mm] [mm]\pi[/mm]
>
> so? :)
Ja, nun ist es richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße,
Stefan
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