Vorschlag? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | 1. und 2. Ableitung bestimmen:
[mm]f(t)=cos(\omega*t)*sin^2(\omega*t)
[/mm] |
Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich hier den ganzen Aufwand betreiben muss.
Muss ich denn wirklich 2 mal die Kettenregel anwenden? und dann weiter mit der Produktregel rechnen?
Aus meiner Sicht ist das nämlich ein sehr großer Aufwand. Oder kann ich es mir an irgendeiner Stelle etwas vereinfachen?
Danke
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Hallo Izaman,
> 1. und 2. Ableitung bestimmen:
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> [mm]f(t)=cos(\omega*t)*sin^2(\omega*t)
[/mm]
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> Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob ich hier den ganzen
> Aufwand betreiben muss.
>
> Muss ich denn wirklich 2 mal die Kettenregel anwenden? und
> dann weiter mit der Produktregel rechnen?
>
> Aus meiner Sicht ist das nämlich ein sehr großer Aufwand.
> Oder kann ich es mir an irgendeiner Stelle etwas
> vereinfachen?
Ersetze hier:
[mm]sin^{2}\left(\omega*t\right)=1-cos^{2}\left(\omega*t\right)[/mm]
>
> Danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Oh, ich stelle gerade fest, dass mir diese Aufgabe Probleme macht.
Soll ich dann etwa [mm]f(t)=cos(\omega*t)-cos^3(\omega*t)[/mm]
Also: [mm]f'(t)=-sin(\omega*t)*\omega+3*sin^2(\omega*t)*\omega[/mm]
und jetzt noch 2 mal die Produktregel anwenden für die 2. Ableitung?
Bin ich auf dem richtigen Weg? Bin mir echt unsicher.
Danke
<script id="cke_actscrpt" type="text/javascript" cke_temp="1">window.parent.CKEDITOR.tools.callFunction( 22, window );</script>
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Hallo Izaman,
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> Oh, ich stelle gerade fest, dass mir diese Aufgabe Probleme
> macht.
>
> Soll ich dann etwa [mm]f(t)=cos(\omega*t)-cos^3(\omega*t)[/mm]
>
> Also: [mm]f'(t)=-sin(\omega*t)*\omega+3*sin^2(\omega*t)*\omega[/mm]
Die Ableitung stimmt nicht.
Für [mm]cos^3(\omega*t)[/mm] musst Du die Kettenregel verwenden.
>
> und jetzt noch 2 mal die Produktregel anwenden für die 2.
> Ableitung?
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg? Bin mir echt unsicher.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ist die 1. Ableitung nun richtig?
[mm]f'(t)=-sin(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega+3\cdot{}cos^2(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega[/mm]
Und noch eine Frage: Ist denn [mm]cos^3(\omega*t)=(cos(\omega*t))^3[/mm] ?
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Hallo Izaman,
> Hallo, ist die 1. Ableitung nun richtig?
>
> [mm]f'(t)=-sin(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega+3\cdot{}cos^2(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega[/mm]
Nein, hier fehlt noch die innere Ableitung von [mm]cos^3(\omega*t)[/mm]:
[mm]f'(t)=-sin(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega+3\cdot{}cos^2(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega*\ \red{ ... }[/mm]
>
> Und noch eine Frage: Ist denn
> [mm]cos^3(\omega*t)=(cos(\omega*t))^3[/mm] ?
>
Ja, das ist gleichbedeutend.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Ich habe da eine Wissenslücke:
Was ist denn die innere Funktion von [mm] $cos^3(\omega*t)$ [/mm] ?
Für mich ist das nämlich nur [mm] $\omega*t$
[/mm]
Bei $cos(a*t)$ ist es ja auch nur $a*t$
Sorry für diese Frage.
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Hallo,
es ist [mm] cos^{3}(\omega*t)=(cos(\omega*t))^{3}
[/mm]
Siehst du jetzt was die innere Funktion ist?
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Hallo Izaman,
> Ich habe da eine Wissenslücke:
>
> Was ist denn die innere Funktion von [mm]cos^3(\omega*t)[/mm] ?
Schreibe das mal so:
[mm]\left( \ \cos\left(\omega*t\right) \ \right)^{3}[/mm]
Dann ist die innere Funktion [mm]\cos\left(\omega*t\right)[/mm]
>
> Für mich ist das nämlich nur [mm]\omega*t[/mm]. Das ist aber
> falsch, wie ich sehe.
>
> Denn bei [mm]cos(a*t)[/mm] ist die innere Funktion doch auch nur
> [mm]a*t[/mm].
>
> Sorry für diese Frage.
>
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
[mm] f(t)=cos(\omega\cdot{}t)-cos^3(\omega\cdot{}t) [/mm]
[mm] f'(t)=-sin(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega-3\cdot{}cos^2(\omega\cdot{}t)\cdot{(}-sin(\omega\cdot{}t)*\omega)[/mm]
Komme auf diese Lösung.
Aber immer noch sehr unsicher...
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Hallo,
> [mm]f(t)=cos(\omega\cdot{}t)-cos^3(\omega\cdot{}t)[/mm]
>
> [mm]f'(t)=-sin(\omega\cdot{}t)\cdot{}\omega-3\cdot{}cos^2(\omega\cdot{}t)\cdot{(}-sin(\omega\cdot{}t)*\omega)[/mm]
>
> Komme auf diese Lösung.
>
> Aber immer noch sehr unsicher...
>
>
>
>
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Kannst noch ausklammern damits schöner aussieht 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 13.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Dann komme ich auf:
[mm]f(t)=cos(\omega*t)-cos^3(\omega*t)[/mm]
[mm]f'(t)=sin(\omega*t)*\omega*(3*cos^2(\omega*t)-1)[/mm]
So nun zur 2. Ableitung: Kann ich das jetzt hier als 3 Produkte betrachten und mit der Produktregel rechnen?
Also allgemein gilt:
$f(x)=u(x)*v(x)*w(x)$
$f'(x)=u'(x)*v(x)*w(x)+u(x)*v'(x)*w(x)+u(x)*v(x)*w'(x)$
Dann komme ich auf:
[mm] f''(x)=cos(\omega*t)*\omega*\omega*(3*cos^2(\omega*t)-1)-6*cos(\omega*t)*sin(\omega*t)*\omega
[/mm]
Habe ich es endlich geschafft?
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Hallo izaman,
> Dann komme ich auf:
>
> [mm]f(t)=cos(\omega*t)-cos^3(\omega*t)[/mm]
>
> [mm]f'(t)=sin(\omega*t)*\omega*(3*cos^2(\omega*t)-1)[/mm]
>
> So nun zur 2. Ableitung: Kann ich das jetzt hier als 3
> Produkte betrachten und mit der Produktregel rechnen?
>
> Also allgemein gilt:
>
> [mm]f(x)=u(x)*v(x)*w(x)[/mm]
>
> [mm]f'(x)=u'(x)*v(x)*w(x)+u(x)*v'(x)*w(x)+u(x)*v(x)*w'(x)[/mm]
>
> Dann komme ich auf:
>
> [mm]f''(x)=cos(\omega*t)*\omega*\omega*(3*cos^2(\omega*t)-1)-6*cos(\omega*t)*sin(\omega*t)*\omega[/mm]
Der letzte Ausdruck muß doch so lauten:
[mm]-6*cos(\omega*t)*sin^{\red{2}}(\omega*t)*\omega^{\red{2}}[/mm]
Das kann man noch etwas zusamenfassen.
>
> Habe ich es endlich geschafft?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mo 14.02.2011 | | Autor: | lzaman |
Hallo Mathepower, bei dieser Aufgabe ist soviel Konzentration nötig, dass ich zwischendurch den Durchblick verloren habe.
Du hast natürlich recht. Korrekt ist
[mm]f''(x)=cos(\omega*t)*\omega^2*(3*cos^2(\omega*t)-1)-6*cos(\omega*t)*sin^2(\omega*t)*\omega^2[/mm]
Also:
[mm]f''(x)=cos(\omega*t)*\omega^2*[(3*cos^2(\omega*t)-1)-6*sin^2(\omega*t)][/mm]
Seid ihr damit einverstanden? Oder kann ich es weiter vereinfachen?
Vielen Dank...
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Hallo Izaman,
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> Hallo Mathepower, bei dieser Aufgabe ist soviel
> Konzentration nötig, dass ich zwischendurch den Durchblick
> verloren habe.
>
> Du hast natürlich recht. Korrekt ist
>
> [mm]f''(x)=cos(\omega*t)*\omega^2*(3*cos^2(\omega*t)-1)-6*cos(\omega*t)*sin^2(\omega*t)*\omega^2[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]f''(x)=cos(\omega*t)*\omega^2*[(3*cos^2(\omega*t)-1)-6*sin^2(\omega*t)][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Seid ihr damit einverstanden? Oder kann ich es weiter
> vereinfachen?
>
Natürlich kannst Du das noch vereinfachen,
indem du den trigonometrischen Pythagoras anwendest.
>
> Vielen Dank...
>
Gruss
MathePower
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