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| Aufgabe | Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die endliche Fläche, begrenzt durch
[mm] x(t) = t + cos(t), y(t) = sin(t) + cos(t) [/mm]
[mm] (0 \le t \le \bruch{\pi}{2})[/mm]
[mm] x = 1, x = \bruch{\pi}{2} [/mm]
um die x - Achse rotiert.
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Grüße.
Also die Aufgabe ist mir eigentlich klar. Mich bringt vielmehr diese Parameterdarstellung in schwulitäten.
Wenn ich die Parameterdarstellung in die karthesische überführen könnte, wäre die Aufgabe ja sofort gegessen -- nur leider kriege ich das nicht hin.
Mit der Parameterdarstellung zu rechnen bringt mich aber auch nicht weit.
Also ich kann z.B. mit der Sektorformel den Flächeninhalt berechnen, aber dann ist spätestens dort Endstation.
Könnte mir also einer behilflich sein,
[mm] x(t) = t + cost [/mm]
[mm] y(t) = sint + cost [/mm]
in die karthesische Form zu überführen???
Oder ist sogar die Rechnung mit Parameterdarstellung möglich??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] hängen vom Parameter [mm]t[/mm] ab. Ich bezeichne die Funktionen mit [mm]\varphi[/mm] und [mm]\psi[/mm]:
[mm]x = \varphi(t) = t + \cos{t}[/mm]
[mm]y = \psi(t) = \sin{t} + \cos{t}[/mm]
Nun ist [mm]\dot{x} = \dot{\varphi}(t) = 1 - \sin{t} > 0[/mm] für [mm]0 \leq t < \frac{\pi}{2}[/mm]. Daher ist [mm]\varphi[/mm] streng monoton wachsend, also umkehrbar. Es sei [mm]\varphi^{-1}[/mm] die Umkehrabbildung von [mm]\varphi[/mm].
Dann gilt:
[mm]x = \varphi(t) \ \ \Leftrightarrow \ \ t = \varphi^{-1}(x)[/mm]
[mm]y = \psi(t) = \psi \left( \varphi^{-1}(x) \right) = \left( \psi \circ \varphi^{-1} \right)(x)[/mm]
Setzen wir [mm]f = \psi \circ \varphi^{-1}[/mm], so gilt somit [mm]y = f(x)[/mm], und wir haben [mm]y[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x[/mm] dargestellt.
Und jetzt muß man nur im folgenden Integral [mm]x[/mm] durch [mm]\varphi(t)[/mm] substituieren. Nach der Substitutionsregel erhält man für das gesuchte Volumen [mm]V[/mm]:
[mm]V = \pi \int_1^{\frac{\pi}{2}}~\left( f(x) \right)^2~\mathrm{d}x = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\left( f \left( \varphi(t) \right) \right)^2 \dot{\varphi}(t)~\mathrm{d}t = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\left( \psi(t) \right)^2 \dot{\varphi}(t)~\mathrm{d}t[/mm]
Denn wegen [mm]f = \psi \circ \varphi^{-1}[/mm] gilt ja [mm]f \circ \varphi = \psi[/mm]. Wenn man etwas oberflächlich [mm]\dot{x}[/mm] statt [mm]\dot{\varphi}(t)[/mm] und [mm]y[/mm] statt [mm]\psi[/mm] schreibt, lautet die Formel in Kurzform:
[mm]V = \int_0^{\frac{\pi}{2}}~y^2 \dot{x}~\mathrm{d}t[/mm]
Hierbei ist [mm]y[/mm] als Funktion von [mm]t[/mm] aufzufassen.
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