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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Do 02.09.2004 | | Autor: | Chris03 |
Hallo!
Vielleicht kann mit ja jemand weiterhelfen. Die Aufgabe lautet wie folgt:
Berechnen Sie das Volumen des von den vier Flächen
x=0 ; y=0 ; z=x*y ; z=1-x-y
im [mm] R^3 [/mm] begrenzten Körpers.
Wie beginne ich da?
Gruss Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:04 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
> Hallo!
> Vielleicht kann mit ja jemand weiterhelfen. Die Aufgabe
> lautet wie folgt:
>
> Berechnen Sie das Volumen des von den vier Flächen
>
> x=0 ; y=0 ; z=x*y ; z=1-x-y
>
> im [mm]R^3[/mm] begrenzten Körpers.
>
>
> Wie beginne ich da?
Am besten mal mit einer Zeichnung! Die Funktion $z=xy$ gibt ja einen schönen Sattelpunkt im Ursprung. Bei der Stelle $(x,y) = (0,0)$ hat diese Funktion den Wert $0$, die Ebene $z=1-x-y$ hingegen den Wert $1$.
Damit wird klar, dass die Punkte zwischen $z=0$ und $z=xy$ nicht zum Volumen gehören, wohl aber die Punkte zwischen $z=xy$ und $z=1-x-y$
Dann sollte man noch überlegen, wie sich die Funktion $z=xy$ und $z=1-x-y$ schneiden. Setze einfach die beiden Ausdrücke für $z$ gleich und löse nach $y$ auf:
$xy=1-x-y [mm] \Rightarrow y=\bruch{1-x}{1+x}$ [/mm]
Das ist eine Hyperbel.
Somit berechnest du das Volumen einfach so:
[mm] $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\bruch{1-x}{1+x}} \int_{xy}^{1-x-y} \,dz \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dx$ 
Mit lieben Grüssen
P.S. Sofern mich zu nächtlicher Stunde nicht alle Rechenkünste verlassen haben, gibt das: [mm] $\ln(4) -\bruch{5}{4}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Chris03 |
Hallo Paulus!
Danke für die schnell Antwort!
Hätte da aber noch eine Frage. Du hast geschrieben:
"Damit wird klar, dass die Punkte zwischen z=0 und z=xy nicht zum Volumen gehören, wohl aber die Punkte zwischen z=xy und z=1-x-y"
Stimmt das aus der zweiten Zeile, oder meintest du zwischen z=1 und z=1-x-y?
Dann hätte ich noch eine Frage zum gleischsetzen von xy=1-x-y
irgenwie bekomme ich nie nur eine unbekannte auf eine Seite. Ich übersehe wohl irgendwas.
Schöne Grüße
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
> Danke für die schnell Antwort!
Bitte schön!
> Hätte da aber noch eine Frage. Du hast geschrieben:
> "Damit wird klar, dass die Punkte zwischen z=0 und z=xy
> nicht zum Volumen gehören, wohl aber die Punkte zwischen
> z=xy und z=1-x-y"
>
Nun, man muss ja untersuchen, welche Punkte des Raumes denn innerhalb des Körpers liegen, und welche ausserhalb. Dazu steche ich einfach, anschaulich gesprochen, mit einer Nadel durch den Raum, etwa dort, wo ich Teile des Körpers vermute. Dabei untersuche ich, in welcher Reihenfolge die Begrenzungsflächen durchstochen werden.
Um einen aussichtsreichen Ort für den Nadelstich zu finden, mache ich eben zuerst eine Skizze. Ich habe mich zum Beispiel entschieden, in der Nähe des Ursprungs, also etwa bei $(x,y) = (0.1,0.1)$ parallel zur z-Achse den Nadelstich zu machen. Dann durchsteche ich das Volumen, von aussen kommend, zuerst bei der Fläche $z=xy$ beim Punkt $z=0.01$, und dann verlasse cih den Körper bei $z=1-x-y=0.8$ wieder.
So komme ich darauf, dass dann beim Integrieren, wenn ich mich in der z-Richtung bewege, von $z=xy$ bis nach $z=1-x-y$ zu integrieren ist.
> Stimmt das aus der zweiten Zeile, oder meintest du zwischen
> z=1 und z=1-x-y?
>
Wie soeben oben dargelegt.
> Dann hätte ich noch eine Frage zum gleischsetzen von
> xy=1-x-y
> irgenwie bekomme ich nie nur eine unbekannte auf eine
> Seite. Ich übersehe wohl irgendwas.
>
Ja, das denke ich auch. ich hbs so gemacht:
$xy=1-x-y$ [mm] $\mid [/mm] +y$
$xy+y=1-x$ linkerhand $y$ ausgeklammert:
$y(x+1)=1-x$ und das Ganze durch $x+1$ dividiert.
Zeichne diese Kurve doch mal in der $xy$-Ebene ein. Dann wirst du auch sofort sehen, dass eben die Integrationsgrenzen für $y$ so sind, wie in meiner Antwort angegeben.
Ist jetzt alles klar? Falls nicht, dann scheue dich nicht, einfach weiter zu fragen!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Chris03 |
Hallo!
Nochmals vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt ist mir alles klar. Falls ich bei einer anderen Aufgabe mal hängen bleibe melde ich mich vielleicht nochmal!
Liebe Grüße
Christian
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