Volumenintegrale < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 15.06.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumenintegrals eines Würfels mit mit homogener Dichteverteilung und der Kantenlänge 2a. |
Also ich hab Probleme mit dem begriff des Volumenintegrals! Ich weiß das bei einen Volumenintegral meist denn ja dreifachintegrale austreten!
Bloss ich weiß nicht welche Funktionen ich nehmen soll und warum. Also was ich weiß ist, dass ich über das Volumen integrieren soll, also [mm] dm=\rho*dV=\rho*dxdydz [/mm] weil sich so gerade eben das Volumen eines Würfels berechnen lässt! Und darüber muss ich jetzt integrieren bloss wie gesagt ich weiß nicht welche Funktionen ich nehmen soll und warum gerade diese. Kann mir einer helfen?! Gibt es vllt auch eine Exakte Definitionen der Volumenintegrale?
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Hallo!
Versuchen wir es mal in zwei Dimensionen.
Auf Kästchenpapier kannst du eine Fläche berechnen, indem du die eingeschlossenen Kästchen abzählst. Jedes Kästchen hat eine Fläche, und über die Summe kommst du auf die Gesamtfläche. Bei ner Breite von dx und ner Höhe von dy ist die Fläche dx*dy, und die Summe ist dann [mm] $A=\sum [/mm] dx*dy$ . Machst du die Kästchen immer kleiner, wird aus der Summe das Integral: [mm] A=\iint\,dx\,dy [/mm] .
Jetzt machen wir mal das, was du aus der Schule kennst: Die Fläche unter einer Funktion f(x). Das Integral in y-Richtung hat seine untere Grenze bei 0 (auf der x-Achse), und seine obere Grenze bei f(x):
[mm] $A=\int\left(\int_0^{f(x)}dy\right)dx=\int\left([y]_0^{f(x)}\right)dx=\int f(x)\,dx$ [/mm] (Daß da kein Integrand steht, ist nicht schlimm. Du kannst dir da ne 1 denken)
Jetzt kann man sich überlegen, weches Gewicht das Papier hat. Dazu muß man für jedes Kästchen dessen Fläche mit der Dichte (Gewicht pro Quadratmeter o.ä.) multiplizieren: [mm] \rho*dx*dy [/mm] . Und als Integral: [mm] M=\iint\rho\,dx\,dy [/mm] . Gut, das [mm] \rho [/mm] ist konstant, also kann man es aus dem Integral raus ziehen. Aber es könnte auch sein, daß das [mm] \rho [/mm] nicht konstant ist, sondern von einer oder mehrerer der Koordinaten abhängt. Dann kannst du es nicht raus ziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Di 16.06.2009 | | Autor: | mb588 |
Nehmen wir z.b. [mm] \rho*\integral_{V}^{}{(y^{2}+z^{2})dV} [/mm] es kommt raus [mm] \rho\bruch{16}{3}a^{5}
[/mm]
Es handelt sich dabei um einen Würfel mit der Kantenlänge 2a(speziell umd den Trägheitstensor [mm] I_{xx}, [/mm] aber mir gehts nur ums rechnen)
Meine Idee war jetzt:
[mm] \rho*\integral_{V}^{}{(y^{2}+z^{2})dV}=\rho*\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{(y^{2}+z^{2})dx)dy)dz}
[/mm]
so und ann einfach nach den Satz von Fobinitonelli Integrieren:
[mm] \rho*\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{x*(y^{2}+z^{2}) dy)dz}=\rho*\integral_{-a}^{a}{x*(\bruch{1}{3}y^{3}+z^{2}*y)dz}=\rho*x*(\bruch{1}{3}y^{3}*z+\bruch{1}{3}z^{3}*y)=\rho*\bruch{1}{3}xyz(y^{2}+z^{2}) [/mm] und für die Grenzen von -a bis a eingesetzt ergibt das denn [mm] \bruch{4}{3}a^{5}
[/mm]
Das ist ja nicht das was rauskommen sollte. Hab ich da einen Rechenfehler vllt drin? Aber ich denk es ist eher ein Denkfehler
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> Nehmen wir z.b. [mm]\rho*\integral_{V}^{}{(y^{2}+z^{2})dV}[/mm] es
> kommt raus [mm]\rho\bruch{16}{3}a^{5}[/mm]
> Es handelt sich dabei um einen Würfel mit der Kantenlänge
> 2a(speziell umd den Trägheitstensor [mm]I_{xx},[/mm] aber mir gehts
> nur ums rechnen)
> Meine Idee war jetzt:
>
> [mm]\rho*\integral_{V}^{}{(y^{2}+z^{2})dV}=\rho*\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{(y^{2}+z^{2})dx)dy)dz}[/mm]
>
> so und ann einfach nach den Satz von Fobinitonelli
> Integrieren:
>
> [mm]\rho*\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{x*(y^{2}+z^{2}) dy)dz}=\rho*\integral_{-a}^{a}{x*(\bruch{1}{3}y^{3}+z^{2}*y)dz}=\rho*x*(\bruch{1}{3}y^{3}*z+\bruch{1}{3}z^{3}*y)=\rho*\bruch{1}{3}xyz(y^{2}+z^{2})[/mm]
> und für die Grenzen von -a bis a eingesetzt ergibt das denn
> [mm]\bruch{4}{3}a^{5}[/mm]
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> Das ist ja nicht das was rauskommen sollte. Hab ich da
> einen Rechenfehler vllt drin? Aber ich denk es ist eher ein
> Denkfehler
Hallo,
ja.
Du setzt die Grenzen ganz am Ende auf einen Abwasch ein, das ist jedoch nicht richtig.
Es ist [mm] $\rho\cdot{}\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{(y^{2}+z^{2})dx)dy)dz} [/mm] $ =$ [mm] \rho\cdot{}\integral_{-a}^{a}{}(\integral_{-a}^{a}{[x\cdot{}(y^{2}+z^{2})]^{\red{a}} _{\red{x=-a}}dy)dz}= [/mm] usw. $
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 16.06.2009 | | Autor: | mb588 |
Ah alles klar das hab ich gemacht. So und wenn ich das jetzt auf einen Quader beziehe der Flächenhaft ist?! also sozusagen eine Komponente fehlt? Mach ich das da genauso? Denn müsste ja eigentlich funktionieren aber halt denn müsste ja irgendwas rausfallen?!
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Hallo!
Du mußt immer schaun, wie deine Volumenelemente aussehen, und wie sie verrechnet werden sollen.
Beispielsweise könntest du dir eine Pyramide der Grundfläche [mm] A=a^2 [/mm] und Höhe h vorstellen. Die kannst du in horizontale Scheiben zerlegen. Jede Scheibe hat eine geringere Fläche, weil die Seitenlänge linear abnimmt: [mm] A(z)=\left(\frac{a*(h-z)}{h}\right)^2 [/mm] . (Mach dir das klar, für z=0 ist das [mm] a^2 [/mm] und für z=h ist das 0!)
Wenn jetzt jede Scheibe die Dicke dz hat, kannst du das Volumen einer Scheibe zu [mm] dV(z)=\left(\frac{a*(h-z)}{h}\right)^2\,dz [/mm] berechnen. Die Summe bzw das Integral [mm] V=\int_0^h\left(\frac{a*(h-z)}{h}\right)^2\,dz [/mm] liefert dir dann das Volumen der Pyramide.
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