Vorausetzungen für Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:36 Sa 24.10.2015 | | Autor: | DieNase |
| Aufgabe | | Gibt es keine. Es geht um Verständnis! |
Hallo,
Ich bin derzeitig Tutor in einem Fach an der Hochschule das sich Datenstrukturen und Algorithmen nennt. Im ersten Übungsblatt ging es um die O- Gamma- sowie Theta Notation (es sind notation um das verhalten einer Funktion Asymptotisch zu beschreiben!)
Meine Frage ist aber eine andere. Ich habe meine Gruppe die ich in der Übung betreue davor gewarnt bei Schwingfunktionen ein Induktionsbeweis zu Führen. Weil dieser sicherlich irgendwo FALSCH ist.
Nun einer meiner Studenten hat wohl geschlafen als ich das gesagt habe und mir natürlich jetzt eine Induktionsbeweis über ein sinus gemacht.
2 + n * sin(n) > sin(n+1) + n * sin(n+1)
wir nehmen an das n ist nun ein vielfaches von 2 pi. Und n ist schon sehr groß. Dann kommt im teil links sicher 2 heraus im Teil rechts aber definitiv was sehr viel größeres jetzt ist das ganze Falsch. Ich denke das ist auch noch klar.
Mir geht es jetzt darum. Da anscheinend in Analysis nicht ordentlich drauf eingegagnen wurde WANN man einen Induktionsbweis überhaupt führen darf sondern nur auf das WIE möchte ich das übernehmen. Leider bin auch ich kein Mathematiker sondern Informatiker und stelle mir dann immer die Frage wann darf man und überlege sehr genau und mache meine Überlegungen.
Ich hätte aber folgendes gesagt:
Ein Induktionsbeweis ist nur dann möglich wenn die Funktion stetig ist und streng Monton wachsend. Bei stetig bin ich mir sicher aber brauche ich das Streng monoton Wachsend? oder würde Monoton reichen?
Es wäre sehr schön wenn ein Mathematiker mir ein kleines Bischen helfen könnte 
mfg
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Sa 24.10.2015 | | Autor: | hippias |
Induktion ist eine Eigenschaft der natuerlichen Zahlen [mm] $\IN$ [/mm] - dabei ist $0$ fuer mich keine natuerliche Zahl - denn fuer diese Struktur gilt das sog. Induktionsaxiom
Sei $X$ eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen, die folgende Eigenschaften besitzt:
1. [mm] $1\in [/mm] X$
2. Fuer alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt: wenn $n$ in $X$ liegt, dann liegt auch $n+1$ in $X$.
Dann ist $X= [mm] \IN$.
[/mm]
Anders gesagt, ist [mm] $\IN$ [/mm] die einzige Teilmenge von [mm] $\IN$, [/mm] die die beiden Eigenschaften hat.
Induktionsbeweise, also solche, die in irgendeiner Form dieses Axiom ausnutzen, haben also nichts mit Analysis, Stetigkeit etc. zu tun. Vielleicht hast Du Dich auch nur unklar ausgedrueckt, weil Du ein bestimmtes Anwendungsgebiet im Kopf hattest.
Wenn man eine Ungeichung wie [mm] $2+n\sin(n)>sin(n+1)+n\sin(n+1)$ [/mm] mittels Induktion zeigen will, dann kann aber auch nur zeigen, dass sie fuer natuerliche Zahlen $n$ gilt, aber nicht fuer alle reellen Zahlen. Dein Argument, dass $n$ ein ganzes Vielfaches von [mm] $2\pi$ [/mm] sei, ist also nicht korrekt. Man kann dies aber als Vorueberlegung fuer einen strengen Beweis benutzen.
Geeignet ist diese Ungleichungen fuer einen Induktionsbeweis sicher nicht sehr, weil der es - jedenfalls fuer mich - nicht leicht einzusehen ist, weshalb aus der Richtigkeit von [mm] $2+n\sin(n)>sin(n+1)+n\sin(n+1)$ [/mm] die Richtigkeit von [mm] $2+(n+1)\sin(n+1)>sin(n+2)+(n+1)\sin(n+2)$ [/mm] sollte. Ich wuerde wohl als erstes versuchen die Additionstheoreme anzuwenden.
Im uebrigen ist die Ungleichung fuer $n=5$ falsch.
Induktionsbeweise lassen sich auch auf andere Strukturen verallgemeinern, aber ich beschraenke mich hier auf die natuerlichen Zahlen.
Frage nocheinmal nach, wenn Du eigentlich etwas anderes wissen wolltest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Sa 24.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
die Ungleichung kann man doch so zeigen:
Es gilt -1 [mm] \le [/mm] sin(n) [mm] \le [/mm] 1 und n [mm] \in \IN, [/mm] also n [mm] \ge [/mm] 1.
Ich unterteile mal in 0 < sin(n) [mm] \le [/mm] 1, -1 [mm] \le [/mm] sin(n) < 0 und sin(n) = 0.
Fall 1: 0 < sin(n) [mm] \le [/mm] 1
Da 0 < sin(n) [mm] \le [/mm] 1, ist offensichtlich n * sin(n) [mm] \le [/mm] n, denn für sin(n) = 1 gilt n * sin(n) = n und somit auch n * sin(n) [mm] \le [/mm] n. Sonst ist sin(n) < 1 und sin(n) > 0, und somit n * sin(n) < n, allgemein auch n*sin(n) [mm] \le [/mm] n.
Fall 2: -1 [mm] \le [/mm] sin(n) < 0.
Da sin(n) < 0, ist n * sin(n) < n, allgemein n*sin(n) \ le n.
Fall 3: sin(n) = 0
Es ist n * sin(n) [mm] \le [/mm] n <=> n * 0 [mm] \le [/mm] n <=> 0 [mm] \le [/mm] n. Da n [mm] \ge [/mm] 1, stimmt die Behauptung auch hierfür und insgesamt für alle 3 Fälle.
Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Sa 24.10.2015 | | Autor: | DieNase |
D.h. ich müsste so wie ich geschrieben habe schon eine Fall unterscheidung machen und der Induktionsbeweis geht dann also nur von Wendepunkt bis Wendepunkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 24.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi,
ich habe es jetzt so gemacht um es deutlicher zu machen, aber in diesem Fall ist eine Fallunterscheidung m.E. nicht notwendig gewesen. Denn wir wissen ja, dass n positiv ist da n [mm] \in \IN [/mm] und somit n [mm] \ge [/mm] 1. Ferner wissen wir, dass sin(n) auf jeden Fall nicht größer als 1 wird. Somit hat man eigentlich schon die Ungleichung gezeigt.
Man kann ja das Gegenteil annehmen, n * sin(n) > n. Teile ich durch n, und n ist ja positiv, so bekomme ich: n * sin(n) > n <=> sin(n) > 1. Dies steht aber im Widerspruch zu -1 [mm] \le [/mm] sin(n) [mm] \le [/mm] 1. Somit muss nach den Anordnungsaxiomen gelten, n*sin(n) [mm] \le [/mm] n.
Zu deiner Frage: Wenn du eine periodische Funktion hast, dann reicht es Behauptungen für eine Periode zu zeigen. Periodisch wird die Funktion ja fortgesetzt
Gilt die Periodizidät allerdings nicht, so kannst du wie du schon sagst ja auch nicht für den gesamten Definitionsbereich behaupten dass die z.B Folge füf alle n monoton wächst, da sie ja mal fällt und mal wächst dann wieder fällt ... man müsste dann die direkte Umgebung des Wendepunktes analysieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Sa 24.10.2015 | | Autor: | hippias |
Es ist natuerlich bizarr diese Ungleichung mittels Induktion zu beweisen;X3nions Ansatz ist sicherlich eleganter. Ein Beweis mittels Induktion duerfte ziemlich gekuenstelt und unnoetig kompliziert werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 So 25.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Zur Ungleichung
$x*sin(x) [mm] \le [/mm] x$:
Es ist
$|x*sin(x)|=|x|*|sin(x)| [mm] \le [/mm] |x|$ für jedes $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Somit
$-|x| [mm] \le [/mm] x*sin(x) [mm] \le [/mm] |x|$ für jedes $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 0 liefert das
$-x [mm] \le [/mm] x*sin(x) [mm] \le [/mm] x$
und für x<0
$x [mm] \le [/mm] x*sin(x) [mm] \le [/mm] -x$
FRED
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