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Forum "Integralrechnung" - Volumenberechnung
Volumenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Volumenberechnung: Idee/ Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mi 29.04.2009
Autor: manuel85

Hallo,
es geht um Mathematik, gymnasiale Oberstufe, 13. Klasse, bevorstehende Abiturprüfung, LK.
Mit dem Integrieren kann ich Flächeninhalte bestimmen, das ist klar. Kann ich damit auch Volumen berechnen?
Folgende Aufgabe hierzu, klingt simpel, sofern man es kann:

[mm] f(x)=e^{1-x}. [/mm] Die Kurve hierzu heißt K.
Bei Rotation von K um die x-Achse entsteht ein Körper. Berechnen Sie sein Volumen!
Wie soll das gehen? Entweder wir haben das nicht behandelt oder es ist schon sehr lange her oder war nur sehr nebensächlich und kurz. Muss ich außer solchem Aufgabentyp noch mehr zur Volumenberechnung/Rotation wissen (fürs Abitur)? Wie könnte dieser Aufgabentyp variiert werden?
Wäre jedenfalls sehr hilfreich, wenn mir jemand kurz eine Idee dazu gibt, damit ich das berechnen könnte. Funktioniert das auch über Stammfunktionen? Oder wie sonst?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Volumenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mi 29.04.2009
Autor: glie


> Hallo,
>  es geht um Mathematik, gymnasiale Oberstufe, 13. Klasse,
> bevorstehende Abiturprüfung, LK.
>  Mit dem Integrieren kann ich Flächeninhalte bestimmen, das
> ist klar. Kann ich damit auch Volumen berechnen?
> Folgende Aufgabe hierzu, klingt simpel, sofern man es
> kann:
>  
> f(x)=e^(1-x). Die Kurve hierzu heißt K.
>  Bei Rotation von K um die x-Achse entsteht ein Körper.
> Berechnen Sie sein Volumen!
>  Wie soll das gehen? Entweder wir haben das nicht behandelt
> oder es ist schon sehr lange her oder war nur sehr
> nebensächlich und kurz. Muss ich außer solchem Aufgabentyp
> noch mehr zur Volumenberechnung/Rotation wissen (fürs
> Abitur)? Wie könnte dieser Aufgabentyp variiert werden?
>  Wäre jedenfalls sehr hilfreich, wenn mir jemand kurz eine
> Idee dazu gibt, damit ich das berechnen könnte.
> Funktioniert das auch über Stammfunktionen? Oder wie
> sonst?

Hallo manuel,

herzlich [willkommenmr]

Bei deiner Aufgabe müssten allerdings noch irgendwelche Grenzen gegeben sein.

Grundsätzlich gilt:

Rotiert der Graph der Funktion f im Intervall [a;b] um die x-Achse, so gilt für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers:

[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm]

Man kann sich das wie bei der Ober- und Untersumme vorstellen. Die Rechtecke ergeben dann in der Rotation lauter Zylinderscheiben mit Radius f(x) und Höhe dx.

Gruß Glie

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Volumenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mi 29.04.2009
Autor: manuel85

Ok, gilt deine Formel denn für alle Funktionen? Wurzelfunktionen, Potenzfunktionen, gebrochen rationale Funktionen usw.?
Dann, kurz zur e-Funktion selbst:


[mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)² dx} [/mm]
=  [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(e^{1-x})² dx} [/mm]
=  [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{e^{2-2x} dx} [/mm]
= [mm] \pi [/mm] * e² * [mm] \integral_{a}^{b}{e^{-2x} dx} [/mm]
Nach welcher Regel durfte ich hier e² aus dem Integral nehmen?

Nun kommt: [mm] \pi [/mm] * e² * (-0,5)* [mm] [e^{-2x}] [/mm]  <- das Eingeeckte in den Grenzen a und b
Wie kommt das zustande?
Bzw. allgemein: [mm] e^x [/mm] abgeleitet bleibt [mm] e^x [/mm]
Wie sieht es mit Variationen aus? [mm] e^{2x} [/mm] abgeleitet ergibt?
Was ergibt [mm] (2e)^{2x} [/mm] abgeleitet?
Wie käme ich auf die Stammfunktion von [mm] (2e)^{2x}? [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Volumenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Mi 29.04.2009
Autor: leduart

Hallo
Ja es gilt fuer alle Funktionen bei Rotation um die x Achse.
dass du [mm] e^2 [/mm] rausziehen kannst: jede konstante Zahl, so auch [mm] e^2 [/mm] kann man aus nem Integral rausziehen. und [mm] e^{-2-2x}=e^{-2}*e^{-2x} [/mm]
[mm] e^{ax} [/mm] abgeleitet nach der Kettenregel, ergibt:
[mm] (e^{ax})'=e^{ax}*(ax)'=e^{ax}*a [/mm]
deshalb ergibt
[mm] \integral_{a}^{b}{e^{ax} dx} =1/a*e^{ax} [/mm]
bei dir ist a=-2 und 1/-2=-0.5
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Volumenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mi 29.04.2009
Autor: manuel85

Danke erstmal an beide.
Noch ein letztes Nachgehake:

Irritiert mich nämlich etwas:
[mm] e^{-2-2x}=e^{-2}*e^{2x} [/mm]
Sicher?
Müsste es nicht [mm] e^{-2}* e^{-2x} [/mm] ergeben (man beachte das Minus in der zweiten Klammer)?

Gruß Manuel


Bezug
                                        
Bezug
Volumenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mi 29.04.2009
Autor: leduart

Hallo
Du hast Recht, das war ein Tippfehler von mir. Tschuldigung
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Volumenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:50 Do 30.04.2009
Autor: manuel85

Kein Problem, passiert. War mir nur nicht sicher, ob vertippt oder Regel, die ich vielleicht nicht kenne.

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