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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 So 01.02.2009 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo, in der oben ersichtlichen Aufgabe habe ich folgendes Verständnisproblem:
1) Ich habe die Massendichte berechnet und komme auf folgendes Ergebnis:
[mm] M= 2 * \rho_0 * \bruch{c}{\pi} * b * a[/mm]
Kann mir jemand "sagen" ob das richtig ist?
2) Woher soll ich wissen ob ich nun die Deviationsmomente oder die Trägheitsmomente (wäre ja offensichtlich, weil Aufgabenstellung so gestellt) der Hauptachse berechnen soll?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bild 2
3) Da ich die Masse schon (richtig?) berechnet habe, schreibe ich stattdessen dm für dV, da die Dichte ja als Funktion von z gegeben ist?
In Bild 2
4) Spielt der Schwerpunkt hier bei der Berechnung des Trägheitsmomentes eine Rolle? Eigentlich eher nicht, vermute ich mal, da die Rotation immer (wenn der Körper sich selbst überlassen bleibt und rotiert) im Schwerpunkt also im Nullpunkt d. Ko-Systems erfolgt. Vom Körper aus betrachtet.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 01.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo, in der oben ersichtlichen Aufgabe habe ich
> folgendes Verständnisproblem:
>
> 1) Ich habe die Massendichte berechnet und komme auf
> folgendes Ergebnis:
>
> [mm]M= 2 * \rho_0 * \bruch{c}{\pi} * b * a[/mm]
>
> Kann mir jemand "sagen" ob das richtig ist?
Das ist die Masse des Quaders.
> 2) Woher soll ich wissen ob ich nun die Deviationsmomente
> oder die Trägheitsmomente (wäre ja offensichtlich, weil
> Aufgabenstellung so gestellt) der Hauptachse berechnen
> soll?
Da nach dem Trägheitstensor gefragt ist, musst du alle berechnen.
> 3) Da ich die Masse schon (richtig?) berechnet habe,
> schreibe ich stattdessen dm für dV, da die Dichte ja als
> Funktion von z gegeben ist?
Schreib mal auf, was du meinst! So kann ich nicht entscheiden, ob das richtig oder falsch ist.
> 4) Spielt der Schwerpunkt hier bei der Berechnung des
> Trägheitsmomentes eine Rolle? Eigentlich eher nicht,
> vermute ich mal, da die Rotation immer (wenn der Körper
> sich selbst überlassen bleibt und rotiert) im Schwerpunkt
> also im Nullpunkt d. Ko-Systems erfolgt.
Davon kannst du nicht ausgehen, denn du weisst ja nicht, durch welche Kräfte die Rotation hervorgerufen wird. Je nach Angriffspunkten der Kräfte kann die Rotationsachse auch anders liegen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 01.02.2009 | | Autor: | murmel |
Das heißt nun, dass ich immer die Dichtefunktion in den einzelnen Integrationstermen mit einsetzen muss um die Trägheits(eigenwerte?) berechnen zu können, um daraus dann letztendlich den Trägheitstensor berechnen zu können?
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Hallo!
Ja, das ist richtig. Du mußt die Integrale alle einzeln ausrechnen. Aber es sind ja nur sechs unterschiedliche verschiedene Integrale. Weiterhin sehen viele der Integrale gleich aus, sodaß die Anzahl der tatsächlich zu berechnenden Integrale weiter sinkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 So 01.02.2009 | | Autor: | murmel |
Muss ich nun also noch den Schwerpunkt ermitteln?
Ist der für die Rechnung wichtig?
Wenn ich beispirelsweise [mm] I_{xx} [/mm] berechnen will
wie muss da die Dichtefunktion eingearbeitet werden? Dass sieht so furchtbar kompliziert aus!
Könnte ich die Integrale dann nicht einfach faktorisieren, also alle in eine Zeile schreiben, da für die Integration nach dx und dy ja jeweils nur a und b ermittelt wird? Offensichtlich schien die Masse ja richtig berechnet worden zu sein.
Allerdings wird es dann schwierig:
[mm] I_{xx}= \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b} \integral_{0}^{c} dV \rho (y^2 + z^2)[/mm]
[mm] I_{xx}= \integral_{0}^{a}\integral_{0}^{b} \integral_{0}^{c} dV \rho_0 * sin \left( \pi * \bruch{z}{c} \right) (y^2 + z^2)[/mm]
Jetzt einfach ausmultiplizieren und dann wie gewohnt nacheinander intergieren?
Wie soll ich den dieses Integral berechnen?
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Hallo!
Den Schwerpunkt mußt du nicht berechnen, denn er liegt genau im geometrischen Zentrum des Quaders, und das kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen.
Dann solltest du den Satz von Steiner kennen. Das Trägheitsmoment eines Körpers ändert sich auch abhängig von der Position der Drehachse.
Der Trägheitstensor hat den Satz von Steiner schon "eingebaut". Allerdings gibt man den Trägheitstensor immer bezüglich des Schwerpunkts an, also für den Fall, daß der Körper frei um seinen Schwerpunkt drehen kann.
Zu deiner Rechnung: Das sieht gut so aus, und du kannst tatsächlich einfach nach dx, dy und dz integrieren, die Grenzen sind bei einem Quader ja nicht voneinander abhängig. Nur weiter so.
Allerdings mußt du deine Grenzen nochmal überdenken. Der Trägheitstensor gilt für alle Drehbewegungen, deren Achse durch den Ursprung bei der Berechnung des Tensors geht, sonst muß man zusätzlich noch den Satz von Steiner anwenden.
Wo am Quader befindet sich denn dein Ursprung, und wo sollte er sich nach dem, was ich geschrieben habe, besser befinden? Was heißt das für die Grenzen der Integrale?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 01.02.2009 | | Autor: | murmel |
Hey, ich denke ich hab's!
Zum Berechnen des Massenschwerpunktes (MSP) wähle ich irgend eine Ecke (des Quaders, beispielsweise) um den Trägheitstensor zu berechnen, muss ich -stimmt!- vom geometrischen Zentrum des Körpers ausgehen in dem auch der MSP liegt! Also, denke ich, müssen die Integralsgrenzen bei a/2, b/2 und c/2 sein?
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Hallo!
Den Trägheitstensor berechnest du immer bezüglich des Schwerpunkts, und der liegt hier rein zufällig im geometrischen Mittelpunkt. Die Dichteverteilung könnte ganz anders aussehen (z.b. [mm] \rho=e^{x+y+z^2}), [/mm] dann müßtest du erstmal rausfinden, wo der Schwerpunkt ist.
Ansonsten JA, du integrierst hier z.B. [mm] \int_{-a/2}^{a/2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 02.02.2009 | | Autor: | murmel |
Dann brauche ich die Masse M zur Berechnung des Trägheitstensors gar nicht? Ich muss nur nach der Rechenvorschrift in Bild 2 dieses Artikels integrieren?
Danke für eure Hilfe i Voraus
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In diesem Fall nicht, nein.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:43 Di 03.02.2009 | | Autor: | murmel |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo ich habe den oben dargestellten Lösungsvorschlag. Kann mir jemand mitteilen ob das ok ist?
Ein erweitertes Problem: Die Dozentin meinte, dass der Schwerpunkt nicht im geometrischen Zentrum des Quaders liegt und somit die Integrationsgrenzen für z (glaube ich gehört zu haben) angepasst werden müssen, so wäre mein Lösungsvorschlag wohl falsch?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 04.02.2009 | | Autor: | chrisno |
Zum Nachrechnen bin ich zu träge. Aber ein paar Anmerkungen helfen vielleicht weiter.
Zur Lage des Schwerpunkts: In x und y Richtung ist die Dichte konstant, der Quader symmetrisch, also liegen diese Schwerpunktkoordinaten bei a/2 und b/2.
In z Richtung ist die Modulation der Dichte symmetrisch zu der Mitte (Symmetrie der Sinusfunktion), der Quader auch, also ist auch diese Schwerpunktkoordinate c/2.
Der Schwerpunkt liegt also im geometrischen Mittelpunkt.
Zum Trägheitstensor:
Auf den ersten Blick glaube ich Deine Lösung nicht. Ich würde für [mm] $I_{xx}$, $I_{yy}$ [/mm] und [mm] $I_{zz}$ [/mm] unterscheidliche Werte erwarten. Dabei sollten [mm] $I_{xx}$ [/mm] und [mm] $I_{yy}$ [/mm] fast gleich aussehen, nur mit vertauschten Rollen von a und b (Da diese als Produkt auftreten, ist diese Bedingung erfüllt.). [mm] $I_{zz}$ [/mm] sollte noch einen anderen Zahlenfaktor haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 05.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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