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| Aufgabe | Sei [mm] F:\IR^{n+1}x\IR\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] F(x,\lambda):=x_{n}\lambda^{n}+ [/mm] ... [mm] +x_{1}\lambda [/mm] + [mm] x_{0}.
[/mm]
Weiter sei a [mm] \in \IR^{n+1} [/mm] sowie [mm] \mu \in \IR [/mm] eine einfache Nullstelle des Polynoms F(a, [mm] \dot [/mm] ).
Man zeige: Es gibt eine offene Umgebung U [mm] \subset \IR^{n+1} [/mm] von a und eine stetig differenzierbare Funktion g: U [mm] \to \IR [/mm] mit g(a) = [mm] \mu [/mm] und F(x,g(x)) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] U. |
Hallo, ich bereite mich gerade auf die Analysis II Klausur vor und uns wurde gesagt, dass diese Aufgabe Relevanz für die Klausur haben kann.
Leider finde ich hier keinen Anfang und damit auch kein Ende. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und die Vorgehensweise hier erklären. Würde mich sehr über eure Hilfe freuen und hoffe, dass ich die Aufgabe auch verstehe ^^.
Mfg SpezimitFanta ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mi 18.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]F:\IR^{n+1}x\IR\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]F(x,\lambda):=x_{n}\lambda^{n}+[/mm] ... [mm]+x_{1}\lambda[/mm] + [mm]x_{0}.[/mm]
>
> Weiter sei [mm]a\in \IR^{n+1}[/mm] sowie [mm]\mu \in \IR[/mm] eine einfache Nullstelle des Polynoms [mm]F(a, \cdot)[/mm] .
>
> Man zeige: Es gibt eine offene Umgebung U [mm]\subset \IR^{n+1}[/mm]
> von a und eine stetig differenzierbare Funktion g: U [mm]\to \IR[/mm]
> mit g(a) = [mm]\mu[/mm] und F(x,g(x)) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] U.
Da bietet sich der Satz über implizite Funktionen an. Man muss nur die Voraussetzungen nachweisen:
(a) F ist von der Definition her überall stetig differenzierbar.
(b) Da das Polynom [mm]p(\lambda) = F(a,\lambda)[/mm] in [mm]\mu[/mm] eine einfache Nullstelle hat, ist [mm]F(a,\mu) = 0 [/mm] und [mm]p'(\mu)\not=0[/mm]. [mm]p'(\lambda) = \bruch{\partial}{\partial\lambda} F(a,\lambda)[/mm], also ist [mm] \bruch{\partial}{\partial\lambda} F(a,\mu) \not=0[/mm].
Damit lässt sich der Satz über implizite Funktionen anwenden.
Grüße
Rainer
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