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Die Berechnung eine Volumenintegral mit Hilfe von Ober (On)- und Untersummen(Un) bereitet mir Probleme. D.h. ich möchte aus der Ober- und Untersumme über die Grenzwertbetrachtung auf das Volumen schließen.
Grenzwert Definition: lim On = lim Un= V
Wie kann ich allgemeingültig diese Berechnung machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 06.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der GW Prozess beim Übergang von Summe zu Integral ist immer derselbe, egal, was da genau integriert wird.
Wodurch wird denn dein Volumen vorgegeben? Was sind dann dien Untersummen? Schildere dein Problem genauer. Vorallem, warum du , wenn Integrale als GW von Summen schon bekannt sind, du wieder von Vorn, mit US und OS anfangen musst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 07.04.2010 | | Autor: | hochwald2 |
Hallo,
ich möchte das Volumen eines räumlichen Körpers durch Grenzwertbetrachtung [mm] (\limes_{n \to \infty}O_n [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}U_n) [/mm] mit Obersummen und Untersummen bestimmen und daraus auf das Integral [mm] \int_{}^{}\int_{}^{} f(x,y)\, [/mm] dxdy schließen.
Dazu möchte ich die On und Un für einen Körper (Säule mit quadratischer Fläche) bestimmen der seinen Grundriß in der x.y-Ebene hat und durch eine Fläche (Beispiel) [mm] z=f(x,y)=x^2+y [/mm] begrenzt ist. Die Seitenflächen des Körpers sind parallel zur z-Achse.
Werden die Differenzen (x2-x1) bzw. (y2-y1) beliebig klein und damit die Anzahl der Summanden n und m beliebig groß, ergibt sich das Volumen des Körpers.
eventuell [mm] On=(\bruch{xb-xa)}{n})(\bruch{yb-ya)}{m})\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} [/mm] f(xi,yj)) Un=....
xa,xb,ya,yb: Abstand auf der jeweiligen Achse zum Ursprung
n: Anzahl der Unterteilungen auf der x-Achse
m: Anzahl der Unterteilungen auf der y-Achse
Bei einer Zeichung könnte man es besser erklären, aber vieleicht reicht das auch so. Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke
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Hallo,
kann mit jemand zu meinen Problem weiterhelfen?
Im voraus vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 07.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du schreibst das besser so :
du berechnest erst die Querschnittsflächen an den Stellen [mm] y_j
[/mm]
Das ist die "normale" Unter bzw. Obersumme über die Funktion [mm] f(x,y_j) [/mm] bei der [mm] y_j [/mm] jeweils ein fester Wert ist.
Dann gehst du von der Summe zum Integral über.
Und hast Funktionen [mm] F_{ab}(y_j) [/mm] (das ab als Index heisst dass die F natürlich von den Anfangs und Endwerten a,b von x abhängen)
Dann gehst du in y Richtung und multiplizierst jede dieser Flächen mit der Dicke [mm] \Delta [/mm] y und summierst über alle diese "Scheiben", das ist wieder eine gewöhnliche Ober bzw. Untersumme, und du gehst wie gewohnt zum Integral über.
Natürlich kannst du das auch in y-richtung anfangen und da die Querschnittsflächen zuerst berechnen, und dann alle Scheiben in x Richtung aufsummieren.
Gruss leduart
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