Volumen von Rotationskörper < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Annika85 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn eine Sinuskurve (Amplitude: 1cm, Nulldurchgang in Abständen von 5cm), die in der x-y-Ebene um jeweils 45° gegen beide Achsen verschoben ist, vollständig um die x-Achse rotiert. Bei welchem x-Wert hat der Körper ein Volumen von 0,15 Litern? [Siehe Skizze] |
Hallo!
Die Frage steht ja oben schon, die zugehörige Skizze habe ich hier nochmal nachgezeichnet: [Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Problem ist, das ich überhaupt nicht weiss, wie ich diese Verkippung unterbringen soll. Für die Rotation um die x-Achse gilt ja bekanntermaßen diese Formel:
Volumen = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)^{2} dx}
[/mm]
Die Integrationsgrenzen sind aus der Geometrie einfach zu bestimmen, aber wie lautet die Funktion? Meine Idee war erst, eine Rotatiensmatrix auf den Sinus loszulassen, welche dann lauten sollte:
R = [mm] \pmat{ cos(45) & -sin(45) \\ sin(45) & cos(45) }
[/mm]
also
R = [mm] \wurzel{2} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] (Vorzeichenfehler nicht ausgeschlossen)
Da war es dann aber auch schon wieder zu Ende mit mir, denn die Matrix kann ich zwar wunderbar auf einen Vektor anwenden, aber nicht auf die Sinusfunktion. Vielleicht fehlt mir da einfach Wissen, aber ich bekomm das echt nicht gebacken.
Meine zweite Idee war dann, einfach ein Kegelvolumen anzusetzen und zwar so, dass ich die Ränder des Kegels so verschiebe, dass das vom Volumen her mit dem von der Sinusfunktion gebildeten Volumen übereinstimmt. Das bekomme ich aber nur näherungsweise hin und dass ist nicht zufriedenstellend.
Daher hoffe ich, ihr könnt mir hier vielleicht helfen,
liebe Grüße, Annika.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Fr 09.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Annika!
> Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn
> eine Sinuskurve (Amplitude: 1cm, Nulldurchgang in Abständen
> von 5cm), die in der x-y-Ebene um jeweils 45° gegen beide
> Achsen verschoben ist, vollständig um die x-Achse rotiert.
> Bei welchem x-Wert hat der Körper ein Volumen von 0,15
> Litern? [Siehe Skizze]
> Hallo!
>
> Die Frage steht ja oben schon, die zugehörige Skizze habe
> ich hier nochmal nachgezeichnet: [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Mein Problem ist, das ich überhaupt nicht weiss, wie ich
> diese Verkippung unterbringen soll. Für die Rotation um die
> x-Achse gilt ja bekanntermaßen diese Formel:
>
> Volumen = [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^{2} dx}[/mm]
>
> Die Integrationsgrenzen sind aus der Geometrie einfach zu
> bestimmen, aber wie lautet die Funktion? Meine Idee war
> erst, eine Rotatiensmatrix auf den Sinus loszulassen,
> welche dann lauten sollte:
>
> R = [mm]\pmat{ cos(45) & -sin(45) \\ sin(45) & cos(45) }[/mm]
>
> also
>
> R = [mm]\wurzel{2} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] (Vorzeichenfehler
> nicht ausgeschlossen)
>
> Da war es dann aber auch schon wieder zu Ende mit mir, denn
> die Matrix kann ich zwar wunderbar auf einen Vektor
> anwenden, aber nicht auf die Sinusfunktion. Vielleicht
> fehlt mir da einfach Wissen, aber ich bekomm das echt nicht
> gebacken.
Der Ansatz ist in Ordnung.
In dem gedrehten Koordinatensystem [mm](\bar x,\bar y)[/mm], in die die gestrichelte Linie die x-Achse darstellt, lautet die Funktion ja [mm]\bar y = -\sin (k \bar x)[/mm], [mm]k=\bruch{2\pi}{10\mathrm{cm}}[/mm].
Die Beziehung zum ungedrehten Koordinatensystem ist gegeben durch
[mm]\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \bruch{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bar x\\\bar y\end{pmatrix}[/mm],
oder:
[mm] x = \bruch{1}{\sqrt{2}} \bar{x} + \bruch{1}{\sqrt{2}} \sin (k\bar x)[/mm],
[mm]y=\bruch{1}{\sqrt{2}} \bar{x} -\bruch{1}{\sqrt{2}} \sin (k\bar x)[/mm].
Im Prinzip müsstest du die erste der beiden Gleichungen nach [mm]\bar{x}[/mm] auflösen und in die zweite einsetzen.
Die Umkehrung existiert im Prinzip, weil x als Funktion von [mm]\bar{x}[/mm] streng monoton steigend ist, aber sie lässt sich nicht durch einfache Funktionen ausdrücken.
Das Integral kannst du trotzdem ausrechnen, indem du die Subsitution [mm]x\rightarrow \bar{x}[/mm] durchführst:
[mm] \pi\integral_{0}^{10/\sqrt{2}}{y^{2} dx} = \pi\integral_{0}^{10} \left(\bruch{1}{\sqrt{2}} \bar{x} -\bruch{1}{\sqrt{2}} \sin (k\bar x)\right)^2 * \bruch{1}{\sqrt{2}} \left(1+ k\cos(k\bar{x})\right)\,d\bar{x}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Di 13.11.2007 | | Autor: | Annika85 |
Super! Vielen Dank, Rainer, werd mich gleich mal ans Werk machen.
|
|
|
|
