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Forum "Uni-Analysis" - Volumenberechnung
Volumenberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Volumenberechnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Fr 24.03.2006
Autor: Professor

Hallo zusammen,

brauche bei meiner Vorbereitung auf die Analysis III Klausur unbedingt eure Hilfe bei folgender Aufgabe.

Aus der Kugel [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} \le R^{2} [/mm] wird ein Zylinder [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le A^{2} [/mm] herausgebohrt, wobei A < R (logisch ;-)) ist. Man berechne das Volumen des Restkörpers (Volumen der durchbohrten Kugel).

Mein Ansatz:

[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{A}^{R} \integral_{0}^{\wurzel{R^{2} - r^{2}}}{r dz dr d\delta} [/mm]

Als Lösung erhalte ich:

[mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \wurzel{R^{2} - A^{2}}^{3} [/mm]

Im Lösungsbuch steht jedoch,

[mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] * [mm] \wurzel{R^{2} - A^{2}}^{3} [/mm]

nach mehrmaligem nachrechnen behaupte ich einfach mal es handelt sich dabei im Lösungsbuch um einen Druckfehler. Kann von euch jemand meine Theorie stärken oder heißt es tatsächlich [mm] \bruch{4}{3}? [/mm]

Danke für eure Hilfe.

Gruß

Prof.

        
Bezug
Volumenberechnung: A=0
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Sa 25.03.2006
Autor: leduart

Hallo Prof.
Die Formel im Lösungsbuch ist sicher für A=0 richtig, deine nicht!
Nachgerechnet hab ich nicht!
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Volumenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Sa 25.03.2006
Autor: Leopold_Gast

[mm]V_{\text{Gesamt}} = V_{\text{Kugel}} - 2 V_{\text{Segment}} - V_{\text{Zylinder}}[/mm]

[mm]V_{\text{Kugel}} = \frac{4}{3} \pi R^3[/mm]

[mm]V_{\text{Segment}} = \pi \int_{\sqrt{R^2 - A^2}}^{R}~\left( R^2 - x^2 \right)~\mathrm{d}x = \pi \left( \frac{2}{3} R^3 - \frac{1}{3} \left( 2R^2 + A^2 \right) \sqrt{R^2 - A^2} \right)[/mm]

[mm]V_{\text{Zylinder}} = 2 \pi A^2 \sqrt{R^2 - A^2}[/mm]

Alles zusammen:

[mm]V_{\text{Gesamt}} = \frac{4}{3} \pi \left( R^2 - A^2 \right)^{\frac{3}{2}}[/mm]

Bezug
                
Bezug
Volumenberechnung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:37 Sa 25.03.2006
Autor: Professor

Hallo ihr beiden,

danke für eure äußerst schnellen Antworten. Die Sache mit A = 0 hätte ich mir denken können. Daher kann meine
Lösung nicht richtig sein.

Ich werde es also noch einmal durch gehen - morgen ;-)

Danke nochmals

Gruß

Prof.


Bezug
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