Von Körpern zur Galoistheorie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Di 31.08.2010 | | Autor: | konse77 |
Ich muss sagen, dass es anfangs recht schwierig war sich in das Thema reinzuarbeiten. Doch nach einer gewissen Zeit hat es mich sogar interessiert, mehr über die Galoistheorie und die Bestimmung der Galoisgruppe herauszufinden. Auch wenn ich nicht alles perfekt verstehe, so denke ich, dass ich es dank eurer Hilfe dennoch geschafft habe, das Thema ansatzweise zu verstehen und wiederzugeben.
Es ist echt genial, dass es ein solches Matheforum, mit solchen netten und hilfsbereiten Leuten gibt. Ihr wart eine echt gute Hilfe für mich.
Ich bedanke mich somit nochmals recht herzlich bei euch allen, die ihr mir geholfen habt
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Hallo konse77 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
>
> ich habe in meinem Seminarfach, Dynamik und
> Differenzialgleichung, folgendes Facharbeitsthema zugeteilt
> bekommen. Algebraische Erweiterungen von den rationalen
> Zahlen [mm]\IQ[/mm] .
> Als hinweise zur Bearbeitung waren folgende Punkte
> gegeben.
> - Körper, Körpererweiterung, Erweiterungsgrad
> - Gruppe der Körperhomomorphismen
> - Fixkörper unter Körperhomomorphismen
> - Galoische Körpererweiterung
> - Galoisgruppe von [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm]
>
> Nun habe ich mich die letzte Woche fast ausschließlich
> damit beschäftigt, mich in das Thema reinzuarbeiten,
> allerdings ohne wirklich großen Erfolg.
> Das Problem liegt wohl daran, das ich mir die Sachen nicht
> wirklich vorstellen kann.
> Ich bin nun schon so weit, das ich einigermaßen weiß was
> Körper sind und wie sie definiert werden. Doch schon beim
> Erweiterungsgrad stoße ich mit meinem Wissen und meiner
> Vorstellungskraft an meine Grenzen.
> Undzwar steht in einer Definition, dass wenn L/K einer
> Körpererweiterung ist, der Oberkörper L ein Vektorraum
> über K ist. Die Dimension dieses Vektorraums wird Grad der
> Erweiterung gennant.
Genau!
> Bsp. für endliche Körpererweiterung ist [mm]\IC[/mm] / [mm]\IR,[/mm] wobei
> der Grad dieser Erweiterung 2 betrifft.
> Bsp. für unendliche Körpererweiterung ist [mm]\IR[/mm] / [mm]\IQ[/mm]
> Ich hab keinen blassen Schimmer wie man darauf kommt.
Nun, im ersten Fall [mm]\IC/\IR[/mm] kannst du eine Basis doch direkt angeben mit [mm]\{1,i\}[/mm]
Du kannst jede komplexe Zahl [mm]z=a+b\cdot{}i[/mm] als [mm]\IR[/mm]-Linearkombination dieser Basis darstellen:
[mm]z=a+b\cdot{}i=a\cdot{}1+b\cdot{}i[/mm] mit [mm]a,b\in\IR[/mm]
Damit ist die Dimension also 2
Im zweiten Fall [mm]\IR/\IQ[/mm] liegt es an den Mächtigkeiten von [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm]
[mm]\IQ[/mm] ist abzählbar, [mm]\IR[/mm] aber überabzählbar.
Wäre der Grad der Erweiterung [mm]\IR/\IQ[/mm] endlich oder abzählbar, so wäre [mm]\IR[/mm] abzählbar.
> Es wäre vielleicht noch hilfreich, wenn einer von euch
> mir seine Definition von Körpererweiterung geben kann,
> weil ich denke, das da evtl schon die ersten Fragezeichen
> in meinem Kopf entstehen.
Naja, eine Körpererweiterung [mm]L/K[/mm] ist im Grunde erstmal ein Paar von Mengen [mm]L[/mm] und [mm]K[/mm], wobei [mm]K[/mm] ein Körper ist, der in [mm]L[/mm] enthalten ist, also [mm]K\subset L[/mm] und [mm]L[/mm] selbst wieder ein Körper ist.
> Ich verstehe nämlich nicht ganz, wie ich mir so eine
> Körpererweiterung vorzustellen habe.
> Was habe ich mir hierunter vorzustellen ? [mm]\IC[/mm] / [mm]\IR[/mm]
> Bedeutet es einfach nur, das die Komplexen Zahlen mehr
> Elemente als die rationalen Zahlen besitzen? Es somit also
> eine Erweiterung des Körpers ist?
Naja, es ist mengenmäßig so wie ich oben beschrieben habe.
Der Körper (die Menge) [mm]\IR[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]\IC[/mm] und [mm]\IC[/mm] ist selber Körper.
> Ich weiß dass das eine Menge war was ich hier
> aufgeschrieben habe. Doch ich denke das mir ein Paar Ideen
> und Anregungen helfen werden, mich weiter in das Thema
> hineinzuarbeiten. Ich hoffe das es mir mit eurer Hilfe
> gelingen wird, dieses für mich komplizierte Thema ein
> wenig zu verstehen. Ich bedanke mich schon mal im voraus
> für eure Hilfe.
Ich hoffe, das klärt deine Frage ein wenig, wenn irgendwas unklar bleibt, bohre bitte nach!
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 05.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> > Bsp. für endliche Körpererweiterung ist [mm]\IC[/mm] / [mm]\IR,[/mm] wobei
> > der Grad dieser Erweiterung 2 betrifft.
> > Bsp. für unendliche Körpererweiterung ist [mm]\IR[/mm] / [mm]\IQ[/mm]
> > Ich hab keinen blassen Schimmer wie man darauf kommt.
>
> Nun, im ersten Fall [mm]\IC/\IR[/mm] kannst du eine Basis doch
> direkt angeben mit [mm]\{1,i\}[/mm]
>
> Du kannst jede komplexe Zahl [mm]z=a+b\cdot{}i[/mm] als
> [mm]\IR[/mm]-Linearkombination dieser Basis darstellen:
>
> [mm]z=a+b\cdot{}i=a\cdot{}1+b\cdot{}i[/mm] mit [mm]a,b\in\IR[/mm]
>
> Damit ist die Dimension also 2
Danke für die antworten.
Hab ich das nun richtig verstanden, das sich mit den 2 Basen [mm] \cdot{}i [/mm] und 1 jedes Element des Erweiterungskörpers erreichen lässt?
Wie würde der Erweiterungsgrad denn bei [mm] \IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ [/mm] aussehen?Wenn ich das richtig verstanden habe müsste der Erweiterungsgrad ja dann aucg 2 mit den Basen [mm] \wurzel{3},\wurzel[3]{2} [/mm] sein.
Zudem hätte ich jetzt noch zwei weitere Fragen.Was sind Körperhomomorphismen? Hat es was mit Permutationen und Verkettung zu tun? Ich habe gelesen das es irgendwas mit der Abbildung einer Menge M auf sich selbst zutun hat, wodurch man verschiedenen Permutationen hervorruft.
Wie sieht die Galoisgruppe von [mm] \IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ [/mm] ?
Ich weiß das es blöd ist das hier einfach so von euch zu fordern, aber ohne Lösung und Lösungsweg werde ich das mit der Galoisgruppe wohl nicht hinkriegen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mo 06.09.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo,
das ist aber ziemlich heftig für ein Schulprojekt! Leider gehen noch einige Begriffe ein bisschen durcheinander, hast Du denn einen Text über Galois-Theorie, den Du lesen kannst?
Zu deinen konkreten Fragen:
> Hab ich das nun richtig verstanden, das sich mit den 2
> Basen [mm]\cdot{}i[/mm] und 1 jedes Element des Erweiterungskörpers
> erreichen lässt?
Ja, aber es ist eine Basis, die Menge [mm] $\{1,i\}$, [/mm] mit zwei Basiselmenten: 1 und i
> Wie würde der Erweiterungsgrad denn bei
> [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] aussehen?Wenn ich das
> richtig verstanden habe müsste der Erweiterungsgrad ja
> dann aucg 2 mit den Basen [mm]\wurzel{3},\wurzel[3]{2}[/mm] sein.
Nein "erreichen" heißt hier Linearkombination und das würde bedeuten, dass Du jedes Element von [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})[/mm] schreiben kannst als [mm]a\cdot\wurzel{3}+b\cdot\wurzel[3]{2}[/mm] mit rationalen Zahlen a und b. Aber zum Beispiel für 1 oder [mm]\wurzel[3]{2}^2[/mm] ist das nicht möglich.
>
>
> Zudem hätte ich jetzt noch zwei weitere Fragen.Was sind
> Körperhomomorphismen? Hat es was mit Permutationen und
> Verkettung zu tun? Ich habe gelesen das es irgendwas mit
> der Abbildung einer Menge M auf sich selbst zutun hat,
> wodurch man verschiedenen Permutationen hervorruft.
> Wie sieht die Galoisgruppe von
> [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] ?
> Ich weiß das es blöd ist das hier einfach so von euch zu
> fordern, aber ohne Lösung und Lösungsweg werde ich das
> mit der Galoisgruppe wohl nicht hinkriegen.
>
Der Teil erfordert eine ausführlichere Antwort als ich sie im Moment geben kann.
Ich habe allerdings den Eindruck, dass die Menge an Theorie die Dir fehlt im Moment noch den Rahmen eines Forums sprengt. Also entweder Du findest noch bessere Quellen in schriftlicher oder menschlicher Form oder Du musst nochmal mit Deinem Betreuer reden.
Gruß
Peter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 07.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Hallo,
>
> das ist aber ziemlich heftig für ein Schulprojekt! Leider
> gehen noch einige Begriffe ein bisschen durcheinander, hast
> Du denn einen Text über Galois-Theorie, den Du lesen
> kannst?
>
Hey, naja, ich hab halt 2 Bücher vom Lehrer erhalten, doch da ist alles sehr mathematisch ausgedrückt, also nicht für einen Schüler der 13.ten Klasse geeignet. Zudem habe ich mir noch das Buch: Algebra für Einsteiger Von der Gleichungsauflösung zur Galoistheorie besorgt. Hier wird es schon etwas verständlicher ausgedrückt.
> Zu deinen konkreten Fragen:
>
> > Hab ich das nun richtig verstanden, das sich mit den 2
> > Basen [mm]\cdot{}i[/mm] und 1 jedes Element des Erweiterungskörpers
> > erreichen lässt?
> Ja, aber es ist eine Basis, die Menge [mm]\{1,i\}[/mm], mit zwei
> Basiselmenten: 1 und i
Ich hoffe ich habe es nun verstanden. Man kann mit den Koeffizienten a und b aus [mm] \IR, [/mm] und den zwei Basiselemente 1 und i aus [mm] \IC, [/mm] jedes Element aus [mm] \IC [/mm] darstellen. Also durch diese Linearkombination.
> > Wie würde der Erweiterungsgrad denn bei IQ
> > [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] aussehen?
Ich habe gestern mit meinem Lehrer über meine Facharbeit gesprochen, und da ist ihm Aufgefallen, das man bei [mm] \IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ [/mm] aus der [mm] \wurzel{3} [/mm] eine [mm] \wurzel{-3} [/mm] machen muss, aus welchem Grund auch immer.
Zudem meinte er, das ich halt nicht alles verstehen muss, jedoch sollte ich halt einige Sachen "verständlich", er meinte sogar, falls es möglich sei, bildlich, darstellen.
> > Wenn ich das richtig verstanden habe müsste der Erweiterungsgrad ja
> > dann aucg 2 mit den Basen [mm]\wurzel{3},\wurzel[3]{2}[/mm] sein.
> Nein "erreichen" heißt hier Linearkombination und das
> würde bedeuten, dass Du jedes Element von
> [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})[/mm] schreiben kannst als
> [mm]a\cdot\wurzel{3}+b\cdot\wurzel[3]{2}[/mm] mit rationalen Zahlen
> a und b. Aber zum Beispiel für 1 oder [mm]\wurzel[3]{2}^2[/mm] ist
> das nicht möglich.
> >
> >
> > Zudem hätte ich jetzt noch zwei weitere Fragen.Was sind
> > Körperhomomorphismen? Hat es was mit Permutationen und
> > Verkettung zu tun? Ich habe gelesen das es irgendwas mit
> > der Abbildung einer Menge M auf sich selbst zutun hat,
> > wodurch man verschiedenen Permutationen hervorruft.
> > Wie sieht die Galoisgruppe von
> > [mm]\IQ(\wurzel{3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] ?
> > Ich weiß das es blöd ist das hier einfach so von euch
> zu
> > fordern, aber ohne Lösung und Lösungsweg werde ich das
> > mit der Galoisgruppe wohl nicht hinkriegen.
> >
> Der Teil erfordert eine ausführlichere Antwort als ich sie
> im Moment geben kann.
> Ich habe allerdings den Eindruck, dass die Menge an Theorie
> die Dir fehlt im Moment noch den Rahmen eines Forums
> sprengt. Also entweder Du findest noch bessere Quellen in
> schriftlicher oder menschlicher Form oder Du musst nochmal
> mit Deinem Betreuer reden.
>
> Gruß
> Peter
>
Peter, wäre es vielleicht möglich, dass du mir Ansätze zeigst, wie du an die Lösung der Aufgabe:
> > Wie sieht die Galoisgruppe von
> > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] ?
rangehen würdest? Du kannst halt auch in der Fachsprache argumentieren. Es wäre für mich halt nur gut zu sehen, wie man an sowas rangeht, um zu sehen, was mir alles noch fehlt um diese Aufgabe zu lösen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Mi 08.09.2010 | | Autor: | PeterB |
>
> Peter, wäre es vielleicht möglich, dass du mir Ansätze
> zeigst, wie du an die Lösung der Aufgabe:
> > > Wie sieht die Galoisgruppe von
> > > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] ?
> rangehen würdest? Du kannst halt auch in der Fachsprache
> argumentieren. Es wäre für mich halt nur gut zu sehen,
> wie man an sowas rangeht, um zu sehen, was mir alles noch
> fehlt um diese Aufgabe zu lösen.
Ok, ich schreibe Erst mal die Schritte, und dann etwas zu den ersten:
1) Zunächst musst Du zeigen, dass es eine Körpererweiterung vom grad 6 ist.
2) Dann musst Du zeigen, dass es eine Galoiserweiterung ist. (Das wäre bei der anderen nicht der Fall gewesen)
3) Danach kannst Du untersuchen, welche Gruppe das ist. (Es kommen nur Gruppen mit sechs Elementen in Frage und davon gibt es nur zwei, das hilft.)
Zu 1)Hier gibt es zwei Möglichkeiten:
Die erte: Du schreibst eine Basis hin und rechnest nach, dass es auch wirklich eine Basis ist (also es ist erstens ein Erzeugendensytem ("alles wird erreicht") das ist der einfache Teil und zweitens die Basiselemente sind linear unabhängig ("die Koeffizienten sind eindeutig")das ist schieriger).
Die zweite Möglichkeit ist die folgende Formel: Wenn Du zwei Körpererweiterungen übereinander hast, also: [mm] $K\subset L\subset [/mm] M$ sind alle drei Körper, so dass $L/K$ und $M/L$ Körpererweiterungen sind, dann ist auch $M/K$ eine köpererweiterung und es gilt:
[mm] $grad(M/K)=grad(M/L)\cdot [/mm] grad(L/K)$
Das kann man nun verwenden um unseren Erweiterungsgrad auszurechnen: Wir haben nämlich: [mm]\IQ\subset \IQ(\wurzel[3]{2})\subset\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] wir müssen also nur zeigen, dass die Grade der Teilerweiterungen 3 und 2 sind.
Ok, dass [mm] $\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})$ [/mm] Grad 2 hat ist relativ einfach: Der Grad ist höchstens zwei weil wir nur eine Nullstelle eines Polynoms vom (Polynom-)Grad zwei hinzufügen, nämlich [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] was eine Nullstelle von [mm] $X^2+3$ [/mm] ist. Also ist der Erweiterungsgrad 1 oder 2. Grad 1 würde aber bedeuten, dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})$ [/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten, [mm] $\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})$ [/mm] aber nicht.
Die andere Erweiterung ist etwas schwieriger, aber darum kümmern wir uns, wenn Du die erste verstanden hast.
Zu 2) Vielleicht solltest Du erst verstehen, was eine Galois Erweiterung ist: Es geht um den Vergleich der Automorphismengruppe mit dem Grad der Körpererweiterung.
Unter Ignorierung der Definition von "Automorphismus einer Erweiterung" ist die Definition: Eine Erweiterung ist eine Galoiserweiterung, falls die Zahl der Automophismen gleich dem Erweiterungsgrad ist. Man weiß übrigens, dass es höchstens so viele Automorphismen wie der Erweiterungsgrad sein können und daher ist das ein besonders schöner Fall.
Was ist also ein Automorphismus einer Körpererweiterung sagen wir $L/K$? Es ist zunächst mal eine bijektive Abbildung [mm] $f:L\rightarrow [/mm] L$, die die Verknüpfungen $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] respektiert, d.h. $f(a+b)=f(a)+f(b)$ und [mm] $f(a\cdot b)=f(a)\cdot [/mm] f(b)$. (was wir bisher haben ist ein Automorphismus von $L$.) Damit es ein Automorphimus der Erweiterung wird müssen zusätzlich alle Elemente von $K$ auf sich selbst abgebildet werden ("f macht auf K nichts").
Beispiel: [mm] $\IC/\IR$ [/mm] ist eine Galois Erweiterung, weil sie Grad 2 hat und zwei Automorphismen: Die Identität ("id") die nichts macht d.h. jede komplexe Zahl auf sich selbst abbildet und die komplexe Konjugation, die $a+bi$ auf $a-bi$ schickt.
Wenn Dir das klar ist solltest Du Dir überlegen, dass [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ$ [/mm] nur einen Automorphismus hat: die Identität, die es immer gibt. Dazu überlege Dir:
1) Jeder Automrphismus muss [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] auf eine andere Nullstelle des Polynoms [mm] $X^3-2$ [/mm] schicken.
2) Von den drei Nullsellen liegt aber nur eine in [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})$
[/mm]
3) Jeder Automorphismus der [mm] $\wurzel[3]{2}$ [/mm] auf sich selbst schicke muss auch alle Elemente der Form
[mm] $a+b\wurzel[3]{2}+c(\wurzel[3]{2})^2$ [/mm] auf sich selbst abbilden.
4) Alle Elemente von [mm] $\IQ(\wurzel[3]{2})$ [/mm] sind von dieser Form.
Wenn Du das hast, solltest Du Dir klar machen, dass die Verkettung von zwei Automorphismen wieder ein Automorphismus ist und dass die Menge der Automophismen mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe (die Galoisgruppe, falls wir in diesem Fall sind) wird.
Wenn das klar ist, können wir die sechs Automorphismen, die wir brauchen explizit hinschreiben und dann sehr ökonomisch nachrechnen, dass es wirklich welche sind.
Teil 3 ist nach den Teilen 1 und 2 sehr einfach: Von den zwei Gruppen der Ornung sechs ist eine abelsch (=kommutativ) d.h. für zwei Elemente ist es egal ob man $a*b$ oder $b*a$ schreibt, wir können nach unserer Vorarbeit aber leicht zwei Elemente angeben, die diese Eigenschaft nicht haben. Also muss es die andere, die Diedergruppe der Ordnung 6, sein.
Zugegeben: Das ist jetzt sehr viel, aber beiß Dich halt durch!
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 08.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> >
> > Peter, wäre es vielleicht möglich, dass du mir Ansätze
> > zeigst, wie du an die Lösung der Aufgabe:
> > > > Wie sieht die Galoisgruppe von
> > > > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] ?
> > rangehen würdest? Du kannst halt auch in der
> Fachsprache
> > argumentieren. Es wäre für mich halt nur gut zu sehen,
> > wie man an sowas rangeht, um zu sehen, was mir alles noch
> > fehlt um diese Aufgabe zu lösen.
>
>
> Ok, ich schreibe Erst mal die Schritte, und dann etwas zu
> den ersten:
>
> 1) Zunächst musst Du zeigen, dass es eine
> Körpererweiterung vom grad 6 ist.
>
> 2) Dann musst Du zeigen, dass es eine Galoiserweiterung
> ist. (Das wäre bei der anderen nicht der Fall gewesen)
>
> 3) Danach kannst Du untersuchen, welche Gruppe das ist. (Es
> kommen nur Gruppen mit sechs Elementen in Frage und davon
> gibt es nur zwei, das hilft.)
>
> Zu 1)Hier gibt es zwei Möglichkeiten:
>
> Die erte: Du schreibst eine Basis hin und rechnest nach,
> dass es auch wirklich eine Basis ist (also es ist erstens
> ein Erzeugendensytem ("alles wird erreicht") das ist der
> einfache Teil und zweitens die Basiselemente sind linear
> unabhängig ("die Koeffizienten sind eindeutig")das ist
> schieriger).
>
> Die zweite Möglichkeit ist die folgende Formel: Wenn Du
> zwei Körpererweiterungen übereinander hast, also:
> [mm]K\subset L\subset M[/mm] sind alle drei Körper, so dass [mm]L/K[/mm] und
> [mm]M/L[/mm] Körpererweiterungen sind, dann ist auch [mm]M/K[/mm] eine
> köpererweiterung und es gilt:
>
> [mm]grad(M/K)=grad(M/L)\cdot grad(L/K)[/mm]
>
> Das kann man nun verwenden um unseren Erweiterungsgrad
> auszurechnen: Wir haben nämlich: [mm]\IQ\subset \IQ(\wurzel[3]{2})\subset\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm]
> wir müssen also nur zeigen, dass die Grade der
> Teilerweiterungen 3 und 2 sind.
>
> Ok, dass [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> Grad 2 hat ist relativ einfach: Der Grad ist höchstens
> zwei weil wir nur eine Nullstelle eines Polynoms vom
> (Polynom-)Grad zwei hinzufügen, nämlich [mm]\sqrt{-3}[/mm] was
> eine Nullstelle von [mm]X^2+3[/mm] ist. Also ist der
> Erweiterungsgrad 1 oder 2. Grad 1 würde aber bedeuten,
> dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die
> beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten,
> [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] aber nicht.
>
> Die andere Erweiterung ist etwas schwieriger, aber darum
> kümmern wir uns, wenn Du die erste verstanden hast.
>
> Zu 2) Vielleicht solltest Du erst verstehen, was eine
> Galois Erweiterung ist: Es geht um den Vergleich der
> Automorphismengruppe mit dem Grad der Körpererweiterung.
>
> Unter Ignorierung der Definition von "Automorphismus einer
> Erweiterung" ist die Definition: Eine Erweiterung ist eine
> Galoiserweiterung, falls die Zahl der Automophismen gleich
> dem Erweiterungsgrad ist. Man weiß übrigens, dass es
> höchstens so viele Automorphismen wie der Erweiterungsgrad
> sein können und daher ist das ein besonders schöner Fall.
>
> Was ist also ein Automorphismus einer Körpererweiterung
> sagen wir [mm]L/K[/mm]? Es ist zunächst mal eine bijektive
> Abbildung [mm]f:L\rightarrow L[/mm], die die Verknüpfungen [mm]+[/mm] und
> [mm]\cdot[/mm] respektiert, d.h. [mm]f(a+b)=f(a)+f(b)[/mm] und [mm]f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)[/mm].
> (was wir bisher haben ist ein Automorphismus von [mm]L[/mm].) Damit
> es ein Automorphimus der Erweiterung wird müssen
> zusätzlich alle Elemente von [mm]K[/mm] auf sich selbst abgebildet
> werden ("f macht auf K nichts").
>
> Beispiel: [mm]\IC/\IR[/mm] ist eine Galois Erweiterung, weil sie
> Grad 2 hat und zwei Automorphismen: Die Identität ("id")
> die nichts macht d.h. jede komplexe Zahl auf sich selbst
> abbildet und die komplexe Konjugation, die [mm]a+bi[/mm] auf [mm]a-bi[/mm]
> schickt.
>
> Wenn Dir das klar ist solltest Du Dir überlegen, dass
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] nur einen Automorphismus hat: die
> Identität, die es immer gibt. Dazu überlege Dir:
> 1) Jeder Automrphismus muss [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf eine andere
> Nullstelle des Polynoms [mm]X^3-2[/mm] schicken.
> 2) Von den drei Nullsellen liegt aber nur eine in
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> 3) Jeder Automorphismus der [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf sich selbst
> schicke muss auch alle Elemente der Form
> [mm]a+b\wurzel[3]{2}+c(\wurzel[3]{2})^2[/mm] auf sich selbst
> abbilden.
> 4) Alle Elemente von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] sind von dieser
> Form.
>
> Wenn Du das hast, solltest Du Dir klar machen, dass die
> Verkettung von zwei Automorphismen wieder ein
> Automorphismus ist und dass die Menge der Automophismen mit
> der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe (die
> Galoisgruppe, falls wir in diesem Fall sind) wird.
>
> Wenn das klar ist, können wir die sechs Automorphismen,
> die wir brauchen explizit hinschreiben und dann sehr
> ökonomisch nachrechnen, dass es wirklich welche sind.
>
> Teil 3 ist nach den Teilen 1 und 2 sehr einfach: Von den
> zwei Gruppen der Ornung sechs ist eine abelsch
> (=kommutativ) d.h. für zwei Elemente ist es egal ob man
> [mm]a*b[/mm] oder [mm]b*a[/mm] schreibt, wir können nach unserer Vorarbeit
> aber leicht zwei Elemente angeben, die diese Eigenschaft
> nicht haben. Also muss es die andere, die Diedergruppe der
> Ordnung 6, sein.
>
>
> Zugegeben: Das ist jetzt sehr viel, aber beiß Dich halt
> durch!
>
> Gruß
> Peter
Ich bedanke mich schon mal recht herzlich für deine Hilfestellungen und Erklärungen. Ich werde mich heute und morgen genauer den einzelnen Punkten widmen, und versuchen, das was du gesagt hast, nachzuvollziehen. Ich hoffe, dass du keine Probleme hast, wenn ich weitere Fragen stelle, falls ich etwas nicht verstehen sollte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 08.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Die zweite Möglichkeit ist die folgende Formel: Wenn Du
> zwei Körpererweiterungen übereinander hast, also:
> [mm]K\subset L\subset M[/mm] sind alle drei Körper, so dass [mm]L/K[/mm] und
> [mm]M/L[/mm] Körpererweiterungen sind, dann ist auch [mm]M/K[/mm] eine
> köpererweiterung und es gilt:
>
> [mm]grad(M/K)=grad(M/L)\cdot grad(L/K)[/mm]
>
> Das kann man nun verwenden um unseren Erweiterungsgrad
> auszurechnen: Wir haben nämlich: [mm]\IQ\subset \IQ(\wurzel[3]{2})\subset\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm]
> wir müssen also nur zeigen, dass die Grade der
> Teilerweiterungen 3 und 2 sind.
Woher weißt du das L = [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] ist? Hast du das einfach so angenommen oder gibts dafür auch eine Erklärung?
>
> Ok, dass [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> Grad 2 hat ist relativ einfach: Der Grad ist höchstens
> zwei weil wir nur eine Nullstelle eines Polynoms vom
> (Polynom-)Grad zwei hinzufügen, nämlich [mm]\sqrt{-3}[/mm] was
> eine Nullstelle von [mm]X^2+3[/mm] ist.
Bis hierhin ist soweit alles klar und verständlich.
> Also ist der Erweiterungsgrad 1 oder 2.
Ist der Grad nicht automatisch 2? Das Minimalpolynom [mm]X^2+3[/mm] hat als Grad doch die 2 oder nicht?
> Grad 1 würde aber bedeuten,
> dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die
> beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten,
> [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] aber nicht.
Muss es nicht heißen, das [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] in den rationalen, und nicht in den reelen Zahlen enthalten ist? Wir sind doch gerade beim rationalen Körper?
Nun haben wir ja bei [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] das MP von [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] herausgefunden.Sind wir nun schon fertig mit der Teilerweiterung M/L? Müssen wir nicht noch das MP von [mm] \IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/ [/mm] herausfinden, um Aussagen über den Grad der Teilerweiterung M/L sagen zu können oder ist das ohne Bedeutung?
Wenn das der Fall sein sollte, dann müssten wir uns doch nun die Teilerweiterung [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}) [/mm] / [mm] \IQ [/mm] anschauen oder?
Ich hoffe das ich bis hierhin einigermaßen mitgekommen bin.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 08.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die zweite Möglichkeit ist die folgende Formel: Wenn Du
> > zwei Körpererweiterungen übereinander hast, also:
> > [mm]K\subset L\subset M[/mm] sind alle drei Körper, so dass [mm]L/K[/mm] und
> > [mm]M/L[/mm] Körpererweiterungen sind, dann ist auch [mm]M/K[/mm] eine
> > köpererweiterung und es gilt:
> >
> > [mm]grad(M/K)=grad(M/L)\cdot grad(L/K)[/mm]
> >
> > Das kann man nun verwenden um unseren Erweiterungsgrad
> > auszurechnen: Wir haben nämlich: [mm]\IQ\subset \IQ(\wurzel[3]{2})\subset\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm]
> > wir müssen also nur zeigen, dass die Grade der
> > Teilerweiterungen 3 und 2 sind.
>
> Woher weißt du das L = [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist? Hast du das
> einfach so angenommen oder gibts dafür auch eine
> Erklärung?
Er hat einfach dieses $L$ ausgesucht, weil es damit am einfachsten ist.
> > Ok, dass [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> > Grad 2 hat ist relativ einfach: Der Grad ist höchstens
> > zwei weil wir nur eine Nullstelle eines Polynoms vom
> > (Polynom-)Grad zwei hinzufügen, nämlich [mm]\sqrt{-3}[/mm] was
> > eine Nullstelle von [mm]X^2+3[/mm] ist.
> Bis hierhin ist soweit alles klar und verständlich.
> > Also ist der Erweiterungsgrad 1 oder 2.
> Ist der Grad nicht automatisch 2? Das Minimalpolynom [mm]X^2+3[/mm]
> hat als Grad doch die 2 oder nicht?
Nun, es kann passieren, dass [mm] $X^2 [/mm] + 3$ in [mm] $\IQ(\sqrt{-3})$ [/mm] bereits eine Nullstelle hat. Dann waer das Minimalpolyom $X - [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] und haette somit Grad 1.
> > Grad 1 würde aber bedeuten,
> > dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die
> > beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn
> > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten,
> > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] aber nicht.
> Muss es nicht heißen, das [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] in den
> rationalen, und nicht in den reelen Zahlen enthalten ist?
Nein: [mm] $\IQ$ [/mm] sind die rationalen Zahlen, und [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] ist echt groesser und enthaelt irrationale Zahlen wie [mm] $\sqrt[3]{2}$.
[/mm]
Jedoch ist [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] eine reelle Zahl und somit ist [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] vollstaendig in den reellen Zahlen enthalten.
> Wir sind doch gerade beim rationalen Körper?
> Nun haben wir ja bei
> [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] das MP
> von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] herausgefunden.
Das Minimalpolynom brauchst du fuer die Erweiterung $L/K$, also fuer [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ$.
[/mm]
> Sind wir nun schon
> fertig mit der Teilerweiterung M/L? Müssen wir nicht noch
> das MP von [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/[/mm] herausfinden, um
> Aussagen über den Grad der Teilerweiterung M/L sagen zu
> können oder ist das ohne Bedeutung?
Du brauchst das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] ueber $L = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$, [/mm] da $M = [mm] L(\sqrt{-3})$ [/mm] ist.
> Wenn das der Fall sein sollte, dann müssten wir uns doch
> nun die Teilerweiterung [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] / [mm]\IQ[/mm] anschauen
> oder?
Die hat Grad 3, da [mm] $X^3 [/mm] - 2$ das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist und Grad 3 hat.
Es gibt uebrigens noch eine andere Argumentation, warum der Gesamtgrad 6 ist: nach dem Gradmultiplikationssatz gilt $[M : K] = [M : L] [L : K]$, womit $[L : K]$ ein Teiler von $[M : K]$ ist. Wenn man $L = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] waehlt, bekommt man wie oben $[L : K] = 3$. Also ist 3 ein Teiler von $[M : K]$. Wenn man $L = [mm] \IQ(\sqrt{-3})$ [/mm] waehlt, bekommt man $[L : K] = 2$. Also ist 2 ebenfalls ein Teiler von $[M : K]$. Damit ist $kgV(2, 3) = 6$ ein Teiler von $[M : K] = [mm] [\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ]$.
[/mm]
Jetzt kann der Grad hoechstens 6 sein, da $[M : L] [mm] \le [/mm] 2$ bzw. [mm] $\le [/mm] 3$ ist (in den beiden Faellen fuer $L$ jeweils), also muss er genau gleich 6 sein.
Damit spart man sich, das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] explizit zu bestimmen bzw. mit den reellen/komplexen Zahlen zu argumentieren. (Wuerde man etwa eine nicht-reelle dritte Wurzel von 2 waehlen, waer das gleich etwas komplizierter.)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 08.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Moin!
>
> > > Die zweite Möglichkeit ist die folgende Formel: Wenn Du
> > > zwei Körpererweiterungen übereinander hast, also:
> > > [mm]K\subset L\subset M[/mm] sind alle drei Körper, so dass [mm]L/K[/mm] und
> > > [mm]M/L[/mm] Körpererweiterungen sind, dann ist auch [mm]M/K[/mm] eine
> > > köpererweiterung und es gilt:
> > >
> > > [mm]grad(M/K)=grad(M/L)\cdot grad(L/K)[/mm]
> > >
> > > Das kann man nun verwenden um unseren Erweiterungsgrad
> > > auszurechnen: Wir haben nämlich: [mm]\IQ\subset \IQ(\wurzel[3]{2})\subset\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm]
> > > wir müssen also nur zeigen, dass die Grade der
> > > Teilerweiterungen 3 und 2 sind.
> >
> > Woher weißt du das L = [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist? Hast du das
> > einfach so angenommen oder gibts dafür auch eine
> > Erklärung?
>
> Er hat einfach dieses [mm]L[/mm] ausgesucht, weil es damit am
> einfachsten ist.
Also nehme ich das jetzt einfach so zur Kenntnis, dass es damit am einfachsten ist?
>
> > > Ok, dass [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> > > Grad 2 hat ist relativ einfach: Der Grad ist höchstens
> > > zwei weil wir nur eine Nullstelle eines Polynoms vom
> > > (Polynom-)Grad zwei hinzufügen, nämlich [mm]\sqrt{-3}[/mm] was
> > > eine Nullstelle von [mm]X^2+3[/mm] ist.
Eine Frag nochmal dazu. Wenn wir als Erweiterungskörper nun z.B.:[mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{5})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] hätten, müsste man dann noch die Nullstelle des Polynoms vom Grad 3, [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] berechnen? Oder könnte man dann einfach den Zwischenkörper L auch so darstellen [mm]\IQ(\wurzel[3]{5})[/mm]?
> > Bis hierhin ist soweit alles klar und verständlich.
> > > Also ist der Erweiterungsgrad 1 oder 2.
> > Ist der Grad nicht automatisch 2? Das Minimalpolynom
> [mm]X^2+3[/mm]
> > hat als Grad doch die 2 oder nicht?
>
> Nun, es kann passieren, dass [mm]X^2 + 3[/mm] in [mm]\IQ(\sqrt{-3})[/mm]
> bereits eine Nullstelle hat. Dann waer das Minimalpolyom [mm]X - \sqrt{-3}[/mm]
> und haette somit Grad 1.
>
> > > Grad 1 würde aber bedeuten,
> > > dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die
> > > beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn
> > > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten,
> > > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] aber nicht.
> > Muss es nicht heißen, das [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] in den
> > rationalen, und nicht in den reelen Zahlen enthalten ist?
>
> Nein: [mm]\IQ[/mm] sind die rationalen Zahlen, und [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm]
> ist echt groesser und enthaelt irrationale Zahlen wie
> [mm]\sqrt[3]{2}[/mm].
>
> Jedoch ist [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] eine reelle Zahl und somit ist
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] vollstaendig in den reellen Zahlen
> enthalten.
>
> > Wir sind doch gerade beim rationalen Körper?
> > Nun haben wir ja bei
> > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] das MP
> > von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] herausgefunden.
>
> Das Minimalpolynom brauchst du fuer die Erweiterung [mm]L/K[/mm],
> also fuer [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ[/mm].
>
> > Sind wir nun schon
> > fertig mit der Teilerweiterung M/L? Müssen wir nicht noch
> > das MP von [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/[/mm] herausfinden, um
> > Aussagen über den Grad der Teilerweiterung M/L sagen zu
> > können oder ist das ohne Bedeutung?
>
> Du brauchst das Minimalpolynom von [mm]\sqrt{-3}[/mm] ueber [mm]L = \IQ(\sqrt[3]{2})[/mm],
> da [mm]M = L(\sqrt{-3})[/mm] ist.
>
> > Wenn das der Fall sein sollte, dann müssten wir uns doch
> > nun die Teilerweiterung [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] / [mm]\IQ[/mm] anschauen
> > oder?
>
> Die hat Grad 3, da [mm]X^3 - 2[/mm] das Minimalpolynom von
> [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] ist und Grad 3 hat.
Also haben wir jetzt auch den Erweiterungsgrad von L / K herausgefunden.
Da wir ja nun Grad des MP von L / K und M / L wissen, können wir mithilfe der Gradformel den Grad der Körpererweiterung [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] berechnen. Der wäre ja wie anfangs bereits erwähnt 6. Da 2*3= 6 ist.
Also denke ich das ich es bis hierhin zum größten Teil verstanden habe. Lediglich
> > > Grad 1 würde aber bedeuten,
> > > dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die
> > > beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn
> > > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten,
> > > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] aber nicht.
das verstehe ich noch nicht so ganz, wird aber hoffentlich heute oder morgen noch verständlich für mich ;)
>
>
> Es gibt uebrigens noch eine andere Argumentation, warum der
> Gesamtgrad 6 ist: nach dem Gradmultiplikationssatz gilt [mm][M : K] = [M : L] [L : K][/mm],
> womit [mm][L : K][/mm] ein Teiler von [mm][M : K][/mm] ist. Wenn man [mm]L = \IQ(\sqrt[3]{2})[/mm]
> waehlt, bekommt man wie oben [mm][L : K] = 3[/mm]. Also ist 3 ein
> Teiler von [mm][M : K][/mm]. Wenn man [mm]L = \IQ(\sqrt{-3})[/mm] waehlt,
> bekommt man [mm][L : K] = 2[/mm]. Also ist 2 ebenfalls ein Teiler
> von [mm][M : K][/mm]. Damit ist [mm]kgV(2, 3) = 6[/mm] ein Teiler von [mm][M : K] = [\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2}) : \IQ][/mm].
>
> Jetzt kann der Grad hoechstens 6 sein, da [mm][M : L] \le 2[/mm]
> bzw. [mm]\le 3[/mm] ist (in den beiden Faellen fuer [mm]L[/mm] jeweils), also
> muss er genau gleich 6 sein.
>
> Damit spart man sich, das Minimalpolynom von [mm]\sqrt{-3}[/mm]
> ueber [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] explizit zu bestimmen bzw. mit den
> reellen/komplexen Zahlen zu argumentieren. (Wuerde man etwa
> eine nicht-reelle dritte Wurzel von 2 waehlen, waer das
> gleich etwas komplizierter.)
>
> LG Felix
>
Auch dir Felix vielen Dank für deine schnelle hilfe, ich widme mich nun dem nächsten Punkt zu und werde euch dann höchstwahrscheinlich mit weiteren fragen bombardieren. Ich hoffe ihr nehmt es mir nicht allzu übel, doch für mich in der 13.Klasse ist das, was hier gemacht wird,ein wenig zu kompliziert. Aber nun muss ich mich da durch kämpfen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 08.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Die zweite Möglichkeit ist die folgende Formel: Wenn Du
> > > > zwei Körpererweiterungen übereinander hast, also:
> > > > [mm]K\subset L\subset M[/mm] sind alle drei Körper, so dass [mm]L/K[/mm] und
> > > > [mm]M/L[/mm] Körpererweiterungen sind, dann ist auch [mm]M/K[/mm] eine
> > > > köpererweiterung und es gilt:
> > > >
> > > > [mm]grad(M/K)=grad(M/L)\cdot grad(L/K)[/mm]
> > > >
> > > > Das kann man nun verwenden um unseren Erweiterungsgrad
> > > > auszurechnen: Wir haben nämlich: [mm]\IQ\subset \IQ(\wurzel[3]{2})\subset\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm]
> > > > wir müssen also nur zeigen, dass die Grade der
> > > > Teilerweiterungen 3 und 2 sind.
> > >
> > > Woher weißt du das L = [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist? Hast du das
> > > einfach so angenommen oder gibts dafür auch eine
> > > Erklärung?
> >
> > Er hat einfach dieses [mm]L[/mm] ausgesucht, weil es damit am
> > einfachsten ist.
>
> Also nehme ich das jetzt einfach so zur Kenntnis, dass es
> damit am einfachsten ist?
Genau :)
Koerpergradbestimmung ist im allgemeinen recht muehsam (zumindest von Hand), und man versucht mit Tricks weiterzukommen wo immer es geht. PeterB hat dir einen Trick vorgestellt (Gradmultiplikationssatz und komplexe vs. reelle Zahlen), ich einen anderen (Gradmultiplikationssatz mit teilerfremden Teilgraden). Man kann sich den Grad auch vom Computer ausrechnen lassen, dazu sind leicht andere Techniken noetig (mehr lineare Algebra). Alle moeglichen Techniken zu praesentieren wuerd etwas den Rahmen hier sprengen ;)
> > > > Ok, dass [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> > > > Grad 2 hat ist relativ einfach: Der Grad ist höchstens
> > > > zwei weil wir nur eine Nullstelle eines Polynoms vom
> > > > (Polynom-)Grad zwei hinzufügen, nämlich [mm]\sqrt{-3}[/mm] was
> > > > eine Nullstelle von [mm]X^2+3[/mm] ist.
> Eine Frag nochmal dazu. Wenn wir als Erweiterungskörper
> nun z.B.:[mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{5})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> hätten, müsste man dann noch die Nullstelle des Polynoms
> vom Grad 3, [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] berechnen?
Nu, [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] liegt nicht in [mm] $\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{5})$. [/mm] Damit ist es kein Unterkoerper und die Schreibweise [mm] $\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{5})$ [/mm] macht keinen Sinn.
> Oder könnte man
> dann einfach den Zwischenkörper L auch so darstellen
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{5})[/mm]?
Ja, man sollte besser den Zwischenkoerper nehmen :)
> > > Wenn das der Fall sein sollte, dann müssten wir uns doch
> > > nun die Teilerweiterung [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] / [mm]\IQ[/mm] anschauen
> > > oder?
> >
> > Die hat Grad 3, da [mm]X^3 - 2[/mm] das Minimalpolynom von
> > [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] ist und Grad 3 hat.
>
> Also haben wir jetzt auch den Erweiterungsgrad von L / K
> herausgefunden.
Genau.
> Da wir ja nun Grad des MP von L / K und M / L wissen,
> können wir mithilfe der Gradformel den Grad der
> Körpererweiterung
> [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> berechnen. Der wäre ja wie anfangs bereits erwähnt 6. Da
> 2*3= 6 ist.
Ja :)
> Also denke ich das ich es bis hierhin zum größten Teil
> verstanden habe. Lediglich
> > > > Grad 1 würde aber bedeuten,
> > > > dass wir eine triviale Erweiterung haben, d.h. das die
> > > > beiden Körper gleich sind. Das kann nicht sein, denn
> > > > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] ist in den reellen Zahlen enthalten,
> > > > [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm] aber nicht.
> das verstehe ich noch nicht so ganz, wird aber hoffentlich
> heute oder morgen noch verständlich für mich ;)
Wenn der Grad 1 ist, dann ist [mm] $\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2}) [/mm] = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$.
[/mm]
> > [...]
>
> Auch dir Felix vielen Dank für deine schnelle hilfe, ich
> widme mich nun dem nächsten Punkt zu und werde euch dann
> höchstwahrscheinlich mit weiteren fragen bombardieren. Ich
> hoffe ihr nehmt es mir nicht allzu übel,
Klar, frag ruhig wenn dir etwas unklar ist. Irgendwer findet sich immer der antwortet ;)
> doch für mich in
> der 13.Klasse ist das, was hier gemacht wird,ein wenig zu
> kompliziert. Aber nun muss ich mich da durch kämpfen
Ich finde es ziemlich krass, so etwas in der 13. Klasse ganz allein bearbeiten zu muessen. Wenn ich bedenke wieviele Studenten im 3. oder 4. Semester allein mit Koerpererweiterungen (ganz ohne Galoistheorie) schon grosse Probleme haben...
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 09.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> 1) Zunächst musst Du zeigen, dass es eine
> Körpererweiterung vom grad 6 ist.
>
> 2) Dann musst Du zeigen, dass es eine Galoiserweiterung
> ist. (Das wäre bei der anderen nicht der Fall gewesen)
>
> 3) Danach kannst Du untersuchen, welche Gruppe das ist. (Es
> kommen nur Gruppen mit sechs Elementen in Frage und davon
> gibt es nur zwei, das hilft.)
>
> Zu 2) Vielleicht solltest Du erst verstehen, was eine
> Galois Erweiterung ist: Es geht um den Vergleich der
> Automorphismengruppe mit dem Grad der Körpererweiterung.
>
> Unter Ignorierung der Definition von "Automorphismus einer
> Erweiterung" ist die Definition: Eine Erweiterung ist eine
> Galoiserweiterung, falls die Zahl der Automophismen gleich
> dem Erweiterungsgrad ist. Man weiß übrigens, dass es
> höchstens so viele Automorphismen wie der Erweiterungsgrad
> sein können und daher ist das ein besonders schöner Fall.
>
> Was ist also ein Automorphismus einer Körpererweiterung
> sagen wir [mm]L/K[/mm]? Es ist zunächst mal eine bijektive
> Abbildung [mm]f:L\rightarrow L[/mm], die die Verknüpfungen [mm]+[/mm] und
> [mm]\cdot[/mm] respektiert, d.h. [mm]f(a+b)=f(a)+f(b)[/mm] und [mm]f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)[/mm].
> (was wir bisher haben ist ein Automorphismus von [mm]L[/mm].)
Bis hierhin ist mir alles soweit klar.
> Damit es ein Automorphimus der Erweiterung wird müssen
> zusätzlich alle Elemente von [mm]K[/mm] auf sich selbst abgebildet
> werden ("f macht auf K nichts").
>
> Beispiel: [mm]\IC/\IR[/mm] ist eine Galois Erweiterung, weil sie
> Grad 2 hat und zwei Automorphismen: Die Identität ("id")
> die nichts macht d.h. jede komplexe Zahl auf sich selbst
> abbildet und die komplexe Konjugation, die [mm]a+bi[/mm] auf [mm]a-bi[/mm]
> schickt.
Hier hab ich nun relativ wenig verstanden. Also ich weiß nun das es immer einen Automorphismus gibt, nämlich die Identität. Jedoch weiß ich nicht wie ich das mit der komplexen Konjugation einzuordnen habe. Gibt es denn eine Möglichkeit, das Beispiel irgendwie bildlich darzustellen? Ich denke das mir so ein Bild schneller zugänglich wird.
>
> Wenn Dir das klar ist solltest Du Dir überlegen, dass
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] nur einen Automorphismus hat: die
> Identität, die es immer gibt. Dazu überlege Dir:
> 1) Jeder Automrphismus muss [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf eine andere
> Nullstelle des Polynoms [mm]X^3-2[/mm] schicken.
Das Polynom [mm]X^3-2[/mm] besitzt doch nur eine Nullstelle.
> 2) Von den drei Nullsellen liegt aber nur eine in
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
Was ist hier mit den drei Nullstellen gemeint? Und wie hab ich mir das vorzustellen das nur eine davon in [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] liegt.
> 3) Jeder Automorphismus der [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf sich selbst
> schicke muss auch alle Elemente der Form
> [mm]a+b\wurzel[3]{2}+c(\wurzel[3]{2})^2[/mm] auf sich selbst
> abbilden.
> 4) Alle Elemente von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] sind von dieser
> Form.
>
Die letzten 2 Punkte hab ich auch noch nich so ganz verstanden, aber ich denke ich sollte zunächst die ersten 2 Punkte komplett verstehen bevor ich mir die nächsten angucke.
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Hallo nochmal,
ich kürze mal das Zitat bis auf die wesentliche Stelle, sonst ist es zu unübersichtlich:
> > Damit es ein Automorphimus der Erweiterung wird müssen
> > zusätzlich alle Elemente von [mm]K[/mm] auf sich selbst abgebildet
> > werden ("f macht auf K nichts").
> >
> > Beispiel: [mm]\IC/\IR[/mm] ist eine Galois Erweiterung, weil sie
> > Grad 2 hat und zwei Automorphismen: Die Identität ("id")
> > die nichts macht d.h. jede komplexe Zahl auf sich selbst
> > abbildet und die komplexe Konjugation, die [mm]a+bi[/mm] auf [mm]a-bi[/mm]
> > schickt.
>
> Hier hab ich nun relativ wenig verstanden. Also ich weiß
> nun das es immer einen Automorphismus gibt, nämlich die
> Identität. Jedoch weiß ich nicht wie ich das mit der
> komplexen Konjugation einzuordnen habe. Gibt es denn eine
> Möglichkeit, das Beispiel irgendwie bildlich darzustellen?
> Ich denke das mir so ein Bild schneller zugänglich wird.
Das kannst du dir schnell selbst überlegen, du kannst die komplexen Zahlen ja mit dem [mm]\IR^2[/mm] identifizieren.
Zeichne dir einen Punkt [mm]z=x+iy=(x,y)[/mm] mal in ein Koordinatensystem und dann das komplex Konjugierte [mm]\overline{z}=x-iy=(x,-y)[/mm]
Dann siehst du schnell, dass die komplexe Konjugation die Spielgelung an der x-Achse (bzw. der reellen Achse) ist.
> >
> > Wenn Dir das klar ist solltest Du Dir überlegen, dass
> > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] nur einen Automorphismus hat: die
> > Identität, die es immer gibt. Dazu überlege Dir:
> > 1) Jeder Automrphismus muss [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf eine
> andere
> > Nullstelle des Polynoms [mm]X^3-2[/mm] schicken.
>
> Das Polynom [mm]X^3-2[/mm] besitzt doch nur eine Nullstelle.
Die Frage ist. in welchem Körper?
In [mm]\IC[/mm] besitzt es 3 Nullstellen!
In [mm]\IQ[/mm] gar keine, aber in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] eine, nämlich [mm]x_0=\sqrt[3]{2}[/mm]
Sagt dir die Formel von Moivre etwas?
Schlags mal nach ...
>
> > 2) Von den drei Nullsellen liegt aber nur eine in
> > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
Da steht's ja auch nochmal, die anderen beiden Nullstellen sind komplex, nicht reell!
>
> Was ist hier mit den drei Nullstellen gemeint? Und wie hab
> ich mir das vorzustellen das nur eine davon in
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] liegt.
Siehe die Formel von Moivre.
Du hast [mm]x^3-2=0[/mm] bzw. [mm]x^3=2[/mm]
Das hat im Komplexen 3 Lösungen [mm]x_k=\sqrt[3]{2}\cdot{}\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right)[/mm] für [mm]k=0,1,2[/mm]
Das ist gerade diese Formel...
Für [mm]k=0[/mm] hast du die reelle NST [mm]x_0=\sqrt[3]{2}[/mm]
Für [mm]k=1,2[/mm] ergeben sich komplexe NSTen
Also liegt nur die NST [mm]x_0[/mm] in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm]
> > 3) Jeder Automorphismus der [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf sich
> selbst
> > schicke muss auch alle Elemente der Form
> > [mm]a+b\wurzel[3]{2}+c(\wurzel[3]{2})^2[/mm] auf sich selbst
> > abbilden.
> > 4) Alle Elemente von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] sind von dieser
> > Form.
> >
> Die letzten 2 Punkte hab ich auch noch nich so ganz
> verstanden, aber ich denke ich sollte zunächst die ersten
> 2 Punkte komplett verstehen bevor ich mir die nächsten
> angucke.
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 09.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> > > Wenn Dir das klar ist solltest Du Dir überlegen, dass
> > > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] nur einen Automorphismus hat: die
> > > Identität, die es immer gibt. Dazu überlege Dir:
> > > 1) Jeder Automrphismus muss [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf eine
> > andere
> > > Nullstelle des Polynoms [mm]X^3-2[/mm] schicken.
> >
> > Das Polynom [mm]X^3-2[/mm] besitzt doch nur eine Nullstelle.
>
> Die Frage ist. in welchem Körper?
>
> In [mm]\IC[/mm] besitzt es 3 Nullstellen!
>
> In [mm]\IQ[/mm] gar keine, aber in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] eine, nämlich
> [mm]x_0=\sqrt[3]{2}[/mm]
Wieso schauen wir uns denn überhaupt den Körper der komplexen Zahlen an? Der hat in meinen Augen nichts mit der Aufgabe zu tun.
Das [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] die Nullstelle [mm]x_0=\sqrt[3]{2}[/mm]hat ist mir bewusst.
Das mit Moivre wird dann doch etwas zu detailliert. Wie gesagt, ich versuche halt gerade nur, mich bei diesem Beispiel der Galoiserweiterung durchzukämpfen.
Wenn ich mir die Automorphismen von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] klar gemacht habe, dann muss ich danach doch noch die Autmorphismen von [mm]\IQ(\wurzel(-3),\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm] herausfinden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Fr 10.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Wenn Dir das klar ist solltest Du Dir überlegen, dass
> > > > [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] nur einen Automorphismus hat: die
> > > > Identität, die es immer gibt. Dazu überlege Dir:
> > > > 1) Jeder Automrphismus muss [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auf eine
> > > andere
> > > > Nullstelle des Polynoms [mm]X^3-2[/mm] schicken.
> > >
> > > Das Polynom [mm]X^3-2[/mm] besitzt doch nur eine Nullstelle.
> >
> > Die Frage ist. in welchem Körper?
> >
> > In [mm]\IC[/mm] besitzt es 3 Nullstellen!
> >
> > In [mm]\IQ[/mm] gar keine, aber in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] eine, nämlich
> > [mm]x_0=\sqrt[3]{2}[/mm]
>
> Wieso schauen wir uns denn überhaupt den Körper der
> komplexen Zahlen an? Der hat in meinen Augen nichts mit der
> Aufgabe zu tun.
Nun, [mm] $\IC$ [/mm] ist algebraisch abgeschlossen und eine Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] (wenn auch nicht der algebraische Abschluss von [mm] $\IQ$). [/mm] Das bedeutet, dass jeder Zerfaellungskoerper (und jede Galoiserweiterung) ueber [mm] $\IQ$ [/mm] als Teilkoerper von [mm] $\IC$ [/mm] aufgefasst werden kann.
Sprich: wenn du irgendwie an Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten interessiert bist: in [mm] $\IC$ [/mm] findest du sie immer.
> Das [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] die Nullstelle [mm]x_0=\sqrt[3]{2}[/mm]hat ist
> mir bewusst.
Ja, es hat dort aber auch nur eine einzige. Die beiden anderen Nullstellen sind nicht Element von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$. [/mm] (Das kann man daran liegen, dass sie echt komplex sind, waehrend [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}) \subseteq \IR$ [/mm] ist.)
> Das mit Moivre wird dann doch etwas zu detailliert. Wie
> gesagt, ich versuche halt gerade nur, mich bei diesem
> Beispiel der Galoiserweiterung durchzukämpfen.
>
> Wenn ich mir die Automorphismen von [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm]
> klar gemacht habe, dann muss ich danach doch noch die
> Autmorphismen von
> [mm]\IQ(\wurzel(-3),\wurzel[3]{2})/\IQ(\wurzel[3]{2})[/mm]
> herausfinden?
Nun, die Automorphismen von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ$ [/mm] helfen dir nicht viel, da es nur einen einzigen gibt Jeder Automorphismus von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ$ [/mm] ist schon durch das Bild von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] festgelegt, und das Bild muss eine Nullstelle von [mm] $x^3 [/mm] - 2$ sein. In [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] gibt es nur eine, womit es nur einen Automorphismus gibt: die Identitaet (die jedes $x [mm] \in \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] auf sich selber abbildet).
Interessanter sind die Automoprhismen von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] / [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] und die von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] / [mm] \IQ$. [/mm] Die erste Erweiterung hat zwei Automorphismen, die zweite hat sechs Automorhpismen.
Ein Automorphismus von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] ist durch seine Bilder von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] eindeutig bestimmt. [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] muss auf eine Nullstelle von [mm] $x^3 [/mm] - 2$ abgebildet werden (bestimme mal alle Nullstellen! Dazu ist die Formel von Moivre hilfreich), und [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] muss auf eine Nullstelle von [mm] $x^2 [/mm] + 3$ abgebildet werden.
Damit kannst du eine Tabelle aufstellen:
[mm] $\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } \sqrt{-3} \\ \hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & \sqrt{-3} \\ \phi_1 & \sqrt[3]{2} & -\sqrt{-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$
[/mm]
Das sind erstmal nur potentielle Automorphismen, ob es sie wirklich gibt muss man noch begruenden.
Da jedoch [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3})$ [/mm] ein Zerfaellungskoerper ist ueber [mm] $\IQ$, [/mm] ist die Erweiterung [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] eine Galoiserweiterung, und die Anzahl der Automoprhismen ist gleich [mm] $[\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] : [mm] \IQ]$. [/mm] Und das ist 6, wie wir schon bestimmt haben.
Also gibt es genau 6 Automorphismen, wir haben 6 Kandidaten, und somit sind alle Kandidaten auch Automorphismen.
Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel auf einmal ;)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 11.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Interessanter sind die Automoprhismen von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ(\sqrt[3]{2})[/mm]
> und die von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm]. Die erste
> Erweiterung hat zwei Automorphismen, die zweite hat sechs
> Automorhpismen.
>
> Ein Automorphismus von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm]
> ist durch seine Bilder von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\sqrt{-3}[/mm]
> eindeutig bestimmt. [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] muss auf eine Nullstelle
> von [mm]x^3 - 2[/mm] abgebildet werden (bestimme mal alle
> Nullstellen! Dazu ist die Formel von Moivre hilfreich), und
> [mm]\sqrt{-3}[/mm] muss auf eine Nullstelle von [mm]x^2 + 3[/mm] abgebildet
> werden.
also ich hab mir diese seite angeschaut wegen der moivre formel: https://matheraum.de/wissen/Moivre-Formel
hab es dann auch auf mein beispiel übernommen, und hoffe das ich es auch richtig gemacht habe. Die 3 Nullstellen die ich für [mm]x^3 - 2[/mm] rausbekommen habe, waren
[mm] x_{1}= \wurzel[3]{2}
[/mm]
[mm] x_{2}= \wurzel[3]{2}(-0,5 [/mm] + [mm] 0,8660254038\*i)
[/mm]
[mm] x_{2}= \wurzel[3]{2}(-0,5 [/mm] - [mm] 0,8660254038\*i)
[/mm]
Und für [mm]x^2 + 3[/mm] habe ich folgende Nullstellen rausbekommen:
[mm] x_{1}= [/mm] 0,7320508076
[mm] x_{2}= [/mm] 2,7320508076
Hoffe ich habe es richtig gemacht.
> Damit kannst du eine Tabelle aufstellen:
>
> [mm]\begin{tabular}{ccc} Automorphismus & Bild von[/mm][mm] \sqrt[3]{2}[/mm]
> [mm]& Bild von[/mm][mm] \sqrt{-3}[/mm] [mm]\\ \hline \phi_1 &[/mm][mm] \sqrt[3]{2}[/mm] [mm]&[/mm][mm] \sqrt{-3}[/mm]
> [mm]\\ \phi_1 &[/mm][mm] \sqrt[3]{2}[/mm] [mm]&[/mm][mm] -\sqrt{-3}[/mm] [mm]\\ \vdots & \vdots & \vdots \end{tabular}[/mm]
Das versteh ich noch nicht, weil es einen Fehler bei der Anzeige gibt
> Das sind erstmal nur potentielle Automorphismen, ob es sie
> wirklich gibt muss man noch begruenden.
>
> Da jedoch [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3})[/mm] ein
> Zerfaellungskoerper ist ueber [mm]\IQ[/mm], ist die Erweiterung
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm] eine Galoiserweiterung,
> und die Anzahl der Automoprhismen ist gleich
> [mm][\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) : \IQ][/mm]. Und das ist 6, wie wir
> schon bestimmt haben.
>
> Also gibt es genau 6 Automorphismen, wir haben 6
> Kandidaten, und somit sind alle Kandidaten auch
> Automorphismen.
>
> Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel auf einmal ;)
>
> LG Felix
>
Wenn wir dann alle 6 Automorphismen haben, gehören diese zu einer Galoisgruppe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Interessanter sind die Automoprhismen von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ(\sqrt[3]{2})[/mm]
> > und die von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm]. Die erste
> > Erweiterung hat zwei Automorphismen, die zweite hat sechs
> > Automorhpismen.
> >
> > Ein Automorphismus von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm]
> > ist durch seine Bilder von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\sqrt{-3}[/mm]
> > eindeutig bestimmt. [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] muss auf eine Nullstelle
> > von [mm]x^3 - 2[/mm] abgebildet werden (bestimme mal alle
> > Nullstellen! Dazu ist die Formel von Moivre hilfreich), und
> > [mm]\sqrt{-3}[/mm] muss auf eine Nullstelle von [mm]x^2 + 3[/mm] abgebildet
> > werden.
> also ich hab mir diese seite angeschaut wegen der moivre
> formel: https://matheraum.de/wissen/Moivre-Formel
> hab es dann auch auf mein beispiel übernommen, und hoffe
> das ich es auch richtig gemacht habe. Die 3 Nullstellen die
> ich für [mm]x^3 - 2[/mm] rausbekommen habe, waren
> [mm]x_{1}= \wurzel[3]{2}[/mm]
> [mm]x_{2}= \wurzel[3]{2}(-0,5[/mm] +
> [mm]0,8660254038\*i)[/mm]
> [mm]x_{2}= \wurzel[3]{2}(-0,5[/mm] - [mm]0,8660254038\*i)[/mm]
Schreib es nicht so Es ist $0.8660254... = [mm] \tfrac{1}{2} \sqrt{3}$.
[/mm]
> Und für [mm]x^2 + 3[/mm] habe ich folgende Nullstellen
> rausbekommen:
> [mm]x_{1}=[/mm] 0,7320508076
> [mm]x_{2}=[/mm] 2,7320508076
Das sind keine Nullstellen von [mm] $x^2 [/mm] + 3$. Die Nullstellen sind [mm] $\pm [/mm] i [mm] \sqrt{3} [/mm] = [mm] \pm \sqrt{-3}$.
[/mm]
> Das versteh ich noch nicht, weil es einen Fehler bei der
> Anzeige gibt
Ich hab's nun korrigiert.
> > Das sind erstmal nur potentielle Automorphismen, ob es sie
> > wirklich gibt muss man noch begruenden.
> >
> > Da jedoch [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3})[/mm] ein
> > Zerfaellungskoerper ist ueber [mm]\IQ[/mm], ist die Erweiterung
> > [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm] eine Galoiserweiterung,
> > und die Anzahl der Automoprhismen ist gleich
> > [mm][\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) : \IQ][/mm]. Und das ist 6, wie wir
> > schon bestimmt haben.
> >
> > Also gibt es genau 6 Automorphismen, wir haben 6
> > Kandidaten, und somit sind alle Kandidaten auch
> > Automorphismen.
> >
> > Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel auf einmal ;)
> >
> > LG Felix
> >
>
> Wenn wir dann alle 6 Automorphismen haben, gehören diese
> zu einer Galoisgruppe?
Sie bilden dann die Galoisgruppe von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] / [mm] \IQ$.
[/mm]
Dann kennst du die Elemente der Gruppe, was dir fehlt ist aber noch die Verknuepfungstafel.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 16.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Ich habe heute nochmals mit meinem Lehrer gesprochen, und ihm davon erzählt, dass ich jetzt schon die NS von [mm] \wurzel{-3} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] herausgefunden habe. Er meinte jedoch, dass diese durch die Moivre Formel berechneten NS von [mm] \wurzel[3]{2}, [/mm] nämlich [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] und - [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] , falsch seien. Stattdessen sagte er mir, das [mm] i\bruch{\wurzel{3}}{2}*\wurzel[3]{2} [/mm] eine weitere NS sei, und man aus [mm] i\bruch{\wurzel{3}}{2}*\wurzel[3]{2} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] auch die dritte NS berechnen könne.
Zudem meinte er noch was von wegen die NS von [mm] \wurzel{-3} [/mm] seien schon in den NS von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] enthalten, sodass man sich nur die Automorphismen von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] anschauen müsse. Dort sollen wohl 6 Automorphismen stecken.
Ich weiß jetzt jedoch nicht wie ich das mathematisch zeigen kann, dass dort die 6 Automorphismen vorhanden sind, und diese auch zur Galoisgruppe gehören.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 16.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe heute nochmals mit meinem Lehrer gesprochen, und
> ihm davon erzählt, dass ich jetzt schon die NS von
> [mm]\wurzel{-3}[/mm] und [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] herausgefunden habe. Er
> meinte jedoch, dass diese durch die Moivre Formel
> berechneten NS von [mm]\wurzel[3]{2},[/mm] nämlich
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] und - [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] ,
> falsch seien.
Das sind auch keine Nullstellen.
> Stattdessen sagte er mir, das
> [mm]i\bruch{\wurzel{3}}{2}*\wurzel[3]{2}[/mm] eine weitere NS sei,
Das ist ebenfalls keine Nullstelle.
> und man aus [mm]i\bruch{\wurzel{3}}{2}*\wurzel[3]{2}[/mm] und
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] auch die dritte NS berechnen könne.
Setze [mm] $\zeta [/mm] := [mm] \frac{1}{2} (\sqrt{-3} [/mm] + 1)$. Dann ist [mm] $|\zeta| [/mm] = 1$ und [mm] $\sqrt[3]{2}$, $\zeta \sqrt[3]{2}$, $\zeta^2 \sqrt[3]{2}$ [/mm] sind die drei Nullstellen von [mm] $x^3 [/mm] - 2$.
> Zudem meinte er noch was von wegen die NS von [mm]\wurzel{-3}[/mm]
> seien schon in den NS von [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] enthalten, sodass
> man sich nur die Automorphismen von [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] anschauen
> müsse. Dort sollen wohl 6 Automorphismen stecken.
Das geht auch.
Ich bin momentan nur sehr wenig online, evtl. komm ich heut abend oder morgen (meine Zeitzone) dazu etwas mehr zu schreiben.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 12.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Nun, die Automorphismen von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ[/mm] helfen dir
> nicht viel, da es nur einen einzigen gibt Jeder
> Automorphismus von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ[/mm] ist schon durch das
> Bild von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] festgelegt, und das Bild muss eine
> Nullstelle von [mm]x^3 - 2[/mm] sein. In [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] gibt es
> nur eine, womit es nur einen Automorphismus gibt: die
> Identitaet (die jedes [mm]x \in \IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] auf sich
> selber abbildet).
>
> Interessanter sind die Automoprhismen von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ(\sqrt[3]{2})[/mm]
> und die von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm]. Die erste
> Erweiterung hat zwei Automorphismen, die zweite hat sechs
> Automorhpismen.
>
> Ein Automorphismus von [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm]
> ist durch seine Bilder von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\sqrt{-3}[/mm]
> eindeutig bestimmt. [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] muss auf eine Nullstelle
> von [mm]x^3 - 2[/mm] abgebildet werden (bestimme mal alle
> Nullstellen! Dazu ist die Formel von Moivre hilfreich), und
> [mm]\sqrt{-3}[/mm] muss auf eine Nullstelle von [mm]x^2 + 3[/mm] abgebildet
> werden.
>
> Damit kannst du eine Tabelle aufstellen:
>
> [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } \sqrt{-3} \\ \hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & \sqrt{-3} \\ \phi_1 & \sqrt[3]{2} & -\sqrt{-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{array}[/mm]
Wäre der zweite Automorphismus zb. bei Bild von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] und bei bild von [mm] \wurzel{-3} [/mm] würde einfach wieder [mm] \wurzel{-3} [/mm] stehen bleiben? wusste jetzt nicht wie ich das in die tabelle einfügen konnte. hoffe du verstehst was ich damit meine.
Heißt das, dass ich einfach die Nullstellen dort in die Tabelle eintragen muss? Doch wenn das so wäre, würde ich nicht auf 6 Automorphismen kommen, da wir ja nur 3 Nullstellen für [mm][mm] x^3 [/mm] - 2[/mm herausgefunden haben.
>
> Das sind erstmal nur potentielle Automorphismen, ob es sie
> wirklich gibt muss man noch begruenden.
>
> Da jedoch [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3})[/mm] ein
> Zerfaellungskoerper ist ueber [mm]\IQ[/mm], ist die Erweiterung
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) / \IQ[/mm] eine Galoiserweiterung,
> und die Anzahl der Automoprhismen ist gleich
> [mm][\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) : \IQ][/mm]. Und das ist 6, wie wir
> schon bestimmt haben.
>
> Also gibt es genau 6 Automorphismen, wir haben 6
> Kandidaten, und somit sind alle Kandidaten auch
> Automorphismen.
>
> Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel auf einmal ;)
>
> LG Felix
>
>
[mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } \sqrt{-3} \\ \hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & \sqrt{-3} \\ \phi_1 & \sqrt[3]{2} & -\sqrt{-3} \\ \phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\ \phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt {-3} \\ \phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\ \phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt{-3} \\ \end{array}[/mm]
Ich hoffe ich habe es so richtig verstanden. Doch wie man sieht gibt es ja dann nur 3 Automorphismen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Eliza |
> [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } \sqrt{-3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & \sqrt{-3} \\
\phi_1 & \sqrt[3]{2} & -\sqrt{-3} \\
\phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\
\phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt {-3} \\
\phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\
\phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt{-3} \\
\end{array}[/mm]
Die Tabelle ist vom Prinzip her schon richtig, nur die Nullstellen von [mm]x^3-2[/mm] stimmen so nicht! (Siehe die Antwort von Felix) Die richtigen Nullstellen sind: [mm]\sqrt[3]{2}[/mm], [mm]\frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]. Damit hast du aber auch schon 6 Automorphismen, denn jede Zeile steht für einen neuen:
[mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } i\sqrt{3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_2 & \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\phi_3 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_4 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt {3} \\
\phi_5 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_6 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\end{array}[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 17.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> > [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } \sqrt{-3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & \sqrt{-3} \\
\phi_1 & \sqrt[3]{2} & -\sqrt{-3} \\
\phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\
\phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt {-3} \\
\phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\
\phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt{-3} \\
\end{array}[/mm]
>
>
> Die Tabelle ist vom Prinzip her schon richtig, nur die
> Nullstellen von [mm]x^3-2[/mm] stimmen so nicht! (Siehe die Antwort
> von Felix) Die richtigen Nullstellen sind: [mm]\sqrt[3]{2}[/mm],
> [mm]\frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm].
> Damit hast du aber auch schon 6 Automorphismen, denn jede
> Zeile steht für einen neuen:
>
> [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } i\sqrt{3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_2 & \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\phi_3 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_4 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt {3} \\
\phi_5 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_6 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\end{array}[/mm]
>
>
Vielen dank dafür. Hast du die NS von [mm] x^3-2 [/mm] mit der Moivre Formel ausgerechnet?
Nun zu der Verknüpfungstabelle. Ich sehe also nun das es 6 Automorphismen gibt, welche, wenn ich es richtig verstanden habe, die NS permutieren. Woher weiß ich das diese 6 Automorphismen zu der Galoisgruppe gehören.Wir wissen zwar aufgrund des Erweiterungsgrades das es auch 6 Automorphismen sein müssen, doch würde ich gerne wissen wie man definitiv sagen kann das diese Automorphismen zur Galoisgruppe zählen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 Sa 18.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } \sqrt{-3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & \sqrt{-3} \\
\phi_1 & \sqrt[3]{2} & -\sqrt{-3} \\
\phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\
\phi_2 & \bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt {-3} \\
\phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & \sqrt{-3} \\
\phi_3 & -\bruch{1}{2}\wurzel{3} & -\sqrt{-3} \\
\end{array}[/mm]
>
> >
> >
> > Die Tabelle ist vom Prinzip her schon richtig, nur die
> > Nullstellen von [mm]x^3-2[/mm] stimmen so nicht! (Siehe die Antwort
> > von Felix) Die richtigen Nullstellen sind: [mm]\sqrt[3]{2}[/mm],
> > [mm]\frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm].
> > Damit hast du aber auch schon 6 Automorphismen, denn jede
> > Zeile steht für einen neuen:
> >
> > [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } i\sqrt{3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_2 & \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\phi_3 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_4 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt {3} \\
\phi_5 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_6 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\end{array}[/mm]
>
> >
> >
>
> Vielen dank dafür. Hast du die NS von [mm]x^3-2[/mm] mit der Moivre
> Formel ausgerechnet?
Ja.
> Nun zu der Verknüpfungstabelle. Ich sehe also nun das es
> 6 Automorphismen gibt, welche, wenn ich es richtig
> verstanden habe, die NS permutieren.
Genau.
> Woher weiß ich das
> diese 6 Automorphismen zu der Galoisgruppe gehören.Wir
> wissen zwar aufgrund des Erweiterungsgrades das es auch 6
> Automorphismen sein müssen, doch würde ich gerne wissen
> wie man definitiv sagen kann das diese Automorphismen zur
> Galoisgruppe zählen.
Nun, jeder Automorphismus aus der Galoisgruppe muss die Nullstellen permutieren, steht also in der Tabelle. In der Tabelle stehen nun genausoviele potentielle Automorphismen, wie es wirkliche Automorphismen gibt. Also ist jeder potentielle Automorphismus bereits ein Automorphismus, und damit ist das die komplette Galoisgruppe.
(Das klappt leider nicht immer so gut wie hier )
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 18.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Wir haben nun also die Aufgabe gelöst.
Ich würde gerne nochmals alle Schritte zusammenfassen um zu gucken ob ich das richtig verstanden habe.
Zunächst muss man den Erweiterungsgrad der Körpererweiterung herausfinden. Dies kann man mit der Gradformel Grad M/K= Grad M/L*Grad L/K tun. Dazu benutzen wir als Zwischenkörper M= [mm] \IQ(\wurzel[3]{2} [/mm]
Nun schauen wir uns zunächst den Grad M/L an.
Ich weiß nun nicht ob ich das so ganz richtig verstanden habe. Ich schreibe es so hin wie ich es verstehe. Da [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] in M und L vorhanden ist, schauen wir uns nur den Erweiterungsgrad von [mm] \wurzel{-3} [/mm] an. Das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{-3} [/mm] ist [mm] x^2-3, [/mm] da es irreduzibel und normiert ist, und zudem [mm] \wurzel{-3} [/mm] eine NS da drinne hat. Der Polynomgrad ist 2, also ist auch der Erweiterungsgrad 2.
Nun zum Grad von L/K.
Das MP ist [mm] x^3-2 [/mm] und der Polynomgrad ist 3, also ist auch der Erweiterungsgrad 3.
grad M/L * grad L/K = 6
Wenn es nun also eine Galoiserweiterung sein soll, muss diese 6 Automorphismen besitzen.
Dazu rechnen wir zunächst die NS der beiden MP´s aus.
Bei dem MP [mm] x^2-3 [/mm] wären sie [mm] \wurzel{-3} [/mm] und [mm] -\wurzel{-3} [/mm]
Bei [mm] x^3-2 [/mm] gibt es in den komplexen Zahlen 3 NS, nämlich [mm] \wurzel[3]{2}, [/mm] $ [mm] \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} [/mm] $ , $ [mm] \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} [/mm] $ . Auch wenn ich nocht nicht ganz genau weiß, wie man mithilfe der Moivre formel darauf kommt.
Nun haben wir die NS berechnet und können nun schauen wie viele Permutationen der NS es gibt. Dazu stellen wir die Verknüpfungstabelle auf
$ [mm] \begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } i\sqrt{3} \\ \hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\ \phi_2 & \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\ \phi_3 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\ \phi_4 & \frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt {3} \\ \phi_5 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\ \phi_6 & \frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\ \end{array} [/mm] $
Wie wir sehen gibt es genau 6 Automorphismen. Da der Erweiterungsgrad 6 ist, und es nur dann eine Galoisgruppe ist, wenn wir auch 6 Autmorphismen haben, können wir sagen, dass diese 6 Automorphismen zur Galoisgruppe zählen.
Also so habe ich die Aufgabe nun dank eurer hilfe verstanden. Ich hoffe das es im großen und ganzen schon richtig ist.
Eigentlich hätte ich nun nur noch 2 Fragen.
Die erste wäre, wie man mithilfe der moivre formel auf die NS von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] kommt. Ich hatte ja in einem vorherigen post meine erhaltenen NS aufgeschrieben, doch diese waren falsch.
Die zweite frage wäre, wie ich die Automorphismen ohne Verknüpfungstabelle noch aufschreiben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Eliza |
> Wir haben nun also die Aufgabe gelöst.
> Ich würde gerne nochmals alle Schritte zusammenfassen um
> zu gucken ob ich das richtig verstanden habe.
> Zunächst muss man den Erweiterungsgrad der
> Körpererweiterung herausfinden. Dies kann man mit der
> Gradformel Grad M/K= Grad M/L*Grad L/K tun. Dazu benutzen
> wir als Zwischenkörper M= [mm]\IQ(\wurzel[3]{2}[/mm]
> Nun schauen wir uns zunächst den Grad M/L an.
> Ich weiß nun nicht ob ich das so ganz richtig verstanden
> habe. Ich schreibe es so hin wie ich es verstehe. Da
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] in M und L vorhanden ist, schauen wir uns nur
> den Erweiterungsgrad von [mm]\wurzel{-3}[/mm] an. Das Minimalpolynom
> von [mm]\wurzel{-3}[/mm] ist [mm]x^2-3,[/mm] da es irreduzibel und normiert
> ist, und zudem [mm]\wurzel{-3}[/mm] eine NS da drinne hat. Der
> Polynomgrad ist 2, also ist auch der Erweiterungsgrad 2.
> Nun zum Grad von L/K.
> Das MP ist [mm]x^3-2[/mm] und der Polynomgrad ist 3, also ist auch
> der Erweiterungsgrad 3.
> grad M/L * grad L/K = 6
> Wenn es nun also eine Galoiserweiterung sein soll, muss
> diese 6 Automorphismen besitzen.
> Dazu rechnen wir zunächst die NS der beiden MP´s aus.
> Bei dem MP [mm]x^2-3[/mm] wären sie [mm]\wurzel{-3}[/mm] und [mm]-\wurzel{-3}[/mm]
> Bei [mm]x^3-2[/mm] gibt es in den komplexen Zahlen 3 NS, nämlich
> [mm]\wurzel[3]{2},[/mm] [mm]\frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> , [mm]\frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] . Auch wenn
> ich nocht nicht ganz genau weiß, wie man mithilfe der
> Moivre formel darauf kommt.
> Nun haben wir die NS berechnet und können nun schauen wie
> viele Permutationen der NS es gibt. Dazu stellen wir die
> Verknüpfungstabelle auf
> [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } i\sqrt{3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_2 & \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\phi_3 & \frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_4 & \frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt {3} \\
\phi_5 & \frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_6 & \frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\end{array}[/mm]
>
> Wie wir sehen gibt es genau 6 Automorphismen. Da der
> Erweiterungsgrad 6 ist, und es nur dann eine Galoisgruppe
> ist, wenn wir auch 6 Autmorphismen haben, können wir
> sagen, dass diese 6 Automorphismen zur Galoisgruppe
> zählen.
Bin mir nicht ganz sicher, ob die Formulierung so stimmt, frag da vielleicht am besten nochmal deinen Lehrer!
> Also so habe ich die Aufgabe nun dank eurer hilfe
> verstanden. Ich hoffe das es im großen und ganzen schon
> richtig ist.
Ich denke, alles in allem schon, sprich über die Feinheiten wie gesagt nochmal mit deinem Lehrer!
> Eigentlich hätte ich nun nur noch 2 Fragen.
> Die erste wäre, wie man mithilfe der moivre formel auf die
> NS von [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] kommt. Ich hatte ja in einem
> vorherigen post meine erhaltenen NS aufgeschrieben, doch
> diese waren falsch.
Das haben wir ja glaub ich inzwischen geklärt oder?
> Die zweite frage wäre, wie ich die Automorphismen ohne
> Verknüpfungstabelle noch aufschreiben kann.
Also, die Automorphismen ohne Verknüpfungstabelle bilden einfach nur die Menge [mm]\{\phi_1=id,\ \phi_2,\ \phi_3,\ \phi_4,\ \phi_5,\ \phi_6\}[/mm], aber um die Gruppe zu beschreiben musst du die Verknüpfungstabelle noch erstellen. Überlege dir dafür, was passiert, wenn du die Automorphismen nacheinander ausführst. Ich mach mal ein Beispiel: [mm]\phi_2\circ\phi_3=\phi_6[/mm], da [mm]i\sqrt{3}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf [mm]i\sqrt{3}[/mm] und dann von [mm]\phi_2[/mm] weiter auf [mm]-i\sqrt{3}[/mm] abbgebildet wird und [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf [mm]\frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] und das von [mm]\phi_2[/mm] dann auf [mm]\frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] abgebildet wird. Sieht man also in der Tabelle nach, erhält man [mm]\phi_6[/mm].
Diese Überlegung musst du jetzt im Grunde noch für alle Kombinationen anstellen!
Grüße Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 21.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> > [mm]\begin{array}{ccc} \text{Automorphismus} & \text{Bild von } \sqrt[3]{2} & \text{Bild von } i\sqrt{3} \\
\hline \phi_1 & \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_2 & \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\phi_3 & \frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_4 & \frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt {3} \\
\phi_5 & \frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & i\sqrt{3} \\
\phi_6 & \frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2} & -i\sqrt{3} \\
\end{array}[/mm]
>
> Also, die Automorphismen ohne Verknüpfungstabelle bilden
> einfach nur die Menge [mm]\{\phi_1=id,\ \phi_2,\ \phi_3,\ \phi_4,\ \phi_5,\ \phi_6\}[/mm],
> aber um die Gruppe zu beschreiben musst du die
> Verknüpfungstabelle noch erstellen. Überlege dir dafür,
> was passiert, wenn du die Automorphismen nacheinander
> ausführst. Ich mach mal ein Beispiel:
> [mm]\phi_2\circ\phi_3=\phi_6[/mm], da [mm]i\sqrt{3}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf
> [mm]i\sqrt{3}[/mm] und dann von [mm]\phi_2[/mm] weiter auf [mm]-i\sqrt{3}[/mm]
> abbgebildet wird und [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf [mm]\frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> und das von [mm]\phi_2[/mm] dann auf [mm]\frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> abgebildet wird. Sieht man also in der Tabelle nach,
> erhält man [mm]\phi_6[/mm].
>
> Diese Überlegung musst du jetzt im Grunde noch für alle
> Kombinationen anstellen!
>
> Grüße Eliza
Hm, also das versteh ich schon wieder nicht.Könntest du dein verfahren vielleicht genauer beschreiben oder noch ein zweites beispiel angeben.
Ich verstehe das Prinzip mit der hintereinander ausführung der Automorphismen noch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Di 21.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Also, die Automorphismen ohne Verknüpfungstabelle bilden
> > einfach nur die Menge [mm]\{\phi_1=id,\ \phi_2,\ \phi_3,\ \phi_4,\ \phi_5,\ \phi_6\}[/mm],
> > aber um die Gruppe zu beschreiben musst du die
> > Verknüpfungstabelle noch erstellen. Überlege dir dafür,
> > was passiert, wenn du die Automorphismen nacheinander
> > ausführst. Ich mach mal ein Beispiel:
> > [mm]\phi_2\circ\phi_3=\phi_6[/mm], da [mm]i\sqrt{3}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf
> > [mm]i\sqrt{3}[/mm] und dann von [mm]\phi_2[/mm] weiter auf [mm]-i\sqrt{3}[/mm]
> > abbgebildet wird und [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf [mm]\frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> > und das von [mm]\phi_2[/mm] dann auf [mm]\frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> > abgebildet wird. Sieht man also in der Tabelle nach,
> > erhält man [mm]\phi_6[/mm].
> >
> > Diese Überlegung musst du jetzt im Grunde noch für alle
> > Kombinationen anstellen!
>
> Hm, also das versteh ich schon wieder nicht.Könntest du
> dein verfahren vielleicht genauer beschreiben oder noch ein
> zweites beispiel angeben.
Hast du mal die Wikipedia-Artikel ueber ![[]](/images/popup.gif) Verkettung (Hintereinanderausfuehrung) von Funktionen durchgelesen? Das ist das was Eliza oben mit [mm] $\phi_2$ [/mm] und [mm] $\phi_3$ [/mm] gemacht hat.
Das Ergebnis, also die Verknuepfungstabelle, wird hier etwas beschrieben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 21.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Moin!
>
> > > Also, die Automorphismen ohne Verknüpfungstabelle bilden
> > > einfach nur die Menge [mm]\{\phi_1=id,\ \phi_2,\ \phi_3,\ \phi_4,\ \phi_5,\ \phi_6\}[/mm],
> > > aber um die Gruppe zu beschreiben musst du die
> > > Verknüpfungstabelle noch erstellen. Überlege dir dafür,
> > > was passiert, wenn du die Automorphismen nacheinander
> > > ausführst. Ich mach mal ein Beispiel:
> > > [mm]\phi_2\circ\phi_3=\phi_6[/mm], da [mm]i\sqrt{3}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf
> > > [mm]i\sqrt{3}[/mm] und dann von [mm]\phi_2[/mm] weiter auf [mm]-i\sqrt{3}[/mm]
> > > abbgebildet wird und [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] von [mm]\phi_3[/mm] auf [mm]\frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> > > und das von [mm]\phi_2[/mm] dann auf [mm]\frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> > > abgebildet wird. Sieht man also in der Tabelle nach,
> > > erhält man [mm]\phi_6[/mm].
> > >
> > > Diese Überlegung musst du jetzt im Grunde noch für alle
> > > Kombinationen anstellen!
> >
> > Hm, also das versteh ich schon wieder nicht.Könntest du
> > dein verfahren vielleicht genauer beschreiben oder noch ein
> > zweites beispiel angeben.
>
> Hast du mal die Wikipedia-Artikel ueber
> Verkettung (Hintereinanderausfuehrung)
> von Funktionen durchgelesen? Das ist das was Eliza oben mit
> [mm]\phi_2[/mm] und [mm]\phi_3[/mm] gemacht hat.
>
> Das Ergebnis, also die Verknuepfungstabelle, wird
> hier
> etwas beschrieben.
>
> LG Felix
>
Die Seite mit der Verkettung hatte ich schon gelesen. Nur hab ich dennoch kein schimmer wie man das hier macht. Bei dem beispiel auf Wikipedia mit f(x) = x-1 und g(x)=x² habe ich es ja verstanden. also das die verkettung [mm] g\circ [/mm] f = (x-1)² ist habe ich verstanden. Nur wie gesagt weiß ich nicht wie ich das hier anstelle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:54 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Seite mit der Verkettung hatte ich schon gelesen. Nur
> hab ich dennoch kein schimmer wie man das hier macht. Bei
> dem beispiel auf Wikipedia mit f(x) = x-1 und g(x)=x² habe
> ich es ja verstanden. also das die verkettung [mm]g\circ[/mm] f =
> (x-1)² ist habe ich verstanden. Nur wie gesagt weiß ich
> nicht wie ich das hier anstelle
Nun, zurueck zu Elizas Beispiel. Du willst [mm] $\phi_2 \circ \phi_3$ [/mm] bestimmen. Das Ergebnis ist wieder ein Automorphismus, also durch die Bilder von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] und $i [mm] \sqrt{3}$ [/mm] bestimmt. Du musst also [mm] $(\phi_2 \circ \phi_3)(\sqrt[3]{2}) [/mm] = [mm] \phi_2(\phi_3(\sqrt[3]{2}))$ [/mm] und [mm] $(\phi_2 \circ \phi_3)(i \sqrt{3}) [/mm] = [mm] \phi_2(\phi_3(i \sqrt{3}))$ [/mm] ausrechnen, um zu wissen, welcher Automorphismus [mm] $\phi_2 \circ \phi_3$ [/mm] ist.
Nun ist [mm] $\phi_3(\sqrt[3]{2}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}$ [/mm] laut der Tabelle. Damit bekommst du (unter Verwendung der Homomorphieeigenschaft, und beachte, dass Zahlen aus [mm] $\IQ$ [/mm] auf sich selber abgebildet werden!) [mm] $\phi_2(\phi_3(\sqrt[3]{2})) [/mm] = [mm] \phi_2(\tfrac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2} \phi_2(-1 [/mm] + i [mm] \sqrt{3}) \phi_2(\sqrt[3]{2}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] (-1 + [mm] \phi_2(i \sqrt{3})) \phi_2(\sqrt[3]{2})$. [/mm] Wieder ein Blick in die Tabelle zeigt, dass dies gleich [mm] $\tfrac{1}{2} [/mm] (-1 - i [mm] \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}$ [/mm] ist.
Genauso siehst du, dass [mm] $\phi_3(i \sqrt{3}) [/mm] = i [mm] \sqrt{3}$ [/mm] ist, und somit [mm] $\phi_2(\phi_3(i \sqrt{3})) [/mm] = [mm] \phi_2(i \sqrt{3}) [/mm] = -i [mm] \sqrt{3}$.
[/mm]
Du weisst also, dass [mm] $(\phi_2 \circ \phi_3)(\sqrt[3]{2}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] (-1 - i [mm] \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}$ [/mm] und dass [mm] $(\phi_2 \circ \phi_3)(i \sqrt{3}) [/mm] = -i [mm] \sqrt{3}$ [/mm] ist. Laut Tabelle wird dies von [mm] $\phi_6$ [/mm] erfuellt, womit [mm] $\phi_2 \circ \phi_3 [/mm] = [mm] \phi_6$ [/mm] ist.
Ist das jetzt etwas klarer?
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 22.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Moin!
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> > Die Seite mit der Verkettung hatte ich schon gelesen. Nur
> > hab ich dennoch kein schimmer wie man das hier macht. Bei
> > dem beispiel auf Wikipedia mit f(x) = x-1 und g(x)=x² habe
> > ich es ja verstanden. also das die verkettung [mm]g\circ[/mm] f =
> > (x-1)² ist habe ich verstanden. Nur wie gesagt weiß ich
> > nicht wie ich das hier anstelle
>
> Nun, zurueck zu Elizas Beispiel. Du willst [mm]\phi_2 \circ \phi_3[/mm]
> bestimmen. Das Ergebnis ist wieder ein Automorphismus, also
> durch die Bilder von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]i \sqrt{3}[/mm] bestimmt.
> Du musst also [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(\sqrt[3]{2}) = \phi_2(\phi_3(\sqrt[3]{2}))[/mm]
> und [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(i \sqrt{3}) = \phi_2(\phi_3(i \sqrt{3}))[/mm]
> ausrechnen, um zu wissen, welcher Automorphismus [mm]\phi_2 \circ \phi_3[/mm]
> ist.
>
> Nun ist [mm]\phi_3(\sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}[/mm]
> laut der Tabelle. Damit bekommst du (unter Verwendung der
> Homomorphieeigenschaft, und beachte, dass Zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> auf sich selber abgebildet werden!)
> [mm]\phi_2(\phi_3(\sqrt[3]{2})) = \phi_2(\tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} \phi_2(-1 + i \sqrt{3}) \phi_2(\sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} (-1 + \phi_2(i \sqrt{3})) \phi_2(\sqrt[3]{2})[/mm].
> Wieder ein Blick in die Tabelle zeigt, dass dies gleich
> [mm]\tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}[/mm] ist.
>
> Genauso siehst du, dass [mm]\phi_3(i \sqrt{3}) = i \sqrt{3}[/mm]
> ist, und somit [mm]\phi_2(\phi_3(i \sqrt{3})) = \phi_2(i \sqrt{3}) = -i \sqrt{3}[/mm].
>
> Du weisst also, dass [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(\sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}[/mm]
> und dass [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(i \sqrt{3}) = -i \sqrt{3}[/mm]
> ist. Laut Tabelle wird dies von [mm]\phi_6[/mm] erfuellt, womit
> [mm]\phi_2 \circ \phi_3 = \phi_6[/mm] ist.
>
> Ist das jetzt etwas klarer?
>
> LG Felix
>
Ich denke schon das es mir jetzt etwas klarer geworden ist. Ich habe die beispiele auf jedenfall verstanden und mal probiert, weitere Kombinationen zu lösen.
Ich habe z.B. [mm] \phi_2 \circ \phi_4 [/mm] berechnet und es kam dabei [mm] \phi_6 [/mm] raus. Zudem habe ich noch alle Kombinationen mit [mm] \phi_1 [/mm] gemacht, dabei kam immer [mm] \phi_3 [/mm] raus, ausser als ich [mm] \phi_1 \circ \phi_2 [/mm] gerechnet habe, da kam nämlich [mm] \phi_1 [/mm] bei raus.
Was ist aber z.B bei dem beispiel [mm] \phi_3 \circ \phi_4 [/mm] ?
[mm] \phi_3(\phi_4(\sqrt[3]{2})) [/mm] = [mm] \phi_3(\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}). [/mm] Was passiert denn nun wenn ich jetzt noch [mm] \phi_3 [/mm] ausführe?
Etwa das hier : [mm] \phi_3(\phi_4(\sqrt[3]{2})) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})*\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2} [/mm] ?
Das würde ja aber nicht in der Tabelle vorkommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Die Seite mit der Verkettung hatte ich schon gelesen. Nur
> > > hab ich dennoch kein schimmer wie man das hier macht. Bei
> > > dem beispiel auf Wikipedia mit f(x) = x-1 und g(x)=x² habe
> > > ich es ja verstanden. also das die verkettung [mm]g\circ[/mm] f =
> > > (x-1)² ist habe ich verstanden. Nur wie gesagt weiß ich
> > > nicht wie ich das hier anstelle
> >
> > Nun, zurueck zu Elizas Beispiel. Du willst [mm]\phi_2 \circ \phi_3[/mm]
> > bestimmen. Das Ergebnis ist wieder ein Automorphismus, also
> > durch die Bilder von [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]i \sqrt{3}[/mm] bestimmt.
> > Du musst also [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(\sqrt[3]{2}) = \phi_2(\phi_3(\sqrt[3]{2}))[/mm]
> > und [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(i \sqrt{3}) = \phi_2(\phi_3(i \sqrt{3}))[/mm]
> > ausrechnen, um zu wissen, welcher Automorphismus [mm]\phi_2 \circ \phi_3[/mm]
> > ist.
> >
> > Nun ist [mm]\phi_3(\sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}[/mm]
> > laut der Tabelle. Damit bekommst du (unter Verwendung der
> > Homomorphieeigenschaft, und beachte, dass Zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> > auf sich selber abgebildet werden!)
> > [mm]\phi_2(\phi_3(\sqrt[3]{2})) = \phi_2(\tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} \phi_2(-1 + i \sqrt{3}) \phi_2(\sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} (-1 + \phi_2(i \sqrt{3})) \phi_2(\sqrt[3]{2})[/mm].
> > Wieder ein Blick in die Tabelle zeigt, dass dies gleich
> > [mm]\tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}[/mm] ist.
> >
> > Genauso siehst du, dass [mm]\phi_3(i \sqrt{3}) = i \sqrt{3}[/mm]
> > ist, und somit [mm]\phi_2(\phi_3(i \sqrt{3})) = \phi_2(i \sqrt{3}) = -i \sqrt{3}[/mm].
>
> >
> > Du weisst also, dass [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(\sqrt[3]{2}) = \tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{2}[/mm]
> > und dass [mm](\phi_2 \circ \phi_3)(i \sqrt{3}) = -i \sqrt{3}[/mm]
> > ist. Laut Tabelle wird dies von [mm]\phi_6[/mm] erfuellt, womit
> > [mm]\phi_2 \circ \phi_3 = \phi_6[/mm] ist.
> >
> > Ist das jetzt etwas klarer?
> >
> > LG Felix
> >
>
> Ich denke schon das es mir jetzt etwas klarer geworden ist.
> Ich habe die beispiele auf jedenfall verstanden und mal
> probiert, weitere Kombinationen zu lösen.
> Ich habe z.B. [mm]\phi_2 \circ \phi_4[/mm] berechnet und es kam
> dabei [mm]\phi_6[/mm] raus.
Das kann nicht sein. Wenn [mm] $\phi_2 \circ \phi_3 [/mm] = [mm] \phi_6 [/mm] = [mm] \phi_2 \circ \phi_4$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\phi_3 [/mm] = [mm] \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_3 [/mm] = [mm] \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_4 [/mm] = [mm] \phi_4$. [/mm] Und [mm] $\phi_3 \neq \phi_4$.
[/mm]
Kannst du die Rechnung mal aufschreiben?
> Zudem habe ich noch alle Kombinationen
> mit [mm]\phi_1[/mm] gemacht, dabei kam immer [mm]\phi_3[/mm] raus, ausser als
> ich [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] gerechnet habe, da kam nämlich
> [mm]\phi_1[/mm] bei raus.
Das geht ebensowenig. Es ist uebrigens [mm] $\phi_1 \circ \phi_i [/mm] = [mm] \phi_i [/mm] = [mm] \phi_i \circ \phi_1$ [/mm] fuer alle $i$. (Da [mm] $\phi_1$ [/mm] "nichts veraendert", also die Identitaetsabbildung ist.)
> Was ist aber z.B bei dem beispiel [mm]\phi_3 \circ \phi_4[/mm] ?
> [mm]\phi_3(\phi_4(\sqrt[3]{2}))[/mm] =
> [mm]\phi_3(\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}).[/mm] Was
> passiert denn nun wenn ich jetzt noch [mm]\phi_3[/mm] ausführe?
> Etwa das hier : [mm]\phi_3(\phi_4(\sqrt[3]{2}))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})*\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}[/mm]
> ?
Genau.
> Das würde ja aber nicht in der Tabelle vorkommen.
Nun, du musst auch noch etwas rechnen. Was ist [mm] $\frac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3})$? [/mm] Wenn du es ausmultiplizierst, sollte [mm] $\frac{1}{2} [/mm] (-1 - i [mm] \sqrt{3})$ [/mm] herauskommen.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 22.09.2010 | | Autor: | konse77 |
>> > Ich denke schon das es mir jetzt etwas klarer geworden ist.
> > Ich habe die beispiele auf jedenfall verstanden und mal
> > probiert, weitere Kombinationen zu lösen.
> > Ich habe z.B. [mm]\phi_2 \circ \phi_4[/mm] berechnet und es kam
> > dabei [mm]\phi_6[/mm] raus.
>
> Das kann nicht sein. Wenn [mm]\phi_2 \circ \phi_3 = \phi_6 = \phi_2 \circ \phi_4[/mm]
> ist, dann ist [mm]\phi_3 = \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_3 = \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_4 = \phi_4[/mm].
> Und [mm]\phi_3 \neq \phi_4[/mm].
>
> Kannst du die Rechnung mal aufschreiben?
[mm] \phi_2 \circ \phi_4 \wurzel[3]{2} [/mm] = [mm] \phi_2 (\phi_4 \wurzel[3]{2})
[/mm]
[mm] \phi_2 \circ (\phi_4 \wurzel[3]{2})= \phi_2 (\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}
[/mm]
Wenn ich jetzt den [mm] \phi_2 [/mm] darauf anwende kommt bei mir das raus
[mm] \bruch{1}{2}(-1-i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}
[/mm]
Und für [mm] \phi_2 \circ \phi_4 \wurzel(3) [/mm] kommt doch [mm] -i\wurzel(3) [/mm] raus.
Wenn ich jetzt in der Tabelle nachgucke, entspricht es doch [mm] \phi_6 [/mm] ?
>
> > Zudem habe ich noch alle Kombinationen
> > mit [mm]\phi_1[/mm] gemacht, dabei kam immer [mm]\phi_3[/mm] raus, ausser als
> > ich [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] gerechnet habe, da kam nämlich
> > [mm]\phi_1[/mm] bei raus.
>
> Das geht ebensowenig. Es ist uebrigens [mm]\phi_1 \circ \phi_i = \phi_i = \phi_i \circ \phi_1[/mm]
> fuer alle [mm]i[/mm]. (Da [mm]\phi_1[/mm] "nichts veraendert", also die
> Identitaetsabbildung ist.)
>
Hm... irgendwas schein ich dann wohl doch noch nicht so richtig verstanden zu haben.
> > Was ist aber z.B bei dem beispiel [mm]\phi_3 \circ \phi_4[/mm] ?
> > [mm]\phi_3(\phi_4(\sqrt[3]{2}))[/mm] =
> > [mm]\phi_3(\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}).[/mm] Was
> > passiert denn nun wenn ich jetzt noch [mm]\phi_3[/mm] ausführe?
> > Etwa das hier : [mm]\phi_3(\phi_4(\sqrt[3]{2}))[/mm] =
> >
> [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})*\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}[/mm]
> > ?
>
> Genau.
>
> > Das würde ja aber nicht in der Tabelle vorkommen.
>
> Nun, du musst auch noch etwas rechnen. Was ist [mm]\frac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3})[/mm]?
> Wenn du es ausmultiplizierst, sollte [mm]\frac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3})[/mm]
> herauskommen.
>
> LG Felix
>
Das habe ich jetzt noch nicht geprüft, werde ich aber heute abend tun
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> >> > Ich denke schon das es mir jetzt etwas klarer geworden
> ist.
> > > Ich habe die beispiele auf jedenfall verstanden und mal
> > > probiert, weitere Kombinationen zu lösen.
> > > Ich habe z.B. [mm]\phi_2 \circ \phi_4[/mm] berechnet und es
> kam
> > > dabei [mm]\phi_6[/mm] raus.
> >
> > Das kann nicht sein. Wenn [mm]\phi_2 \circ \phi_3 = \phi_6 = \phi_2 \circ \phi_4[/mm]
> > ist, dann ist [mm]\phi_3 = \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_3 = \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_4 = \phi_4[/mm].
> > Und [mm]\phi_3 \neq \phi_4[/mm].
> >
> > Kannst du die Rechnung mal aufschreiben?
>
> [mm]\phi_2 \circ \phi_4 \wurzel[3]{2}[/mm] = [mm]\phi_2 (\phi_4 \wurzel[3]{2})[/mm]
>
> [mm]\phi_2 \circ (\phi_4 \wurzel[3]{2})= \phi_2 (\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt den [mm]\phi_2[/mm] darauf anwende kommt bei mir das
> raus
> [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}[/mm]
Ja.
> Und für [mm]\phi_2 \circ \phi_4 \wurzel(3)[/mm] kommt doch
> [mm]-i\wurzel(3)[/mm] raus.
Nein, es kommt $i [mm] \sqrt{3}$ [/mm] raus. Und damit entspricht es [mm] $\phi_5$.
[/mm]
> > > Zudem habe ich noch alle Kombinationen
> > > mit [mm]\phi_1[/mm] gemacht, dabei kam immer [mm]\phi_3[/mm] raus, ausser als
> > > ich [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] gerechnet habe, da kam nämlich
> > > [mm]\phi_1[/mm] bei raus.
> >
> > Das geht ebensowenig. Es ist uebrigens [mm]\phi_1 \circ \phi_i = \phi_i = \phi_i \circ \phi_1[/mm]
> > fuer alle [mm]i[/mm]. (Da [mm]\phi_1[/mm] "nichts veraendert", also die
> > Identitaetsabbildung ist.)
>
> Hm... irgendwas schein ich dann wohl doch noch nicht so
> richtig verstanden zu haben.
Also [mm] $\phi_1$ [/mm] bildet jedes Element $x$ aus [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, [/mm] i [mm] \sqrt{3})$ [/mm] auf sich selber ab. Es ist damit die Identitaetsabbildung. Und deswegen aendert sich nichts, wenn du [mm] $\phi_i$ [/mm] mit [mm] $\phi_1$ [/mm] verkettest.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 22.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Moin!
>
> > >> > Ich denke schon das es mir jetzt etwas klarer geworden
> > ist.
> > > > Ich habe die beispiele auf jedenfall verstanden und mal
> > > > probiert, weitere Kombinationen zu lösen.
> > > > Ich habe z.B. [mm]\phi_2 \circ \phi_4[/mm] berechnet und
> es
> > kam
> > > > dabei [mm]\phi_6[/mm] raus.
> > >
> > > Das kann nicht sein. Wenn [mm]\phi_2 \circ \phi_3 = \phi_6 = \phi_2 \circ \phi_4[/mm]
> > > ist, dann ist [mm]\phi_3 = \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_3 = \phi_2^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_4 = \phi_4[/mm].
> > > Und [mm]\phi_3 \neq \phi_4[/mm].
> > >
> > > Kannst du die Rechnung mal aufschreiben?
> >
> > [mm]\phi_2 \circ \phi_4 \wurzel[3]{2}[/mm] = [mm]\phi_2 (\phi_4 \wurzel[3]{2})[/mm]
>
> >
> > [mm]\phi_2 \circ (\phi_4 \wurzel[3]{2})= \phi_2 (\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> >
> > Wenn ich jetzt den [mm]\phi_2[/mm] darauf anwende kommt bei mir das
> > raus
> > [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> Ja.
>
> > Und für [mm]\phi_2 \circ \phi_4 \wurzel(3)[/mm] kommt doch
> > [mm]-i\wurzel(3)[/mm] raus.
>
> Nein, es kommt [mm]i \sqrt{3}[/mm] raus. Und damit entspricht es
> [mm]\phi_5[/mm].
In der Tabelle steht doch für [mm] \phi_2 [/mm] = [mm] -i\wurzel(3) [/mm] . Wenn ich das auf [mm] -i\wurzel(3) [/mm] anwende, kommt doch [mm] \phi_2 [/mm] bei raus.
>
> > > > Zudem habe ich noch alle Kombinationen
> > > > mit [mm]\phi_1[/mm] gemacht, dabei kam immer [mm]\phi_3[/mm] raus, ausser als
> > > > ich [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] gerechnet habe, da kam nämlich
> > > > [mm]\phi_1[/mm] bei raus.
> > >
> > > Das geht ebensowenig. Es ist uebrigens [mm]\phi_1 \circ \phi_i = \phi_i = \phi_i \circ \phi_1[/mm]
> > > fuer alle [mm]i[/mm]. (Da [mm]\phi_1[/mm] "nichts veraendert", also die
> > > Identitaetsabbildung ist.)
> >
> > Hm... irgendwas schein ich dann wohl doch noch nicht so
> > richtig verstanden zu haben.
>
> Also [mm]\phi_1[/mm] bildet jedes Element [mm]x[/mm] aus [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})[/mm]
> auf sich selber ab. Es ist damit die Identitaetsabbildung.
> Und deswegen aendert sich nichts, wenn du [mm]\phi_i[/mm] mit [mm]\phi_1[/mm]
> verkettest.
>
> LG Felix
>
Was kommt den raus wenn ich die Identität [mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \phi_3 [/mm] zb hintereinander ausführe?Wie gesagt, bei mir kam da dann [mm] \phi_3 [/mm] raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Wenn ich jetzt den [mm]\phi_2[/mm] darauf anwende kommt bei mir das
> > > raus
> > > [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}[/mm]
> >
> > Ja.
> >
> > > Und für [mm]\phi_2 \circ \phi_4 \wurzel(3)[/mm] kommt doch
> > > [mm]-i\wurzel(3)[/mm] raus.
> >
> > Nein, es kommt [mm]i \sqrt{3}[/mm] raus. Und damit entspricht es
> > [mm]\phi_5[/mm].
>
> In der Tabelle steht doch für [mm]\phi_2[/mm] = [mm]-i\wurzel(3)[/mm] . Wenn
> ich das auf [mm]-i\wurzel(3)[/mm] anwende, kommt doch [mm]\phi_2[/mm] bei
> raus.
Nun, du hast [mm] $(\phi_2 \circ \phi_4)(i \sqrt{3}) [/mm] = [mm] \phi_2(-i \sqrt{3}) [/mm] = [mm] -\phi_2(i \sqrt{3}) [/mm] = -(-i [mm] \sqrt{3}) [/mm] = i [mm] \sqrt{3}$.
[/mm]
> > > > > Zudem habe ich noch alle Kombinationen
> > > > > mit [mm]\phi_1[/mm] gemacht, dabei kam immer [mm]\phi_3[/mm] raus, ausser als
> > > > > ich [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] gerechnet habe, da kam nämlich
> > > > > [mm]\phi_1[/mm] bei raus.
> > > >
> > > > Das geht ebensowenig. Es ist uebrigens [mm]\phi_1 \circ \phi_i = \phi_i = \phi_i \circ \phi_1[/mm]
> > > > fuer alle [mm]i[/mm]. (Da [mm]\phi_1[/mm] "nichts veraendert", also die
> > > > Identitaetsabbildung ist.)
> > >
> > > Hm... irgendwas schein ich dann wohl doch noch nicht so
> > > richtig verstanden zu haben.
> >
> > Also [mm]\phi_1[/mm] bildet jedes Element [mm]x[/mm] aus [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})[/mm]
> > auf sich selber ab. Es ist damit die Identitaetsabbildung.
> > Und deswegen aendert sich nichts, wenn du [mm]\phi_i[/mm] mit [mm]\phi_1[/mm]
> > verkettest.
>
> Was kommt den raus wenn ich die Identität [mm]\phi_1[/mm] und
> [mm]\phi_3[/mm] zb hintereinander ausführe?Wie gesagt, bei mir kam
> da dann [mm]\phi_3[/mm] raus.
Da kommt auch [mm] $\phi_3$ [/mm] raus. Und bei [mm] $\phi_1 \circ \phi_2$ [/mm] und [mm] $\phi_2 \circ \phi_1$ [/mm] kommt [mm] $\phi_2$ [/mm] raus.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 22.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Moin!
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> > > > Wenn ich jetzt den [mm]\phi_2[/mm] darauf anwende kommt bei mir das
> > > > raus
> > > > [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel(3))\wurzel[3]{2}[/mm]
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > > Und für [mm]\phi_2 \circ \phi_4 \wurzel(3)[/mm] kommt doch
> > > > [mm]-i\wurzel(3)[/mm] raus.
> > >
> > > Nein, es kommt [mm]i \sqrt{3}[/mm] raus. Und damit entspricht es
> > > [mm]\phi_5[/mm].
> >
> > In der Tabelle steht doch für [mm]\phi_2[/mm] = [mm]-i\wurzel(3)[/mm] . Wenn
> > ich das auf [mm]-i\wurzel(3)[/mm] anwende, kommt doch [mm]\phi_2[/mm] bei
> > raus.
>
> Nun, du hast [mm](\phi_2 \circ \phi_4)(i \sqrt{3}) = \phi_2(-i \sqrt{3}) = -\phi_2(i \sqrt{3}) = -(-i \sqrt{3}) = i \sqrt{3}[/mm].
>
Also wird das Minus zeichen sozusagen "verschont".
> > > > > > Zudem habe ich noch alle Kombinationen
> > > > > > mit [mm]\phi_1[/mm] gemacht, dabei kam immer [mm]\phi_3[/mm] raus, ausser als
> > > > > > ich [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] gerechnet habe, da kam nämlich
> > > > > > [mm]\phi_1[/mm] bei raus.
> > > > >
> > > > > Das geht ebensowenig. Es ist uebrigens [mm]\phi_1 \circ \phi_i = \phi_i = \phi_i \circ \phi_1[/mm]
> > > > > fuer alle [mm]i[/mm]. (Da [mm]\phi_1[/mm] "nichts veraendert", also die
> > > > > Identitaetsabbildung ist.)
> > > >
> > > > Hm... irgendwas schein ich dann wohl doch noch nicht so
> > > > richtig verstanden zu haben.
> > >
> > > Also [mm]\phi_1[/mm] bildet jedes Element [mm]x[/mm] aus [mm]\IQ(\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})[/mm]
> > > auf sich selber ab. Es ist damit die Identitaetsabbildung.
> > > Und deswegen aendert sich nichts, wenn du [mm]\phi_i[/mm] mit [mm]\phi_1[/mm]
> > > verkettest.
> >
> > Was kommt den raus wenn ich die Identität [mm]\phi_1[/mm] und
> > [mm]\phi_3[/mm] zb hintereinander ausführe?Wie gesagt, bei mir kam
> > da dann [mm]\phi_3[/mm] raus.
>
> Da kommt auch [mm]\phi_3[/mm] raus. Und bei [mm]\phi_1 \circ \phi_2[/mm] und
> [mm]\phi_2 \circ \phi_1[/mm] kommt [mm]\phi_2[/mm] raus.
>
> LG Felix
>
Okay. also wird für [mm] \phi_1 \circ \phi_4 [/mm] dann [mm] \phi_4 [/mm] rauskommen?
Ich gehe dann alle möglichen Reihenfolgen durch und gucke ob aus der hintereinanderausführung der 2 automorphismen wieder ein automorphismus rauskommt.
WEnn ich das für alle gezeigt habe, muss ich was tun, bzw. was bringt mir das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay. also wird für [mm]\phi_1 \circ \phi_4[/mm] dann [mm]\phi_4[/mm]
> rauskommen?
Genau :)
> Ich gehe dann alle möglichen Reihenfolgen durch und gucke
> ob aus der hintereinanderausführung der 2 automorphismen
> wieder ein automorphismus rauskommt.
Es wird einer rauskommen Und wenn du dich nicht verrechnet hast, auch einer der in der Tabelle steht.
> WEnn ich das für alle gezeigt habe, muss ich was tun, bzw.
> was bringt mir das?
Damit bekommst du die Verknuepfungstafel fuer die Galoisgruppe. Das hilft dir zu bestimmen, um welche Gruppe es sich handelt. (Es gibt bis auf Isomorphie zwei Gruppen mit 6 Elementen: eine zyklische und [mm] $S_3$. [/mm] Aber dazu mehr, stell erstmal die Tafel auf :) )
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Vielleicht noch eine alternative Idee, die Nullstellen von [mm]x^3-2[/mm] auszurechnen:
Glücklicherweise kennst du ja eine Nullstelle, nämlich [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] schon, und damit kannst du den Faktor [mm](x-\sqrt[3]{2})[/mm] abspalten. Dann erhälst du (Polynomdivision) [mm]x^2+\sqrt[3]{2}\ x+(\sqrt[3]{2})^2[/mm], und daraus kannst du mit Hilfe der abc- oder pq-Formel die anderen beiden Nullstellen berechnen.
Und übrigens: Die Nullstellen, die du weiter oben mit Hilfe von Moivre ausgerechnet hast, waren ansich schon richtig. Nur wollte Felix dich darauf hinweisen, dass es unpraktisch und auch ungenau ist, die Werte als gerundete Dezimalzahlen anzugeben, und hat dich deshalb korrigiert!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Sa 18.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Vielleicht noch eine alternative Idee, die Nullstellen von
> [mm]x^3-2[/mm] auszurechnen:
>
> Glücklicherweise kennst du ja eine Nullstelle, nämlich
> [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] schon, und damit kannst du den Faktor
> [mm](x-\sqrt[3]{2})[/mm] abspalten. Dann erhälst du
> (Polynomdivision) [mm]x^2+\sqrt[3]{2}\ x+(\sqrt[3]{2})^2[/mm], und
> daraus kannst du mithilfe der acb- oder pq-Formel die
> anderen beiden Nullstellen berechnen.
>
> Und übrigens: Die Nullstellen, die du weiter oben mit
> Hilfe von Moivre ausgerechnet hast, waren ansich schon
> richtig. Nur wollte Felix dich darauf hinweisen, dass es
> unpraktisch und auch ungenau ist, die Werte als gerundete
> Dezimalzahlen anzugeben, und hat dich deshalb korrigiert!
>
Vielen dank für den Tipp. Konnte ich auch nachvollziehen und habe dadurch auch die zwei weiteren Nullstellen berechnen können.
Kann ich die NS anstatt [mm] \bruch{1}{2}(1+i\wurzel{3})*\wurzel[3]{2} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})*\wurzel[3]{2} [/mm] auch so schreiben
[mm] \bruch{\wurzel[3]{2}}{2}-\bruch{i\wurzel{3}}{2} [/mm] bzw [mm] \bruch{\wurzel[3]{2}}{2}+\bruch{i\wurzel{3}}{2} [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Eliza |
> Kann ich die NS anstatt
> [mm]\bruch{1}{2}(1+i\wurzel{3})*\wurzel[3]{2}[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})*\wurzel[3]{2}[/mm] auch so
> schreiben
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}-\bruch{i\wurzel{3}}{2}[/mm] bzw
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}+\bruch{i\wurzel{3}}{2}[/mm]
fast: [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}+\bruch{i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}[/mm] und [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}-\bruch{i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}[/mm] (dir ist jeweils beim zweiten Bruch das [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] abhanden gekommen!)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 18.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> > Kann ich die NS anstatt
> > [mm]\bruch{1}{2}(1+i\wurzel{3})*\wurzel[3]{2}[/mm] bzw.
> > [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})*\wurzel[3]{2}[/mm] auch so
> > schreiben
> > [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}-\bruch{i\wurzel{3}}{2}[/mm] bzw
> > [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}+\bruch{i\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> fast:
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}+\bruch{i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}-\bruch{i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}[/mm]
> (dir ist jeweils beim zweiten Bruch das [mm]\wurzel[3]{2}[/mm]
> abhanden gekommen!)
>
Ich hab mich das erste mal verrechnet mit der PQ formel. Zurzeit hänge ich an dieser stelle fest
[mm] x_{2,3}= -\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}\pm \wurzel{(\bruch{\wurzel[3]{2}}{2})^2-(\wurzel[3]{2})^2} [/mm]
fest.
Wenn ich versuche die Wurzel weiter aufzulösen, kommt folgendes raus.
[mm] x_{2,3}= -\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}\pm \wurzel{-1,190550789}
[/mm]
Ich weiß nicht wie ich das anders darstellen kann und zu den NS komme.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo konse!
> Ich habe also dann als weitere NS
> [mm]x_{2,3}=-\bruch{\wurzel[3]{2}}{2}\pm \bruch{i\wurzel[3]{2}*\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Also wenn das richtig sein sollte, dann frag ich mich ob es
> genau dem selben entspricht wie: [mm]\frac{1}{2} (1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> bzw [mm]\frac{1}{2} (1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
Also ich kann zwar im Moment nicht mehr genau nachvollziehen, bei wem sich der Fehler eingeschlichen hat (ich fürchte bei mir), aber uns ist ein Minus abhanden gekommen: Die richtigen Nullstellen sind [mm]\frac{1}{2} (-1+i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm] und [mm]\frac{1}{2} (-1-i\sqrt{3}) \cdot \sqrt[3]{2}[/mm], nebst [mm]\sqrt[3]{2}[/mm]. Das sind tatsächlich die selben, die du mit der p-q-Formel berechnet hast, was du sehen wirst, wenn du die Klammer ausmultiplizierst!
Grüße Eliza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Do 02.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo konse77!
Vielleicht kann ich auch noch ein bisschen zum Verständnis beitragen:
Also erstmal ganz grundlegend: Als Körpererweiterung wird ein Paar von Körpern bezeichnet, wobei einer der beiden Teilmenge des anderen ist. Du hast also zwei Mengen K und L, die beide Körper sind, und [mm]K\subset L[/mm]. Beispiele sind (wie du schon gesagt hast) [mm]\IR\subset \IC[/mm] oder [mm]\IQ \subset \IR[/mm].
Jetzt zum Grad einer Körpererweiterung:
Es ist immer so, dass man den größeren Körper als Vektorraum über dem kleineren auffassen kann. Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition im Körper L und die skalare Multiplikation die Multiplikation in L, aber nur mit Elementen aus K: [mm]k\cdot l,\ k\in K,\ l\in L[/mm]. Der Grad der Körpererweiterung ist nun definiert als die Dimension dieses Vektorraums, das heißt, du brauchst eine Basis, und kannst daran die Dimension ablesen. Am Beispiel [mm]\IC/\IR[/mm] hat schachuzipus das schon gemacht.
Ich würde dir übrigens das "Repetitorium der Algebra" von Michael Holz empfehlen, da wird mit vielen Beispielen und Aufgaben die Galoistheorie aufgedröselt.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Viele Grüße
Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 23.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Ich habe jetzt Mittlerweile schon einen Teil der Tabelle ausgefüllt.
$ [mm] \begin{array}{ccccccc} \text{nach von} & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \hline \phi_1 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_2 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_3 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_4 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_5 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_6 & \phi_6 & \phi_5 \\ \end{array} [/mm] $
Oben steht jetzt halt die erste ausfürhung, und links die zweite ausführung.
Den Rest der Tabelle kann ich irgendwie nicht ausfüllen. Nehmen wir das beispiel [mm] \phi_3 \circ \phi_4 [/mm]
[mm] \phi_3 \circ \phi_4 \wurzel[3]{2} [/mm] = [mm] \phi_3 (\phi_4 \wurzel[3]{2}) [/mm] = [mm] \phi_3 (\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}\wurzel[3]{2})
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] \phi_3 [/mm] ausführe kommt ja das bei raus:
[mm] \bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}
[/mm]
Ich hoffe das ich das so mit der Klammersetzung richtig geschrieben habe. Wenn ich mir das so anschaue, ich habe das auch mit meinem TR nachgerechnet, kommt kein weiterer Automorphismus bei raus. Obwohl es das ja tun sollte. Ich habe wahrscheinlich nur wieder irgendwas vergessen oder falsch gemacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 23.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe jetzt Mittlerweile schon einen Teil der Tabelle
> ausgefüllt.
> [mm]\begin{array}{ccccccc} \text{nach von} & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \hline \phi_1 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_2 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_3 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_4 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_5 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_6 & \phi_6 & \phi_5 \\ \end{array}[/mm]
>
> Oben steht jetzt halt die erste ausfürhung, und links die
> zweite ausführung.
> Den Rest der Tabelle kann ich irgendwie nicht ausfüllen.
> Nehmen wir das beispiel [mm]\phi_3 \circ \phi_4[/mm]
> [mm]\phi_3 \circ \phi_4 \wurzel[3]{2}[/mm] = [mm]\phi_3 (\phi_4 \wurzel[3]{2})[/mm]
> = [mm]\phi_3 (\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}\wurzel[3]{2})[/mm]
> Wenn
> ich jetzt [mm]\phi_3[/mm] ausführe kommt ja das bei raus:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}[/mm]
Nein, es kommt [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}[/mm] heraus.
Allgemein gilt: [mm] $\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4} [/mm] (1 - i [mm] \sqrt{3} [/mm] - i [mm] \sqrt{3} [/mm] + 3 [mm] i^2) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4} [/mm] (1 - 2 i [mm] \sqrt{3} [/mm] - 3) = [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] (-1 - i [mm] \sqrt{3})$, $\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4} [/mm] (1 - i [mm] \sqrt{3} [/mm] + i [mm] \sqrt{3} [/mm] - 3 [mm] i^2) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4} [/mm] (1 + 3) = 1$ und [mm] $\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4} [/mm] (1 + i [mm] \sqrt{3} [/mm] + i [mm] \sqrt{3} [/mm] + 3 [mm] i^2) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{4} [/mm] (1 + 2 i [mm] \sqrt{3} [/mm] - 3) = [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3})$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 23.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Moin!
>
> > Ich habe jetzt Mittlerweile schon einen Teil der Tabelle
> > ausgefüllt.
> > [mm]\begin{array}{ccccccc} \text{nach von} & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \hline \phi_1 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_2 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_3 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_4 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_5 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_6 & \phi_6 & \phi_5 \\ \end{array}[/mm]
>
> >
> > Oben steht jetzt halt die erste ausfürhung, und links die
> > zweite ausführung.
Und die Tabelle bis dahin wo ich sie habe ist soweit inordung? Ich werde dann jetzt die nächsten Minuten damit verbringen, den Rest auszurechnen
> > Den Rest der Tabelle kann ich irgendwie nicht
> ausfüllen.
> > Nehmen wir das beispiel [mm]\phi_3 \circ \phi_4[/mm]
> > [mm]\phi_3 \circ \phi_4 \wurzel[3]{2}[/mm] = [mm]\phi_3 (\phi_4 \wurzel[3]{2})[/mm]
> > = [mm]\phi_3 (\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}\wurzel[3]{2})[/mm]
> >
> Wenn
> > ich jetzt [mm]\phi_3[/mm] ausführe kommt ja das bei raus:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> Nein, es kommt
> [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\wurzel[3]{2}[/mm]
> heraus.
>
> Allgemein gilt:
> [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 - 2 i \sqrt{3} - 3) = \tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3})[/mm],
> [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 - i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 + 3) = 1[/mm]
> und
> [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 + 2 i \sqrt{3} - 3) = \tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3})[/mm].
>
> LG Felix
>
Dann sind die Ergebnise doch aber keine Automorphismen. Denn 1, sowie die 2 anderen ergebnisse, sind doch nicht in der Liste der Automorphismen eingetragen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eliza |
> > Allgemein gilt:
> > [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 - 2 i \sqrt{3} - 3) = \tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3})[/mm],
> > [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 - i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 + 3) = 1[/mm]
> > und
> > [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 + 2 i \sqrt{3} - 3) = \tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3})[/mm].
>
> >
> > LG Felix
> >
> Dann sind die Ergebnise doch aber keine Automorphismen.
> Denn 1, sowie die 2 anderen ergebnisse, sind doch nicht in
> der Liste der Automorphismen eingetragen.
Doch sind sie! Felix hat bei seiner Rechnung ja das [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] am Ende weggelassen
Grüße Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 23.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> > > Allgemein gilt:
> > > [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 - 2 i \sqrt{3} - 3) = \tfrac{1}{2} (-1 - i \sqrt{3})[/mm],
> > > [mm]\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 - i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 + 3) = 1[/mm]
> > > und
> > > [mm]\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3})\bruch{1}{2}(-1-i\wurzel{3}) = \tfrac{1}{4} (1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + 3 i^2) = \tfrac{1}{4} (1 + 2 i \sqrt{3} - 3) = \tfrac{1}{2} (-1 + i \sqrt{3})[/mm].
>
> >
> > >
> > > LG Felix
> > >
> > Dann sind die Ergebnise doch aber keine Automorphismen.
> > Denn 1, sowie die 2 anderen ergebnisse, sind doch nicht in
> > der Liste der Automorphismen eingetragen.
>
> Doch sind sie! Felix hat bei seiner Rechnung ja das
> [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] am Ende weggelassen
>
> Grüße Eliza
>
Stimmt ja... hab ich glatt übersehen. Gut nun werde ich die restliche Tabelle ausfüllen und evtl heute abend oder morgen nachmittag posten. Wenn wir die Verknüpfungstabelle haben, sind wir dann praktisch schon so gut wie fertig mit der bestimmung der Galoisgruppe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 23.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Doch sind sie! Felix hat bei seiner Rechnung ja das
> > [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] am Ende weggelassen
Genau :)
Das ist alles uebrigens etwas einfacher, wenn man mit Einheitswurzeln arbeitet: ist [mm] $\zeta [/mm] := [mm] \frac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3})$, [/mm] so ist [mm] $\zeta^2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] (-1 + i [mm] \sqrt{3})$ [/mm] und [mm] $\zeta^3 [/mm] = 1$. Wenn man also $1, [mm] \zeta, \zeta^2$ [/mm] schreibt anstelle den Ausdruecken mit $i [mm] \sqrt{3}$, [/mm] sieht man alles etwas schneller
> Wenn wir die Verknüpfungstabelle
> haben, sind wir dann praktisch schon so gut wie fertig mit
> der bestimmung der Galoisgruppe?
Ja, das einzige was man noch machen kann ist den Isomorphietyp anzugeben. Hier siehst du, dass es "bis auf Isomorphie" zwei Gruppen der Ordnung 6 gibt. Zwei Gruppen sind isomorph, wenn sie grob gesagt die gleiche Struktur haben (nur die Elemente heissen halt anders). Wenn deine Galoisgruppe nicht kommutativ ist (das kannst du an der Verknuepfungstabelle recht einfach ablesen), dann muss die Gruppe isomorph zur symmetrischen Gruppe [mm] $S_3$ [/mm] sein, andernfalls zur zyklischen Gruppe [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] (manche schreiben auch [mm] $\IZ_6$).
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 23.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Habe die Tabelle mittlerweile fertig gestellt.
$ [mm] \begin{array}{ccccccc} \text{nach von} & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \hline \phi_1 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_2 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_3 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 & \phi_1 & \phi_2 \\ \phi_4 & \phi_4 & \phi_3 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5\\ \phi_5 & \phi_5 & \phi_6 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_6 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 & \phi_2 & \phi_1\\ \end{array} [/mm] $
Man erkennt also das es nicht kommutativ ist. Also ist die Gruppe wie du sagtest isomorph zur Symmertischen Gruppe S3.
Ich frage mich jetzt nur, wieso man so einen Aufwand macht um herauszubekommen, dass die Galoisgruppe isomorph zur Symmetrischen Gruppe s3 ist. Also für mich steckt da wenig Sinn dahinter.
Was genau ist jetzt eigentlich meine Galoisgruppe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 23.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Habe die Tabelle mittlerweile fertig gestellt.
>
> [mm]\begin{array}{ccccccc} \text{nach von} & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \hline \phi_1 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 \\ \phi_2 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 \\ \phi_3 & \phi_3 & \phi_4 & \phi_5 & \phi_6 & \phi_1 & \phi_2 \\ \phi_4 & \phi_4 & \phi_3 & \phi_2 & \phi_1 & \phi_6 & \phi_5\\ \phi_5 & \phi_5 & \phi_6 & \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \phi_4 \\ \phi_6 & \phi_6 & \phi_5 & \phi_4 & \phi_3 & \phi_2 & \phi_1\\ \end{array}[/mm]
Sieht gut aus. (Hab's nicht im Detail nachgeprueft, nur stichprobenartig.)
> Man erkennt also das es nicht kommutativ ist. Also ist die
> Gruppe wie du sagtest isomorph zur Symmertischen Gruppe S3.
Genau. Es gibt auch (wie zu erwarten war) drei Elemente der Ordnung 2 (die Transpositionen) und zwei der Ordnung 3 (die 3er-Zyklen).
> Ich frage mich jetzt nur, wieso man so einen Aufwand macht
> um herauszubekommen, dass die Galoisgruppe isomorph zur
> Symmetrischen Gruppe s3 ist. Also für mich steckt da wenig
> Sinn dahinter.
Nun, so fuer sich bringt einem das auch nicht so viel :) Wie bei vielen Berechnungen in der Mathematik ist es meist fuer weitere Anwendungen/Berechnungen interessant.
Das war jetzt sozusagen ein ausgearbeitetes Beispiel, wie man eine Galoisgruppe bestimmt. Was man damit macht, ist der naechste Schritt.
> Was genau ist jetzt eigentlich meine Galoisgruppe?
Das ist die Menge [mm] $\{ \phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4, \phi_5, \phi_6 \}$ [/mm] zusammen mit der Verknuepfung(-stafel zu) [mm] $\circ$.
[/mm]
Manche sagen auch, dass die Galoisgruppe hier [mm] $S_3$ [/mm] ist, weil sie dazu isomorph ist. (Unter [mm] $S_3$ [/mm] kann sich jeder (der [mm] $S_3$ [/mm] kennt) sofort etwas darunter vorstellen, und fuer viele Dinge reicht das Wissen, dass sie isomorph zu [mm] $S_3$ [/mm] ist, auch voellig aus, man muss nicht genau wissen wie die Elemente aussehen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:02 Fr 24.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Die Galoistheorie hat ja was mit den permutationen der NS zu tun. Das kann man ja, so wie wir eben getan haben, dann zu einer Gruppe zusammenfassen. Und diese Gruppe sagt uns jetzt, ob die Polynomgleichung lösbar ist oder nicht?
Erkennt man aber nicht beim berechnen der Galoisgruppe, dass die Gleichung lösbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Fr 24.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Galoistheorie hat ja was mit den permutationen der NS
> zu tun.
Genau.
> Das kann man ja, so wie wir eben getan haben, dann
> zu einer Gruppe zusammenfassen. Und diese Gruppe sagt uns
> jetzt, ob die Polynomgleichung lösbar ist oder nicht?
Ja. Genauer: Die Gleichung ist genau dann durch Radikale aufloesbar, wenn die Galoisgruppe aufloesbar ist.
Aber erstmal: was ist hier die Gleichung? Die Gleichung ist [mm] $x^3 [/mm] - 2$, da [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, [/mm] i [mm] \sqrt{3})$ [/mm] der zugehoerige Zerfaellungskoerper ist. (Man kann alternativ auch andere Gleichungen nehmen, aber diese hier tut es auch.)
Dass die Gleichung durch Radikale aufloesbar ist, sieht man daran, dass man alle Nullstellen durch Ausdruecke in [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] mit rationalen Koeffizienten beschreiben kann.
> Erkennt man aber nicht beim berechnen der Galoisgruppe,
> dass die Gleichung lösbar ist?
Wie auch immer man "erkennen" genau meint Normalerweise bestimmt man den Isomorphietyp der Galoisgruppe und guckt dann in einer Tabelle nach (bzw. laesst das den Computer machen), ob dieser aufloesbar ist oder nicht. Im Fall von [mm] $S_3$ [/mm] ist die Gruppe aufloesbar.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Fr 24.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Ist es nun richtig wenn ich schreibe,dass die Galoisgruppe von
[mm] \IQ (\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/ \IQ [/mm] = id [mm] \phi_2 \phi_3 \phi_4 \phi_5 \phi_6 [/mm]
ist ? Oder ist die symmterische Gruppe S3 die Galoisgruppe? Wenn ja, wie kann ich das Formelmäßig aufschreieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:22 Sa 25.09.2010 | | Autor: | felixf |
<oim!
> Ist es nun richtig wenn ich schreibe,dass die Galoisgruppe
> von
> [mm]\IQ (\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/ \IQ[/mm] = id [mm]\phi_2 \phi_3 \phi_4 \phi_5 \phi_6[/mm]
Schreib lieber:
"Die Galoisgruppe von [mm] $\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})/\IQ$ [/mm] ist [mm] $\{ id, \phi_2, \phi_3, \phi_4, \phi_5, \phi_6 \}$."
[/mm]
> ist ? Oder ist die symmterische Gruppe S3 die Galoisgruppe?
> Wenn ja, wie kann ich das Formelmäßig aufschreieben?
Sie ist zu [mm] $S_3$ [/mm] isomorph. Das kannst du so schreiben:
"Die Galoisgruppe von [mm] $\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})/\IQ$ [/mm] ist [mm] $\{ id, \phi_2, \phi_3, \phi_4, \phi_5, \phi_6 \}$ [/mm] und ist isomorph zu [mm] $S_3$."
[/mm]
oder:
"Die Galoisgruppe von [mm] $\IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})/\IQ$ [/mm] ist [mm] $\{ id, \phi_2, \phi_3, \phi_4, \phi_5, \phi_6 \} \cong S_3$."
[/mm]
(Das Symbol [mm] "$\cong$" [/mm] bedeutet hier "ist isomorph zu".)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Sa 25.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Ich stelle jetzt noch die ein oder andere Frage, und hoffe dass ich danach keine weiteren Fragen mehr habe.
Wozu guckt man sich jetzt nochmal genau die NS der MP in den komplexen Zahlen an? Reicht es nicht aus, einfach nur die NS von [mm] \IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ [/mm] anzugucken?
Kann ich die Automorphismen einer Körpererweiterung wie folgt beschreiben:
Ein Automorphismus einer Körpererweiterung bildet jede NS auf eine andere NS ab. Hat man wie bei unserem Beispiel zwei adjungiert komplexe bzw. reelle Elemente, so bildet ein automorphismus eine NS eines komplexen Elements auf eine weitere NS des komplexen Elements ab, während die NS der reellen Elemente nur auf sich selbst abgebildet werden? Ein weiterer Automorphisums würde dann die reelle NS auf eine weiter reelle Ns abbilden, während die Abbildung bei der NS einer komplexen Zahl auf sich selbst fällt.
Wenn wir dann somit die Automorphismentabelle aufgestellt haben, sehen wir ja, dass es 6 automorphismen gibt. Es ist, weil auch der Grad 6 ist, eine Galoische Körpererweiterung. Nennt man diese Tabelle eigentlich auch schon die Permutation der NS?
Wenn man nun die Tabelle hat, kann man gucken, zu welcher Gruppe die Automorphismen isomorph sind. Dazu führt man zwei automorphismen hintereinander aus, dabei kommt wieder ein Automorphismus raus.
Wenn wir nun auch die Verknüpfungstabelle verfollständigt haben, sehen wir das es isomorph zur Gruppe S3 ist. Ich habe jetzt immer noch nicht ganz verstanden was uns das bringt, also das wir wissen das es isomorph zu S3 ist.
Und rechnet man die Galoisgruppe nur aus, um zu wissen, dass sie Isomorph zu S3 ist und um zu wissen, welche Automorphismen die Galoisgruppe bilden? Weil eigentlich muss uns das ja irgendetwas bringen. Kann mir nicht vorstellen, dass man sowas nur "just for fun" macht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo Konse!
Also ich versuch mal einen Teil deiner Frage zu beantworten:
> Wozu guckt man sich jetzt nochmal genau die NS der MP in
> den komplexen Zahlen an? Reicht es nicht aus, einfach nur
> die NS von [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] anzugucken?
Nein das reicht nicht. Erstmal ein bisschen Theorie: Es gibt den sogenannten "Hauptsatz der Algebra", der besagt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in [mm]\IC[/mm] (und damit auch mit Koeffizeinten in [mm]\IR,\IQ[/mm], weil das Teilmengen von [mm]\IC[/mm] sind) eine Nullstelle in [mm]\IC[/mm] hat. Das ist gleichbedeutend damit, dass du jedes Polynom in Linearfaktoren zerlegen kannst, weil du immer eine Nullstelle findest, die du abspalten kannst. Diese Eigenschaft eines Körpers nennt man "algebraisch abgeschlossen". [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IR[/mm] haben die Eigenschaft nicht, denn zum Beispiel das Polynom [mm]x^2+1[/mm] hat zwar Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm] bzw. [mm]\IR[/mm], aber keine Nullstellen. Wenn man ein Polynom [mm]p(x)[/mm] untersucht, möchte man aber gern alle Nullstellen finden (oder alle Lösungen der Gleichung [mm]p(x)=0[/mm]), das heißt, man möchte das Polynom in Linearfaktoren zerlegen. Deswegen betrachtet man das Polynom über einem größeren Körper, der alle Nullstellen enthält.
> Kann ich die Automorphismen einer Körpererweiterung wie
> folgt beschreiben:
> Ein Automorphismus einer Körpererweiterung bildet jede NS
> auf eine andere NS ab. Hat man wie bei unserem Beispiel
> zwei adjungiert komplexe bzw. reelle Elemente, so bildet
> ein automorphismus eine NS eines komplexen Elements auf
> eine weitere NS des komplexen Elements ab, während die NS
> der reellen Elemente nur auf sich selbst abgebildet werden?
> Ein weiterer Automorphisums würde dann die reelle NS auf
> eine weiter reelle Ns abbilden, während die Abbildung bei
> der NS einer komplexen Zahl auf sich selbst fällt.
Hier verstehe ich ehrlich gesagt nicht ganz was du meinst, aber ich versuch mal, das etwas anders zu formulieren:
Die Automorphismen, die du suchst, "permutieren" die Nullstellen von [mm]p_1(x)=x^3-2[/mm] und [mm]p_2(x)=x^2+3[/mm]. Permutieren beudeutet so viel wie "die Reihenfolge ändern". Bei [mm]p_2[/mm] gibt es nur zwei Möglichkeiten, weil es nur zwei Nullstellen gibt, ich nenn sie mal der Einfachheit halber [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]: Es gibt nur die Möglichkeiten [mm]x_1\mapsto x_1,\ x_2\mapsto x_2[/mm] oder [mm]x_1\mapsto x_2,\ x_2\mapsto x_1[/mm]. Bei [mm]p_2[/mm] gibt es mehr Möglichkeiten (die ich jetzt mal nicht alle aufschreibe...). Jedenfalls werden die Nullstellen von [mm] $p_1$ [/mm] auf Nullstellen von [mm] $p_1$ [/mm] abgebildet, und die NS von [mm] $p_2$ [/mm] auf NS von [mm] $p_2$.
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir schonmal weiter, ich lasse deine Frage auf "teilweise beantwortet", damit deine restlichen Fragen hoffentlich auch noch eine Antwort finden!
Grüße Eliza
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:34 Sa 25.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Hallo Konse!
>
> Also ich versuch mal einen Teil deiner Frage zu
> beantworten:
>
> > Kann ich die Automorphismen einer Körpererweiterung wie
> > folgt beschreiben:
> > Ein Automorphismus einer Körpererweiterung bildet jede NS
> > auf eine andere NS ab. Hat man wie bei unserem Beispiel
> > zwei adjungiert komplexe bzw. reelle Elemente, so bildet
> > ein automorphismus eine NS eines komplexen Elements auf
> > eine weitere NS des komplexen Elements ab, während die NS
> > der reellen Elemente nur auf sich selbst abgebildet werden?
> > Ein weiterer Automorphisums würde dann die reelle NS auf
> > eine weiter reelle Ns abbilden, während die Abbildung bei
> > der NS einer komplexen Zahl auf sich selbst fällt.
>
> Hier verstehe ich ehrlich gesagt nicht ganz was du meinst,
> aber ich versuch mal, das etwas anders zu formulieren:
>
> Die Automorphismen, die du suchst, "permutieren" die
> Nullstellen von [mm]p_1(x)=x^3-2[/mm] und [mm]p_2(x)=x^2+3[/mm]. Permutieren
> beudeutet so viel wie "die Reihenfolge ändern". Bei [mm]p_2[/mm]
> gibt es nur zwei Möglichkeiten, weil es nur zwei
> Nullstellen gibt, ich nenn sie mal der Einfachheit halber
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]: Es gibt nur die Möglichkeiten [mm]x_1\mapsto x_1,\ x_2\mapsto x_2[/mm]
> oder [mm]x_1\mapsto x_2,\ x_2\mapsto x_1[/mm]. Bei [mm]p_2[/mm] gibt es mehr
> Möglichkeiten (die ich jetzt mal nicht alle
> aufschreibe...). Jedenfalls werden die Nullstellen von [mm]p_1[/mm]
> auf Nullstellen von [mm]p_1[/mm] abgebildet, und die NS von [mm]p_2[/mm] auf
> NS von [mm]p_2[/mm].
>
> Ich hoffe, das hilft dir schonmal weiter, ich lasse deine
> Frage auf "teilweise beantwortet", damit deine restlichen
> Fragen hoffentlich auch noch eine Antwort finden!
>
> Grüße Eliza
>
In einem vorherigen Post meinte ein User:
>Was ist also ein Automorphismus einer Körpererweiterung
> sagen wir [mm]L/K[/mm]? Es ist zunächst mal eine bijektive
> Abbildung [mm]f:L\rightarrow L[/mm], die die Verknüpfungen [mm]+[/mm] und
> [mm]\cdot[/mm] respektiert, d.h. [mm]f(a+b)=f(a)+f(b)[/mm] und [mm]f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)[/mm].
> (was wir bisher haben ist ein Automorphismus von [mm]L[/mm].) Damit
> es ein Automorphimus der Erweiterung wird müssen
> zusätzlich alle Elemente von [mm]K[/mm] auf sich selbst abgebildet
> werden ("f macht auf K nichts").
Ich habe vorhin probiert die definition vom User halt in meinen worten zusammenzufassen.Aber nach deinem Beitrag ist ein Automorphismus einer Körpererweiterung ja eigentlich nur eine Funktion, die die NS von [mm] p_1 [/mm] bzw. [mm] p_2 [/mm] jeweils entweder auf die gleiche, oder eine weitere NS permutiert/vertauscht. Der Automorphismus, welcher die NS auf sich selbst abbildet, ist ja dann die Identität.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 27.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo konse77,
die Begriffe gehen hier noch ein bisschen durcheinander... aber nur ein bisschen.
Eine Körpererweiterung hat keine Nullstellen, es handelt sich ja nur um ein Paar von Körpern, wobei der eine im anderen in einem gewissen Sinne enthalten ist.
Aufgrund des "Satzes vom primitiven Element" gibt es ein [mm]\alpha\in\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})[/mm], so dass [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})=\IQ(\alpha)[/mm]. Dieses [mm]\alpha[/mm] ist nicht eindeutig festgelegt.
Allerdings hat dieses [mm]\alpha[/mm] ein Minimalpolynom [mm]\mu_\alpha[/mm] und die Galois-Automorphismen der Körpererweiterung [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] permutieren die Nullstellen des Polynoms [mm]\mu_\alpha[/mm].
Jetzt die Antworten:
Reelle Nullstellen eines solchen Minimalpolynoms können auf komplexe abgebildet werden und umgekehrt. In deinem Beispiel gäbe es ja sonst nur die Identität und die komplexe Konjugation als Galois-Automorphismen, aber der Grad der Erweiterung (und damit auch die Anzahl der Automorphismen) ist ja sechs. Ein Minimalpolynom ist außerdem irreduzibel, so dass die dazugehörige Galois-Gruppe transitiv auf seinen Nullstellen operiert, d.h. jede Nullstelle wird auf jede Nullstelle abgebildet, nicht nur die komplexen unter sich und die reellen unter sich.
Die Tabelle nennt man Tabelle und die Automorphismen nennt man Automorphismen. Soviel Pingeligkeit zu den Begriffen. Galois-Automorphismen können als Permutationen von Nullstellen (eines bestimmten Polynoms) gesehen werden. Die Automorphismen sind Elemente der Galois-Gruppe. Die Verknüpfungstabelle dieser Gruppe, d.h. die Tabelle mit den Automorphismen, ist dann selbstverständlich 1-zu-1 in eine Tabelle mit Permutationen übertragbar. Die neue Tabelle ist dann wieder eine Verknüpfungstabelle, nur diesmal mit Elementen aus einer Permutationsgruppe.
Also für Otto Normalverbraucher spielt die Galois-Gruppe keine so große Rolle. Für manche Dinge, z.B. für die Frage, welche speziellen Polynome 5. oder höheren Grades man nur durch Wurzelziehen auflösen kann (das geht ja nicht für alle), ist die Struktur der Galois-Gruppe enorm wichtig.
Aus der Galois-Theorie kommen dann auch Analogien zum Satz von Vieta, d.h. Zusammenhänge zwischen den Nullstellen. Stell dir mal vor, du hättest ein irreduzibles Polynom Grades gegeben und die Rettung der Welt hinge davon ab, alle seine Nullstellen numerisch zu berechnen. Leider ist nun die numerische Bestimmung aller Nullstellen sehr anstrengend. Falls du aber weißt, dass die Galois-Gruppe dieses Polynoms zyklisch ist (das Polynom ist ja irreduzibel) und du ein erzeugendes Element dieser Gruppe kennst, dann brauchst du nur eine einzige Nullstelle zu bestimmen. Die anderen Nullstellen bekommst du dann durch iteriertes Anwenden des erzeugenden Galois-Automorphismus.
Naja, und Galois-Theorie ist nur der Anfang, denn man macht das ja mit Polynomen mit einer Variablen über Körpern, wo man so schön rechnen kann. Man könnte vielleicht auch mehrere Variable nehmen und nur einen Ring statt eines Körpers... Wie auch immer: im Alltagsleben kann man zur Not auch ohne Galois-Theorie auskommen. :-D
Liebe Grüße
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 27.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Mittlerweile habe ich fast alles verstanden. Auch die Fragen aus dem anderen Beitrag sind eigentlich schon beantwortet. Es bleiben nur noch zwei Fragen offen.
1. Könntet ihr mir nochmals sagen, was es mit dem Erweiterungsgrad einer Körpererweierung auf sich hat? Die Definition mit der Dimension eines Vektorraums ist mir nicht einleuchtend. Was heißt es denn z.b. , dass die Körpererweiterung [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] den Erweiterungsgrad 6 besitzt. Wie gesagt, ich konnte mir das nicht so ganz vorstellen.
2. Wir haben ja aufgeschrieben das unsere Galoisgruppe isomorph zu der Gruppe S3 ist. Was genau heißt isomorph. Auf wikipedia stand:
In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.
Heißt es, dass teile der Galoisgruppe umkehrbar eindeutig auf die Gruppe S3 abgebildet werden kann?
Und zu guter letzt, das berechnen der Galoisgruppe bringt mir also eigentlich nicht wirklich was. Wir haben es sozusagen nur berechnet, um zu zeigen, wie man eine Galoisgruppe bestimmt?
Ich bedanke mich für eure Hilfe, besonders bei Felixf und Eliza. Die Arbeit ist schon zuende geschrieben, jetzt bleiben wie gesagt nur noch diese Fragen offen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Di 28.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mittlerweile habe ich fast alles verstanden. Auch die
> Fragen aus dem anderen Beitrag sind eigentlich schon
> beantwortet. Es bleiben nur noch zwei Fragen offen.
> 1. Könntet ihr mir nochmals sagen, was es mit dem
> Erweiterungsgrad einer Körpererweierung auf sich hat? Die
> Definition mit der Dimension eines Vektorraums ist mir
> nicht einleuchtend. Was heißt es denn z.b. , dass die
> Körpererweiterung [mm]\IQ(\wurzel{-3},\wurzel[3]{2})/\IQ[/mm] den
> Erweiterungsgrad 6 besitzt. Wie gesagt, ich konnte mir das
> nicht so ganz vorstellen.
Die einfachste Idee, sich das vorzustellen: der Grad der Koerpererweiterung $K$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sagt dir, wieviele (Basis-)Elemente aus $K$ du brauchst, damit du jedes Element aus $K$ als Linearkombination (mit Koeffizienten aus [mm] $\IQ$) [/mm] dieser Elemente hinschreiben kannst.
Fuer $K = [mm] \IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})$ [/mm] kannst du etwa [mm] $b_1 [/mm] = 1$, [mm] $b_2 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{2}$, $b_3 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{2}^2$, $b_4 [/mm] = [mm] \sqrt{-3}$, $b_5 [/mm] = [mm] \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}$, $b_6 [/mm] = [mm] \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}$ [/mm] nehmen.
Dann kannst du jedes Element $x [mm] \in [/mm] K$ eindeutig schreiben als $x = [mm] a_1 b_1 [/mm] + [mm] a_2 b_2 [/mm] + [mm] a_3 b_3 [/mm] + [mm] a_4 b_4 [/mm] + [mm] a_5 b_5 [/mm] + [mm] a_6 b_6$ [/mm] mit [mm] $a_1, \dots, a_6 \in \IQ$.
[/mm]
> 2. Wir haben ja aufgeschrieben das unsere Galoisgruppe
> isomorph zu der Gruppe S3 ist. Was genau heißt isomorph.
> Auf wikipedia stand:
> In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung
> zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile
> einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer
> anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet
> werden.
> Heißt es, dass teile der Galoisgruppe umkehrbar eindeutig
> auf die Gruppe S3 abgebildet werden kann?
Also ganz intuitiv sagt es: zwei Gruppen sind isomorph, wenn du die Elemente in der einen Gruppe so umbenennen kannst, dass als Ergebnis die zweite Gruppe herauskommt.
Nehmen wir etwa die Gruppe $G = [mm] \{ a, b, c \}$ [/mm] und $H = [mm] \{ 1, 2, 3 \}$ [/mm] mit den Verknuepfungstafeln [mm] $\begin{array}{c|ccc} & a & b & c \\\hline a & a & b & c \\ b & b & c & a \\ c & c & a & b \end{array}$ [/mm] und [mm] $\begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\\hline 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{array}$.
[/mm]
Ein Isomorphismus ist durch [mm] $\phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H$, $a [mm] \mapsto [/mm] 2$, $b [mm] \mapsto [/mm] 1$, $c [mm] \mapsto [/mm] 3$ gegeben: nimmst du die Verknuepfungstabelle von $G$ und ersetzt die Elemente passend, so erhaelst du [mm] $\begin{array}{c|ccc} & 2 & 1 & 3 \\\hline 2 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \end{array}$. [/mm] Wenn du jetzt die zweite Zeile mit der dritten tauscht, und dann die zweite Spalte mit der dritten, steht da schliesslich wieder [mm] $\begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\\hline 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{array}$.
[/mm]
Man kann also so tun, als waeren die Gruppen "gleich", nur dass die Elemente anders heissen. (Es gibt aber oft mehr als nur einen Isomorphismus, deswegen kann man die Gruppen nicht wirklich als gleich behandeln.) Und fuer viele Fragestellungen, z.B. ob die Gruppe aufloesbar ist, ist es voellig egal ob man die Galoisgruppe oder eine dazu isomorphe Gruppe untersucht. Ist die eine aufloesbar, so auch die andere, und umgekehrt.
> Und zu guter letzt, das berechnen der Galoisgruppe bringt
> mir also eigentlich nicht wirklich was. Wir haben es
> sozusagen nur berechnet, um zu zeigen, wie man eine
> Galoisgruppe bestimmt?
Sozuagen ja :)
Bei dieser Koerpererweiterung bringt einem die Galoisgruppe nicht wirklich neue Informationen.
Allgemein kann man aber z.B. mit Hilfe der Galoisgruppe sagen, ob eine Gleichung mit Hilfe von Radikalen aufloesbar ist. (Hier wusste man das schon vorher, bevor man die Galoisgruppe kannte...)
> Ich bedanke mich für eure Hilfe, besonders bei Felixf und
> Eliza. Die Arbeit ist schon zuende geschrieben, jetzt
> bleiben wie gesagt nur noch diese Fragen offen.
Das freut mich zu hoeren :)
Ich hoffe, das ganze hat dich nicht zu sehr von Uni-Mathematik/Algebra abgeschreckt Es ist am Anfang meistens so, dass man sich total erschlagen fuehlt, aber irgendwann wird es immer verstaendlicher, man erkennt Zusammenhaenge, und irgendwann faengt man sich an zu fragen warum man frueher damit Probleme hatte, weil es einem so einfach vorkommt wie ein- und ausatmen
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 28.09.2010 | | Autor: | konse77 |
> Die einfachste Idee, sich das vorzustellen: der Grad der
> Koerpererweiterung [mm]K[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] sagt dir, wieviele
> (Basis-)Elemente aus [mm]K[/mm] du brauchst, damit du jedes Element
> aus [mm]K[/mm] als Linearkombination (mit Koeffizienten aus [mm]\IQ[/mm])
> dieser Elemente hinschreiben kannst.
>
> Fuer [mm]K = \IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})[/mm] kannst du etwa [mm]b_1 = 1[/mm],
> [mm]b_2 = \sqrt[3]{2}[/mm], [mm]b_3 = \sqrt[3]{2}^2[/mm], [mm]b_4 = \sqrt{-3}[/mm],
> [mm]b_5 = \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}[/mm], [mm]b_6 = \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> nehmen.
>
> Dann kannst du jedes Element [mm]x \in K[/mm] eindeutig schreiben
> als [mm]x = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4 + a_5 b_5 + a_6 b_6[/mm]
> mit [mm]a_1, \dots, a_6 \in \IQ[/mm].
Wow. Hab es nun verstanden. Auch wenn das jetzt nicht mehr so wild ist, würde ich doch gerne aus Interesse wissen, wie du die verschiedenen b´s ausgerechnet hast. Weil das sind ja nicht die Nullstellen der MP von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] und [mm] \wurzel{-3} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Di 28.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die einfachste Idee, sich das vorzustellen: der Grad der
> > Koerpererweiterung [mm]K[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] sagt dir, wieviele
> > (Basis-)Elemente aus [mm]K[/mm] du brauchst, damit du jedes Element
> > aus [mm]K[/mm] als Linearkombination (mit Koeffizienten aus [mm]\IQ[/mm])
> > dieser Elemente hinschreiben kannst.
> >
> > Fuer [mm]K = \IQ(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})[/mm] kannst du etwa [mm]b_1 = 1[/mm],
> > [mm]b_2 = \sqrt[3]{2}[/mm], [mm]b_3 = \sqrt[3]{2}^2[/mm], [mm]b_4 = \sqrt{-3}[/mm],
> > [mm]b_5 = \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}[/mm], [mm]b_6 = \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}[/mm]
> > nehmen.
> >
> > Dann kannst du jedes Element [mm]x \in K[/mm] eindeutig schreiben
> > als [mm]x = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4 + a_5 b_5 + a_6 b_6[/mm]
> > mit [mm]a_1, \dots, a_6 \in \IQ[/mm].
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> Wow. Hab es nun verstanden. Auch wenn das jetzt nicht mehr
> so wild ist, würde ich doch gerne aus Interesse wissen,
> wie du die verschiedenen b´s ausgerechnet hast. Weil das
> sind ja nicht die Nullstellen der MP von [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] und
> [mm]\wurzel{-3}[/mm] ?
Nun, du faengst mit einem Element an, sagen wir [mm] $\sqrt[3]{2}$. [/mm] Das Minimalpolynom hat Grad 3, woraus folgt, dass eine Basis von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] durch $1, [mm] \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2$ [/mm] gegeben ist. (Das muss man erst beweisen, das bekommt man aus der Darstellung [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}) \cong \IQ[X]/(Minimalpolynom)$.) [/mm] Dann schaust du dir die Erweiterung [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3}) [/mm] / [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] an. Das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt{-3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] hat Grad 2 (wie wir ganz am Anfang mal argumentiert hatten), weswegen $1, [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3})$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] ist.
Jetzt kommt der Beweis vom Gradmultiplikationssatz (den PeterB hier erwaehnt hatte: $grad(M/K) = grad(M/L) [mm] \cdot [/mm] grad(L/K)$):
Im Beweis zeigt man im wesentlichen folgende Aussage: Wenn du eine Koerpererweiterung $M/L$ mit Basis [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] und eine Erweiterung $L/K$ hast mit Basis [mm] $y_1, \dots, y_m$, [/mm] dann ist [mm] $x_1 y_1, \dots, x_n y_1, x_1 y_2, \dots, x_n y_2, \dots, \dots, x_1 y_m, \dots, x_n y_m$ [/mm] eine Basis von $M/K$.
Hier ist $M = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{-3})$, [/mm] $L = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2})$ [/mm] und $K = [mm] \IQ$, [/mm] und nach der Diskussion oben ist $n = 2$, [mm] $x_1 [/mm] = 1$, [mm] $x_2 [/mm] = [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] und $m = 3$, [mm] $y_1 [/mm] = 1$, [mm] $y_2 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{2}$, $y_3 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{2}^2$.
[/mm]
Damit ist eine Basis von $M$ ueber $K$ gegeben durch $1 [mm] \cdot [/mm] 1, [mm] \sqrt{-3} \cdot [/mm] 1, 1 [mm] \cdot \sqrt[3]{2}, \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}, [/mm] 1 [mm] \cdot \sqrt[3]{2}^2, \sqrt{-3} \cdot \sqrt[3]{2}^2$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Di 28.09.2010 | | Autor: | konse77 |
Okay.
Ich muss sagen, dass es anfangs recht schwierig war sich in das Thema reinzuarbeiten. Doch nach einer gewissen Zeit hat es mich sogar interessiert, mehr über die Galoistheorie und die Bestimmung der Galoisgruppe herauszufinden. Auch wenn ich nicht alles perfekt verstehe, so denke ich, dass ich es dank eurer Hilfe dennoch geschafft habe, das Thema ansatzweise zu verstehen und wiederzugeben.
Es ist echt genial, dass es ein solches Matheforum, mit solchen netten und hilfsbereiten Leuten gibt. Ihr wart eine echt gute Hilfe für mich.
Ich bedanke mich somit nochmals recht herzlich bei euch allen, die ihr mir geholfen habt.
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Potenzgesetz