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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 03.11.2015 | | Autor: | Canibusm |
| Aufgabe | | f : (0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] : f(x) = ln(x) |
Hallo zusammen,
mir geht es um die Bedeutung dieser Funktion.
Es gibt eine Funktion f mit f(x) = ln(x) und dem (offenen) Intervall von 0 bis Unendlich als Definitionsbereich. Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen.
Ist der Inhalt so richtig wiedergegeben?
Wie liest man ":" und "->" in so einem Fall?
Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!
Mit freundlichen Grüßen,
Richard Thielen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 03.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Canibusm!
> f : (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] : f(x) = ln(x)
> Hallo zusammen,
>
> mir geht es um die Bedeutung dieser Funktion.
>
> Es gibt
Wieso gibt?
Wenn wir definieren
[mm] $g\colon [0,\infty)\to[0,\infty)\colon g(x)=\sqrt{x}$,
[/mm]
dann sind wir der "Macher" und [mm] $g\$ [/mm] existiert.
Wenn wir definieren
[mm] $A:=\{\text{DieAcht},\text{Canibusm}\}$,
[/mm]
dann existiert auch die Menge [mm] $A\$.
[/mm]
> eine Funktion f mit f(x) = ln(x) und dem (offenen)
> Intervall von 0 bis Unendlich als Definitionsbereich.
> Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen.
> Ist der Inhalt so richtig wiedergegeben?
Aus der Analysis I ist folgende Definition üblich:
Seien [mm] $X,Y\$ [/mm] nicht leere Mengen.
Eine Abbildung von [mm] $X\$ [/mm] nach [mm] $Y\$ [/mm] ist eine Vorschrift, die jedem [mm] $x\in [/mm] X$ genau ein [mm] $y=f(x)\in [/mm] Y$ zuordnet.
Wir schreiben
[mm] $f\colon X\to Y,\quad x\mapsto [/mm] y=f(x)$.
Die Abbildungsvorschrift [mm] $x\mapsto [/mm] y=f(x)$ schreiben wir auch kurz [mm] $f(x)=y\$. [/mm]
Die Mengen [mm] $X\$ [/mm] bzw. [mm] $Y\$ [/mm] heißen Definitions- bzw. Wertebereich von [mm] $f\$.
[/mm]
(Anstatt Wertebereich wird oft auch der Begriff Zielbereich benutzt.
In der Definition haben wir die gegebenen Mengen [mm] $X\$ [/mm] und [mm] $Y\$ [/mm] als nicht leer angenommen, damit überhaupt eine Zuordnung [mm] $x\mapsto [/mm] y=f(x)$ möglich ist.
Wäre (mindestens) eine der Mengen [mm] $X\$ [/mm] oder [mm] $Y\$ [/mm] leer, so könnte man eine leere Abbildung definieren.)
Was ist eine Funktion?
Mir sind folgende zwei Antworten bekannt:
1) Abbildung und Funktion sind synonym; sie bedeutet exakt das Gleiche.
2) Eine Funktion ist eine Abbildung von einer beliebigen Menge in einen Körper.
Ich habe mir angewöhnt den Begriff Funktion im letzteren Sinne zu gebrauchen.
(Man spricht dann bspw. von reellwertigen Funktionen.)
Es gibt noch zwei weitere mir bekannte "Varianten":
Sei weiterhin die Abbildung
[mm] $f\colon X\to Y,\quad x\mapsto [/mm] y=f(x)$
gegeben.
Ist [mm] $f\$ [/mm] injektiv, so sagt man [mm] "$f\$ [/mm] ist eine Abbildung von [mm] $X\$ [/mm] in [mm] $Y\$".
[/mm]
Ist [mm] $f\$ [/mm] surjektiv, so sagt man [mm] "$f\$ [/mm] ist eine Abbildung von [mm] $X\$ [/mm] auf [mm] $Y\$".
[/mm]
Mach dir das mal klar!
> Wie liest man ":" und "->" in so einem Fall?
Die folgenden Schreibweisen sind üblich (und äquivalent):
[mm] $f\colon X\to Y,\quad x\mapsto [/mm] y=f(x)$,
[mm] $f\colon X\to Y,\quad [/mm] f(x)=y$,
[mm] $f\colon X\to Y\colon x\mapsto [/mm] y=f(x)$,
[mm] $f\colon X\to Y\colon [/mm] f(x)=y$.
Gruß
DieAcht
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> f : (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] : f(x) = ln(x)
> Hallo zusammen,
>
> mir geht es um die Bedeutung dieser Funktion.
>
> Es gibt eine Funktion f mit f(x) = ln(x) und dem (offenen)
> Intervall von 0 bis Unendlich als Definitionsbereich.
> Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen.
>
> Ist der Inhalt so richtig wiedergegeben?
Grundsätzlich ja. Im vorliegenden Beispiel ist [mm] \IR [/mm] auch
tatsächlich gerade der Wertebereich der Funktion.
Bei der Schreibweise f : A [mm] \to [/mm] B müsste aber der Werte-
bereich nicht unbedingt ganz B umfassen. Es könnte auch sein,
dass der Wertebereich f(A) eine echte Teilmenge von B ist.
> Wie liest man ":" und "->" in so einem Fall?
So etwas wie die oben stehende Zeile ist in der Regel gar
nicht zum "vorlesen" gedacht, sondern dient in erster Linie
der formalen Notation.
Will man so eine Funktionsdefinition trotzdem einmal
etwa für ein Publikum (meinetwegen in einem Hörsaal)
vorlesen, so könnte dies etwa so lauten:
" f sei die Funktion, die das offene Intervall von 0 bis
unendlich in die Menge [mm] \IR [/mm] der reellen Zahlen abbildet,
mit der Funktionsgleichung f von x gleich natürlicher
Logarithmus von x "
LG , Al-Chw.
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