Volumen zwischen zwei Flächen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 14.05.2005 | | Autor: | flo83 |
Hallo zusammen,
ich suche dringend einen Lösungshinweis zur Volumenberechnung zwischen zwei Flächen. Ich habe hier eine Beispielaufgabe, zu der ich zwar die Lösung habe, aber nicht weiterkomme:
Berechne das Volumen des Körpers, der durch folgende Flächen begrenzt wird:
[mm] a*z=x^2+y^2 [/mm] und [mm] 2*a*z=a^2-x^2-y^2
[/mm]
Die Lösung ist [mm] V=(Pi*a^3)/12, [/mm] der Radius der Schnittfigur ist r=a/wurzel{3}
Den Radius der Schnittfigur habe ich durch Gleichsetzten der beiden Flächen schon erhalten, aber wie gehts weiter. Vermutlich mit einem Dreifachintegral. Ich kriegs aber nicht hin.
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
> [mm]a*z=x^2+y^2[/mm] und [mm]2*a*z=a^2-x^2-y^2[/mm]
> Die Lösung ist [mm]V=(Pi*a^3)/12,[/mm] der Radius der Schnittfigur
> ist r=a/wurzel{3}
> Den Radius der Schnittfigur habe ich durch Gleichsetzten
> der beiden Flächen schon erhalten, aber wie gehts weiter.
Zunächst mal mußt Du die Grenzen festlegen. Die Grenzen von z hast Du ja schon:
[mm]\frac{1}
{a}\;\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)\; \leqslant \;z\; \leqslant \;\frac{1}
{{2a}}\;\left( {a\; - \;x^2 \; - \;y^2 } \right)[/mm]
Und die anderen beiden Bereiche sind ja auch kein Problem, da Du denn Radius der Schnittfigur schon berechnet hast.
Demnach gilt:
[mm]\begin{gathered}
- \;\sqrt {\frac{{a^2 }}
{3}\; - \;x^2 } \; \leqslant \;y\; \leqslant \; + \;\sqrt {\frac{{a^2 }}
{3}\; - \;x^2 } \hfill \\
- \;\frac{a}
{{\sqrt 3 }}\; \leqslant \;x\; \leqslant \; + \;\frac{a}
{{\sqrt 3 }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Daraus ergibt sich dann ein Dreifach-Integral:
[mm]\int\limits_{ - \;\frac{a}
{{\sqrt {3} }}}^{ + \;\frac{a}
{{\sqrt {3} }}} {\;\int\limits_{ - \;\sqrt {\frac{{a^{2} }}
{3}\; - \;x^{2} } }^{ + \;\sqrt {\frac{{a^{2} }}
{3}\; - \;x^{2} } } {\;\int\limits_{\frac{1}
{a}\;\left( {x^{2} \; + \;y^2 } \right)}^{\frac{1}
{{2a}}\;\left( {a\; - \;x^{2} \; - \;y^{2} } \right)} {dz\;dy\;dx} } } [/mm]
Jetzt kannst Du das Dreifach-Integral berechnen.
Gruß
MathePower
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