Volumenintegral polar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Sa 09.07.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe gerade folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie das Volumen des Körpers der durch Rotation
um die x-Achse durch z=sinh(x) ; 0<x<2 entsteht.
Ich weiß nicht so recht wie ich meine Integrationsgrenzen
in diesen Fall festlegen soll.
Der erste Gedanke war das ich sinh(2)=3,36=r setze
woraus 0 < r [mm] \le [/mm] 3,63 folgt, aber wie bestimme ich dann
meine Integrationskonstanten für Phi?
Oder liege ich damit völlig auf den falschen Weg?
Vielen Dank für die Hilfe!
kruder77
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Sa 09.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum willst du das mit Polarkoordinaten machen? in der Aufgabe steht davon nichts!
[mm] V=\pi* \integral_{0}^{2} {f^{2}(x) dx}
[/mm]
> Oder liege ich damit völlig auf den falschen Weg?
Ich denke schon!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Sa 09.07.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo leduart,
> Warum willst du das mit Polarkoordinaten machen? in der
> Aufgabe steht davon nichts!
> [mm]V=\pi* \integral_{0}^{2} {f^{2}(x) dx}[/mm]
Ööhm, dass heißt : [mm] V=\pi* \integral_{0}^{2} {sinh^{2}(x) dx}
[/mm]
ist alles? Ich dachte das wäre ein Doppelintegral [mm] \integral \integral [/mm] f(x;y)dA ?
Grüße & Danke
kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 So 10.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
es ist natürlich so, dass die Formel, die der Kollege leduart angegeben hat, sich mithilfe eines drei-dimensionalen Integrals herleiten lässt, und zwar so:
Sei [mm] M\subset \IR^{3}[/mm] die Punktmenge, die durch Rotation von z=f(x) um die x-Achse zwichen a und b entsteht. Dann ist das Volumen dieses Rotationskörpers (oder genauer: das 3-dim Lebesgue'sche Maß) gegeben durch:
[mm] V(=\lambda_{3}(M))=\int_{\IR^{3}} \chi_{M}(x)dx[/mm]
wobei [mm] \chi_{M}(x) [/mm] die charakteristische Funktion der Menge M ist.
Führen wir nun Zylinderkoordinaten ein, d.h. [mm] y=r\cdot sin(\varphi), z=r\cdot cos(\varphi), x=x[/mm], so ist (x,y,z) genau dann in M, wenn [mm] r\leq f(x), a\leq x\leq b, \varphi\in (0;2\pi)[/mm] Mit dem Transformationssatz gilt dann für obiges Integral:
[mm] V=\int\int\int \chi_{M}(r,\varphi,x)rdrd\varphi dx=2*\pi*\int_{a}^{b}\int_{0}^{f(x)} rdrdx=\pi*\int_{a}^{b} (f(x))^{2} dx[/mm]
Ich hab versucht, es so knapp wie möglich zu schreiben, falls du noch Fragen zu den einzelnen Schritten hast, stell sie einfach. Ich weiß auch nicht, ob du die Herleitung machen mußt oder ob es genügt, einfach die Formel zu benutzen?!
Was heißt eigentlich Diplom NT?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 So 10.07.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hi,
> [mm]V=\int\int\int \chi_{M}(r,\varphi,x)rdrd\varphi dx=2*\pi*\int_{a}^{b}\int_{0}^{f(x)} rdrdx=\pi*\int_{a}^{b} (f(x))^{2} dx[/mm]
Na wir müssen eigentlich nur die Formel anwenden, mein größtes Problem ist dabei die Integrationsgrenzen zu bestimmen.
aber mein z= sinh(x) ist in diesen fall doch dann das f(x)?
sorry aber ich sitze schon den ganzen tag vor mathe und langsam geht meine konzentration in den keller (schreibe am montag)...
So wirklich sehe ich den Zusammhang in der obigen Überführung von Zylinder nach Kartesisch nicht.
Kann ich denn die letzte Formel in diesen Art von Fall immer anwenden?
> Was heißt eigentlich Diplom NT?
Nachrichtentechnik bzw. Kommunikationstechnik...
Gruß kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 So 10.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Also hier war natürlich zunächst einmal die Bezeichnung etwas unglücklich, wenn ich im ersten Integral [mm] \chi_{M}(x)dx [/mm] geschrieben hab, war dieses [mm] x\in\IR^{3} [/mm] (also ein Vektor) und nicht etwa die kartesiche Koordinate, es ist also:
[mm]\chi_{M}(\vec{x})d \vec{x} = \chi_{M}(x,y,z)dxdydz[/mm]
um es etwas deutlicher zu schreiben. Und dann transformiert man auf Zylinderkoordinaten, weil dann eben die charakteristische Funktion sich einfach darstellen lässt( sprich man kann leicht die entsprechenden Grenzen angeben):
[mm] V=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}\chi_{M}(r,\varphi,x)rdrdd\varphi dx=\int_{a}^{b}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{f(x)}rdrdd\varphi [/mm] dx
wobei im zweiten Schritt dann eben diese Darstellung für [mm] \chi [/mm] ausgenutzt wird (vgl. die Bedingungen, wann ein Punkt in der Menge liegt).
Diese Formel gilt also für das allgemeine Problem, dass eine Funktion z(od y=)=f(x) um die x-Achse rotiert und das Volumen des Rotationskörpers ausgerechnet werden soll. In deinem Fall ist dann f(x)=sinh(x), a=0, b=2.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 So 10.07.2005 | | Autor: | kruder77 |
Super vielen Dank, für die Hilfe!!!
Grüße kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 So 10.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kruder
Durch dein "polar" hast du Fire dazu gebracht, mit sehr komplexen Formeln einen einfachen Sachverhalt zu beschreiben. Weil du's vielleicht doch auch in ner Klausur brauchst, eine etwas einfachere Erklärung.
Rotation einer Kurve um die x_Achse: Du stellst dir die Figur aufgeschnitten in Kreisscheiben vor (also Schnitt senkrecht zur x-Achse. Jede Kreisscheibe hat den Radius f(x), also Fläche [mm] \pi*f^{2}(x) [/mm] und die Dicke dx. Über alle die dünnen Kreisscheiben musst du summieren! also [mm] Integral(\pi*f^{2}(x)*dx) [/mm] das ist das ganze Geheimnis hinter der Formel.
Wenn du einen Fktgraph um die y- Achse rotierst entsprechend :
Integral [mm] (\pi*x^{2}dy) [/mm] oder mit dy=f'*dx ==> [mm] Integral(\pi*x^{2}*f'(x)dx)
[/mm]
Vielleicht hilft das bei künftigen Aufgaben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 10.07.2005 | | Autor: | kruder77 |
Vielen, vielen Dank für diese Erklärung!
Gruß kruder77
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