Vorgehen richtig? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich würde gerne wissen, ob mein Vorgehen mathematisch korrekt ist.
Habe sonst immer viel zu viele Fehler wegen Kleinigkeiten.
Es geht um folgendes
[mm] 3^n
jetzt habe ich bei n=1 angefangen auszuprobieren, bis ich auf n=7 gestoßen bin was wahr ist.
Ist das dass normale Vorgehen?
Dann habe ich mit Induktion angefangen
nach ein bischen Rechnen, bin ich dann mit der IV auf
[mm] 3^{n+1}<3^n(n+1)
[/mm]
und nach ein paar Umformungen, dann auf
[mm] 0<3^n*(n-2)
[/mm]
das muss wahr sein,für alle n>2.
Daraus hab ich dann gefolgert, dass die Lösungsmenge
[mm] n\ge [/mm] 7 sein muss
Ist das Vorgehen korrekt, oder macht man das anders.
Ciao
Philipp
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Hallo Philipp!
So 100%-ig erschließt sich mir Dein Weg nicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich würde hier schlicht im Induktionsschritt eine Ungleichheitskette aufstellen:
[mm] $$3^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 3*\red{3^n} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \blue{3}*\red{n!} [/mm] \ [mm] \blue{<} [/mm] \ [mm] \blue{(n+1)}*n! [/mm] \ = \ (n+1)!$$
Die zwischenzeitliche Abschätzung [mm] $\blue{3 \ < \ n+1}$ [/mm] gilt ja offensichtlich für $n \ > \ 2$ bzw. $n \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ .
Gruß vom
Roadrunner
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So, ich habs dann noch mal anders gemacht.
Das mit dem ausprobieren muss ich aber vorher machen oder?
So:
[mm] 3^n
3^(n+1)<(n+1)!
[mm] 3*3^n
[mm] 3*3^n<3(n+1)
[/mm]
und jetzt sieht man ja das der variable Faktor (n+1) ab n=2 größer ist als 3
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Hallo philipp-100,
hmm, dir scheint das Prinzip der vollstängiden Induktion noch nicht so ganz in Fleisch und Blut übergegangen zu sein.
Schau dir das unbedingt nochmal an.
Mache dir genau klar, was zu zeigen ist im Induktionsschritt
Das Rumprobieren ist hier "nötig", um den Induktionsanfang zu bestimmen.
Die Aussage [mm] $3^n [/mm] \ < \ n!$ gilt (erst) für [mm] $n\ge [/mm] 7$
Induktionsanfang also nicht für n=1, sondern für n=7:
[mm] 3^7<7!
[/mm]
Das hast du gezeigt, gut soweit
Im Induktionsschritt [mm] n\to [/mm] n+1 musst du zeigen, dass unter der Induktionsvoraussetzung, dass [mm] 3^n
Dazu nimmst du - eigentlich wie immer - die linke Seite her und formst sie so um, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst und am Schluss die rechte Seite hast
Also [mm] 3^{n+1}=3\cdot{}\red{3^n}<3\cdot{}\red{n!} \qquad [/mm] nach Induktionsvoraussetzung gilt die rote Ungleichung
Das dann weiter mit der Umformung im obigen post verarzten
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Di 15.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
> Hallo,
> ich würde gerne wissen, ob mein Vorgehen mathematisch
> korrekt ist.
> Habe sonst immer viel zu viele Fehler wegen
> Kleinigkeiten.
> Es geht um folgendes
>
> [mm]3^n
>
> jetzt habe ich bei n=1 angefangen auszuprobieren, bis ich
> auf n=7 gestoßen bin was wahr ist.
> Ist das dass normale Vorgehen?
>
> Dann habe ich mit Induktion angefangen
> nach ein bischen Rechnen, bin ich dann mit der IV auf
>
> [mm]3^{n+1}<3^n(n+1)[/mm]
wie kommst Du denn darauf? Ich kann es mir nur so erklären:
Du hast gerechnet:
Zu zeigen hast Du: [mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$
Dann hast Du gerechnet:
$(n+1)!=(n+1)*n! > [mm] (n+1)*3^n$ [/mm] gilt nach I.V.
.
.
.
und nun diese beiden Ungleichungen (irgendwie???) vermischt... ?!?!
Aber wenn Du Dir das mal anguckst:
(i) [mm] $(n+1)*3^n [/mm] < (n+1)*n!=(n+1)!$
(ii) [mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$
Wie gelangt man damit zu [mm] $3^{n+1}<3^n(n+1)$?
[/mm]
Übrigens solltest Du immer beachten, dass Du im Induktionsschritt zeigst:
Aus einer wahren Aussage folgt unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung die Behauptung für die Aussagen mit $n+1$. Es bringt nichts, wenn Du nur zeigst, dass die Richtigkeit der Aussage für $n+1$ unter Verwendung des Induktionsschrittes eine wahre Aussage für $n$ impliziert (dann folgerst Du in die falsche Richtung und um den eigentlichen Beweis zu erbringen benötigte man dann überall Äquivalenzumformungen).
Schauen wir uns das hier nochmal an:
I.V.: [mm] $3^n [/mm] < n!$
I.S. $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$:
(Wir haben zu zeigen, dass die I.V. impliziert, dass [mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$)
Du kannst nun folgendes machen:
[mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$
[mm] $\gdw$
[/mm]
(iii) [mm] $3*3^n [/mm] < (n+1)*n!$
Es genügt also, die letzte Ungleichung zu beweisen (da man dann mittels verfolgen von [mm] $\Leftarrow$ [/mm] die zu zeigende Ungleichung erhält).
Es gilt nun:
[mm] $3*3^n [/mm] < 3*n!$ nach I.V..
Wenn Du Dir nun anguckst, wollen wir ja (iii) erhalten. Dieses können wir tun, indem wir begründen, dass $3*n! [mm] \le [/mm] (n+1)*n!$ (denn dann liefern
[mm]3*3^n < 3*n![/mm] und $3*n! [mm] \le [/mm] (n+1)!$ insgesamt [mm] $3*3^n [/mm] < 3*n! [mm] \le [/mm] (n+1)*n!$, also [mm] $3*3^n [/mm] < (n+1)*n!$, also gerade (iii)).
Offensichtlich ist aber $3*n! [mm] \le [/mm] (n+1)*n! [mm] \gdw [/mm] 3 [mm] \le [/mm] (n+1)$.
Das heißt, die Ungleichung (iii) folgt also mit Induktionsvoraussetzung schon für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$.
(Beachte aber, dass der Induktionsschritt deshalb nicht für $n [mm] \ge [/mm] 2$ klappt, weil in der Induktionsvoraussetzung ja eine weitere Bedingung an $n$ steht:
Denken wir nochmal zurück:
Nach Deinen vorherrgehenden Überlegungen wolltest Du zeigen, dass für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 7}$ [/mm] gilt, dass [mm] $3^n [/mm] < n!$.
Im obigen Induktionsschritt ist also ein $n [mm] \in \IN_{\ge 7}$ [/mm] gegeben (und wir wollen zeigen, dass damit dann auch [mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$), d.h. im Induktionsschritt ist insbesondere $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 7$.
Also:
Der Induktionsschritt gelingt Dir, sofern die Induktionsvoraussetzung anwendbar ist, für $n [mm] \ge [/mm] 2$, aber die Induktionsvoraussetzung beinhaltet die Forderung $n [mm] \ge [/mm] 7$, also gelingt der Induktionsschritt für $n [mm] \ge \max \{2,7\}=7$.)
[/mm]
Das wären die ganzen Überlegungen dazu. In der Kürze liegt die Würze, also fasse ich den Induktionsschritt nochmal analog zu Roadrunner zusammen, damit man auch den Überblick behält, und letztlich sollte der Beweis zum Induktionsschritt auch so notiert werden:
Behauptung: [mm] $3^n [/mm] < n!$ gilt für alle $n [mm] \ge n_0=7$.
[/mm]
Induktionsstart: [mm] $3^7 [/mm] < 7!$ rechnet man nach (also okay).
Induktionsvoraussetzung: Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0=7$ [/mm] und es gelte
[mm] $3^n [/mm] < n!$
Zu zeigen ist der
Induktionsschritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$: Dann gilt auch [mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$
Beweis:
Es gilt:
[mm] $3^{n+1}=3*3^n [/mm] < 3*n!$ nach I.V.
Wegen $n [mm] \ge [/mm] 7$ ist insbesondere $n+1 [mm] \ge [/mm] 8 [mm] \ge [/mm] 3$, also folgt auch
$3*n! [mm] \le [/mm] (n+1)*n!=(n+1)!$.
Das führt also zu der Ungleichungskette
[mm] $3^{n+1}=3*3^n [/mm] < 3*n! [mm] \le [/mm] (n+1)!$, welche
[mm] $3^{n+1} [/mm] < (n+1)!$ beinhaltet, was zu zeigen war.
Gruß,
Marcel
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Danke Marcel,
noch eine kurze Frage.
Ist diese Vorgehen hier analog zu deinem?
[mm] 3^n>n^3
[/mm]
[mm] n\ge4
[/mm]
-IA- bewiesen
jetzt habe ich am Ende [mm] 3^{n+1}>n^3*3>(n+1)^3
[/mm]
das muss doch jetzt noch bewiesen werden oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Danke Marcel,
> noch eine kurze Frage.
> Ist diese Vorgehen hier analog zu deinem?
>
> [mm]3^n>n^3[/mm]
>
> [mm]n\ge4[/mm]
>
> -IA- bewiesen
>
> jetzt habe ich am Ende [mm]3^{n+1}>n^3*3>(n+1)^3[/mm]
> das muss doch jetzt noch bewiesen werden oder?
Hallo,
okay, Du bist im Induktionsschritt:
[mm] $3^{n+1}=3*3^n [/mm] > [mm] 3n^3$ [/mm] gilt nach I.V.
Jetzt genügt es, zu zeigen:
[mm] $3n^3 \ge (n+1)^3$
[/mm]
Das kannst Du z.B. so zeigen:
$3 [mm] \left(\frac {n}{n+1}\right)^3 \ge 3*\left(\frac{3}{4}\right)^3=3*\frac{27}{64}=\frac{81}{64} \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge [/mm] 3$, insbesondere damit auch für alle $n [mm] \ge [/mm] 4$.
(Beachte: [mm] $\frac{n}{n+1} \ge \frac{3}{4}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 3$.)
Gruß,
Marcel
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