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Vorbereitung auf die nächste M: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mi 29.07.2009
Autor: KingStone007

Kann man folgende Aufgabe so lösen:

Welche positiven ganzen Zahlen sind gleich der Summe der Quadrate ihrer vier kleinsten Teiler?
Also: (1)   n=p1*p2*....*pk    mit pi=>p(i-1)  i=1,2,....,k    pi ist Primzahl
         (2)   n= 1² + p1² + p2² + (p1*p2)²

Wenn nun n nicht durch 2 teilbar ist, dann wäre n nach (2), da dann p1,p2 nicht gleich 2 ist, als Summe von vier ungeraden Zahlen wieder gerade, was im Widerspruch zur Annahme steht, also ist n durch 2 teilbar.

Also ist p1=2 wegen p1<p2.
Also n=1²+2²+p2²+(2p2)²=5+5*p2²=5(p2²+1)
Also ist n auch durch 5 teilbar, was heißt p2<=5, was da p2 Primzahl ist nur für p2=3, p2=5.
p2=3 ergibt n=1²+2²+3²+(2*3)²=50=1*2*5*5   Also ist dies keine Lösung.
p2=5 ergibt n=130=1*2*5*13. ist also Lösung.

Falls p1 = p2, dann ist n=1²+p1²+(p1*p2)²+(p1*p3)²
Auch hier ist n gerade (Begründung wie oben)
Also p1=p2=2

n=1+4+16+4p3²=21+4p3², wird also immer ungerade im widerspruch zu oben.
Also ist die einzige Lösung n=130.

Gruß, David

        
Bezug
Vorbereitung auf die nächste M: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Mi 29.07.2009
Autor: abakus


> Kann man folgende Aufgabe so lösen:
>  
> Welche positiven ganzen Zahlen sind gleich der Summe der
> Quadrate ihrer vier kleinsten Teiler?
>  Also: (1)   n=p1*p2*....*pk    mit pi=>p(i-1)  
> i=1,2,....,k    pi ist Primzahl
>           (2)   n= 1² + p1² + p2² + (p1*p2)²
>  
> Wenn nun n nicht durch 2 teilbar ist, dann wäre n nach
> (2), da dann p1,p2 nicht gleich 2 ist, als Summe von vier
> ungeraden Zahlen wieder gerade, was im Widerspruch zur
> Annahme steht, also ist n durch 2 teilbar.
>  
> Also ist p1=2 wegen p1<p2.
>  Also n=1²+2²+p2²+(2p2)²=5+5*p2²=5(p2²+1)
>  Also ist n auch durch 5 teilbar, was heißt p2<=5, was da
> p2 Primzahl ist nur für p2=3, p2=5.

Warum nicht [mm] p_2=13 [/mm] oder [mm] p_2=23 [/mm] ...?

>  p2=3 ergibt n=1²+2²+3²+(2*3)²=50=1*2*5*5   Also ist
> dies keine Lösung.
>  p2=5 ergibt n=130=1*2*5*13. ist also Lösung.
>  
> Falls p1 = p2, dann ist n=1²+p1²+(p1*p2)²+(p1*p3)²
>  Auch hier ist n gerade (Begründung wie oben)
>  Also p1=p2=2
>  
> n=1+4+16+4p3²=21+4p3², wird also immer ungerade im
> widerspruch zu oben.
>  Also ist die einzige Lösung n=130.
>  
> Gruß, David

Hallo,
habe keine Lust zum Nachrechnen. Folgende Fälle musst du betrachten:
Fall 1: Die 4 kleinsten Faktoren sind 1, p, [mm] p^2, p^3. [/mm]
Fall 2: Die 4 kleinsten Faktoren sind 1 und [mm] p_1 [/mm] und  [mm] p_1^2 [/mm] und [mm] p_2 [/mm]
Fall 3:  Die 4 kleinsten Faktoren sind 1 und [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] und [mm] p_1*p_2 [/mm]
Fall 4:  Die 4 kleinsten Faktoren sind 1, [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm]
Die Zahlen können natürlich noch viele weitere Primfaktoren haben.
Gruß Abakus

PS: Habe deine Antwort doch mal genauer durchgelesen. Ich gebe dir recht, dass eine Primzahl (und das ist die kleinste Primzahl [mm] p_1) [/mm] gleich 2 sein muss.
Damit kann Fall 1 und Fall 4 ausgeschlossen werden (Quadratsumme wird ungerade).

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