Vortrag über das Vektorprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 10:57 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
| Aufgabe | | Warum neue Multiplikation? Warum reicht nicht Skalarprodukt? Rechenregeln (u.a. nicht kommutativ), Rechenformel für Vektor a x Vektor b und Beisiel dazu |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
Ich muss ein Referat über das Vektorprodukt halten, das Referat muss wenigstens 20 min und maximal 35 min gehen. Ich habe mir schon viele Seiten im Netz angesehen. Was ich bisher weiß ist:
Der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Vektorprodukt ist, dass das Skalarprodukt eine Zahl ist und das Vektorprodukt ein Vektor. Das Skalarprodukt gibt das Verhältnis der beiden Vektoren zu einander an (spitzer winkel oder stumpfer winkel), das Vektorprodukt beschreibt die kraft die Senkrecht auf beide Vektoren wirkt, und gibt die länge der kraft an. wie kann man das Skalarprodukt und Vektorprodukt prägnant voneinander unterscheiden, sodass das einfach verständlich wird.
Und was der Professor mit der Frage "Warum neue Multiplikation" will verstehe ich gar nicht.
Zu den Rechenregeln: Die Regeln weiß ich mittlerweile zwar aber wie ich das erklären kann weiß ich nicht vor allem : a x b = -b x a , wie kann ich das bildlich darstellen?
Für die anderen Regeln bräuchte ich auch noch Denkansätze insbesondere: Distributivgesetz :
a x (b + c)= a x b + a x c
(a + b) x c = a x c + b x c
Das man hier wie mit normalen Klammern vorgehen kann ist klar , aber wie das zustande kommt weiß ich nicht im Internet findet man nur die regeln aber warum sie so sind konnte ich bisher nirgends entnehmen.
Die Multiplikation mit einem Skalar:
[mm] \lambda [/mm] * (a x b) = [mm] (\lambda [/mm] a) x b
= a * [mm] (\lambda [/mm] b)
Warum wird hier nicht normal ausgeklammert wie bei zahlen?
Wo wird das Vektorprodukt verwendet, und wie kann man das einfach erklären sodass das von verstanden werden kann auch wenn man keine Physiker ist. Was ich bisher weiß ist dass man das verwendet wenn man herausfinden will, mit welcher Kraft ein rotierbares Objekt angetrieben wird (drehmoment), doch dass ist nicht verständlich genug damit dass auch alle verstehen.
De Formel für das Vektorprodukt (a2b3- a3b2)
a x b = (a3b1- a1b3)
(a1b2- a2b1)
Kann man verständlich erklären wie diese Formel zustande kommt, ich glaube nicht dass ich ne Komplette Herleitung machen muss.
Ich erwarte nicht, dass ihr mir den Vortrag erstellt, ich brauch nur ne einfachere Sichtweise um die Probleme lösen zu können. Ich hab 2008 mein Abitur gemacht seitdem hatte ich keinen Mathe Unterricht mehr, deswegen fehlt mir das Verständnis für die Mathematischen Ausdrücke, wenn ihr darauf Rücksicht nehmen könntet wäre ich euch sehr dankbar.
Ich danke im voraus!
mfg nevo99
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 So 21.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo nevo99,
das Kreuzprodukt liefert Dir als Ergebnis wiederum einen Vektor, durch den ein dreidimensionaler Raum aufgespannt wird, da der Ergebnisvektor senkrecht zur Fläche steht, den die beiden Eingangsvektoren miteinander bilden.
Auf dieses Thema kannst Du über die Arten der Multiplikation hinführen. Slakare miteinander multipliziert liefern als Ergebnis wiederum ein Skalar, die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar liefert wiederum einen Vektor, und wenn man nun zwei Vektoren miteinander multipliziert, gibt es zwei Möglichkeiten. Einmal das Skalarprodukt, das einen Skalar lifert und einmal das Vektorprodukt, das einen Vektor als Ergebnis liefert.
Beispiele aus der Physik hast Du auch schon genannt, das Drehmoment ist eines davon, der Eneregiefluss bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle ist ein anderer. Die Multiplikation gehört in das Gebiet der Vektoralgebra. Wie mathematisch das Ganze bei Deinem Studiengang sein soll, das kann ich schwer abschätzen, aber hoffentlich habt ihr dazu ein paar Infos bekommen.
Ich wandele mal Deine Frage in eine Umfrage um, dann ist die Chance recht gut, dass noch weitere sich hier im Forum beteiligen an der Ideensammlung.
Ich nehme mal an, dass Du mit Folien arbeiten wirst, pro Folie 2 bis 3 Minuten Redezeit ist ein guter Mittelwert, so dass Du den Stoff auf etwas mehr als 10 Folien unterbringen können solltest.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Infint,
danke dir für die Hilfestellung, ich hätte da allerdings noch 1-2 Verständnis Fragen zu deinen Äußerungen.
1. Wenn ich zwei Vektoren miteinander mutipliziere kann ich entweder einen Vektor erhalten oder ein Skalar für welche Berechnung braucht man welche Ansatz. gibt es Sachen die nur mit dem Kreuzprodukt ausgedrückt werden können und nicht mit dem Skalarprodukt.
2. Hast du eine Art Stichwortsammlung an der ich mich für den Vortrag orientieren könnte, die wichtig im zusammenhang mt dem vektorprodukt sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 21.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo nevo99,
die Interpretation der beiden Multiplikationsmöglichkeiten hängt eng mit den Deutungen innerhalb der Physik zusammen, es ist kaum möglich, hier eine generelle Zuordnung anzugeben. Physikalische Werte, die durch ein Skalar repräsentiert werden, berechnet man über das Skalarprodukt, die verrichtete Arbeit entlang einer Wegstrecke gehört dazu oder auch die Stromstärke, die zu einem bestimmten Magnetfeld gehört. Da, wo das Ergebnis ein Vektor ist, also neben der Größe, noch eine Richtung aufweist, kommt das Vektorprodukt ins Spiel. Beispiele dafür hattest Du ja schon genannt.
Ich selbst habe darüber nie etwas vorgetragen, aber ich könnte mir folgendes vorstellen: Die Arten der Multiplikation, die Besonderheit des Vektorprodukts, ein oder zwei Beispiele aus der Physik / Technik, und dann eine kleine Darstellung zur Berechnung. Hierbei kann man dann auch auf die Gesetze eingehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 21.10.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
siehe dazu eventuell folgenden Beitrag bei Wikipedia:
![[]](/images/popup.gif) Wiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Kann den link nicht öffnen : Fehler: Das gewünschte Dokument wurde nicht gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 So 21.10.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Komishc, vorhin klappte es.
Ok, nun sollte aber alles funktionieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Danke dir schon mal für die Erklärung, die hilft mir definitiv weiter.
Der Leitfaden bietet meinem Vortrag eine gute Struktur.
Eine Frage hätte ich noch zu den Rechenregeln, hast du da vielleicht eine plausibler Erklärung für? a x b = -b x a ?
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Hallo,
> Eine Frage hätte ich noch zu den Rechenregeln, hast du da
> vielleicht eine plausibler Erklärung für? a x b = -b x a
> ?
ja, die Definition ist die Erklärung:
[mm] \vec{b}\times\vec{a}=\vektor{b_2a_3-b_3a_2\\b_3a_1-b_1a_3\\b_1a_2-b_2a_1}=-\vektor{a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}=-\vec{a}\times\vec{b}
[/mm]
Und du solltest unbedingt verstehen lernen, was man da geometrisch tut:
- Das Kreuzprodukt steht auf den beiden Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] rechtwinklig und bildet mit diesen in der Reihenfolge [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{a}\times\vec{b} [/mm] ein sog. Rechtssystem
- Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten Parallelogramms
Diese beiden Eigenschaften stehen übrigens eigentlich immer in direktem Zusammenhang zu den physikalischen Anwendungen. Mache dir das mal am Beispiel des Drehmoments klar. Stelle dir etwa eine rotierende Scheibe vor, auf der Scheibe einen Punkt, auf den eine Kraft wirkt, allerdings soll diese Kraft nicht tangential zu dem von dem Punkt beschriebenen Kreis wirken, sondern in einer beliebigen Richtung. Überlege dir einmal, wie du das resultierende Moment ohne Kreuzprodukt berechnen würdest.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Diophant,
die Eigenschaften, des Vektorprodukts sind mir bekannt und leuchten mir auch ein.
Jedoch kann ich mir ehrlich gesagt nicht viel zu deiner Frage vorstellen, das ist alles leider ein bisschen zu abstrakt für mich....
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Hallo,
für eine Zeichnung habe ich leider momentan keine Zeit mehr. Ich hatte es oben auch etwas ungeschickt formuluert, daher noch ein Versuch:
eine Kraft F wirke so auf eine Scheibe, die sich um eine Achse drehen kann, dass die Wirklinie der Kraft nicht durch die Drehachse geht. Dann resultiert aus dieser Kraft ein Moment, dessen Größe noch von der Richtung der Kraft abhängt. Wenn der Verbindungsvektor zwischen Drehachse und Karftangriffspunkt mit r bezeichnet sei, dann führt die Berechnung des Betrags dieses Moments auf die Gleichung
[mm] |\vec{M}|=|\vec{F}|*|\vec{r}|*sin(\phi)
[/mm]
wobei [mm] \phi [/mm] der Winkel zwischen dem Radiusvektor r und der Kraft F ist.
Den Zusammenhang obiger Gleichung mit dem Kreuzprodukt herauszuarbeiten (->Parallelogramm-Fläche!) wäre m.E. nach ein guter Ausgangspunkt, um selbiges auf anschauliche Art und Weise zu motivieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
okay jetzt habe ich verstanden was du meinst. Ich habe da mal ne skizze angefertigt, könntest du mal überprüfen ob ich dich richtig verstanden habe?[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
nein, das hast du falsch verstanden, allerdings teilweise unter meiner tätigen Mithilfe (ich sollte mehr Physik machen...):
ich hatte das so gemeint, dass F in der Scheibenebene verläuft. Das eignet sich hier besser, wenn es anschaulich bleiben soll.
Aber du hast auch noch einen schwerwiegenden Denkfehler begangen: der Momentenvektor muss natürlich in der Drehachse liegen, und nicht echt parallel dazu!
Gruß, Diophant
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Hallo,
ein sehr schönes Beispiel ist die Lorentzkraft [mm] F_L=q(\vec{v}\times\vec{B}).
[/mm]
Wird also ein geladenes Teilchen durch ein Magnetfeld gejagt, dann wirkt eine Kraft, die genau senkrecht auf v und B steht. (B ist das Magnetfeld).
Siehe dazu auch "Rechte-Hand-Regel".
Das ist also mal ein anschauliches Beispiel. Daran könnte man auch mal sehen, ob es kommutativ ist,...
Warum man übriges eine neue "Multiplikation" einführt ist wohl eher ein philosophisches Problem. Wollten die Mathematiker dies einfach machen, oder waren es die Physiker die es "erfinden" mussten, damit physikalische Phänomene (siehe Lorentzkraft) mathematisch erklärbar wurde?
Eine schwierige Fragestellung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
hast du vielleicht einen Link zu einer skizze die das bildlich darstellt, das scheint mir nämlich ein wichtiges Aufgabenfeld des Vektorprodukts zu sein und wenn es die Antikomutativität erklärt wäre das die Lösung meiner Probleme.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 21.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
okay das war verständlich, aber wie kann ich daraus die komutivität erkennen?
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Hey,
nein, es ist ja gerade nicht kommutativ. Veränderst du die "belegungen" für Daumen und Zeigefinger ändert sich ja die Richtung des Mittelfingers.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:58 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Riichie1401,
danke für den tipp, das habe ich nuun verstanden. Kannst du mir nch verrate warum warum bei einer Multiplikation mit einem Skalar, das Skalar nicht mit allen Termen in der Klammer multipiliziert wird?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Riichie1401,
danke für den tipp, das habe ich nuun verstanden. Kannst du mir nch verrate warum warum bei einer Multiplikation mit einem Skalar, das Skalar nicht mit allen Termen in der Klammer multipiliziert wird?
lambda ist der skalar:
Lambda * (vektor a x vektor b ) = (lambda * vektor a) x vektor b
= vektor a * (lambda * vektor b )
wäre super wenn ich das auch noch verstehen könnte.
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Hallo,
meinst du das hier:
[mm] \lambda*\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=\left(\lambda*\vec{a}\right)\times\vec{b}
[/mm]
?
Das ist doch unmittelbar einsichtig: das ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Das Kreuzprodukt ist der Vektor, [mm] \lambda [/mm] der Skalar...
PS:
Bitte lade nur Dateien hoch, deren Urhheber du selbst bist und mache wahrheitsgemäße Angaben zum Urheberrecht. Eine abfotografierte Buchseite ist kein eigenes Werk und durch das Abfotografieren bekommt man keinesfalls das Recht zur Veröffentlichung!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
hallo diophant,
danke für die zügige Antwort! jedoch ist das für ich nicht so ersichtlich warum wird daraus nicht lambda*vektor a x lambda*vektor b ???
Sry wegen dem Bild, mr war gar nicht klar dass ich das bereis hochgeladen hatte, deshalb auch der doppelpost.
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Hallo,
> hallo diophant,
>
> danke für die zügige Antwort! jedoch ist das für ich
> nicht so ersichtlich warum wird daraus nicht lambda*vektor
> a x lambda*vektor b ???
Gegenfrage: würdest du in den reellen Zahlen folgende Rechnung für richtig erachten:
[mm] \lambda*(a*b)=\lambda*a*\lambda*b=\lambda^2*a*b
[/mm]
?
Also mir käme das doch sonderbar vor, denn dann wären alle Lambdas dieser Welt entweder 0 oder 1, also quasi digital!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
wäre das bei reellen Zahlen nicht so: [mm] \lambda [/mm] * (a * b) = [mm] \lambda [/mm] * a + [mm] \lambda [/mm] * b??
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Hallo nevo99,
> wäre das bei reellen Zahlen nicht so: [mm]\lambda[/mm] * (a * b) =
> [mm]\lambda[/mm] * a + [mm]\lambda[/mm] * b??
ich glaube, du solltest Mittag machen. Hast du gesehen, dass da lauter Multiplikationen stehen, wie soll dabei eine Addition herauskommen?
Die Rechnung, die ich da angegeben habe, ist offensichtlich falsch und du sollst den Denkfehler herausfinden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Diophant,
ich denke der Fehler ist der, dass du aus einem [mm] \lambda [/mm] ein [mm] \lambda [/mm] ^2 gemacht hast ohne dass sich der rest wesentlich verändert hätte:::?!?!?!
gruß
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Hallo nevo,
> Hallo Diophant,
>
> ich denke der Fehler ist der, dass du aus einem [mm]\lambda[/mm] ein
> [mm]\lambda[/mm] ^2 gemacht hast ohne dass sich der rest wesentlich
> verändert hätte:::?!?!?!
>
> gruß
>
das ist ja klar, aber wo habe ich genau den Fehler gemacht? Ich möchte dich doch nur draufbringen, dass du exakt den selben Denkfehler begehst, wenn du annimmst, der Skalar [mm] \lambda [/mm] würde quadriert werden, wenn man ihn in das Kreuzprodukt reinzieht.
Du könntest ja auch alternativ die Definition des Kreuzproduktes ausnutzen, um nachzurechnen:
[mm] \lambda*\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=\lambda*\vektor{a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}
[/mm]
Multipliziere das [mm] \lambda [/mm] in die Klammer und vergleiche mit
[mm] \left(\lambda*\vec{a}\right)\times\left(\lambda*\vec{b}\right)
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Diophant,
ich glaub ich hab es jetzt, die Klammer definiert ja nur was zuerst mutipliziert werden muss, d.h.: mann muss erst die Klammer berechnen und dann mit dem skalar multiplizieren, aufgrund der eigenschaften ist es aber auch möglich einen Term der Klammer mit dem skalar zu multiplizieren und dann mit dem anderen zu multiplizieren?? oder wer ich das jetzt komplett durcheinander?
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Hallo,
> ich glaub ich hab es jetzt, die Klammer definiert ja nur
> was zuerst mutipliziert werden muss, d.h.: mann muss erst
> die Klammer berechnen und dann mit dem skalar
> multiplizieren, aufgrund der eigenschaften ist es aber auch
> möglich einen Term der Klammer mit dem skalar zu
> multiplizieren und dann mit dem anderen zu multiplizieren??
> oder wer ich das jetzt komplett durcheinander?
nein, ich denke, jetzt hast du den Kern der Sache erfasst. Mann kann es kurz und knapp auch so formulieren, dass die Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen hier 'geerbt' wird, weil man ja in der Definition außer den Grundrechenarten nichts weiter verwendet (die S-Multiplikation setzen wir mal als bekannt voraus).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 27.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zu den Rechenregeln: wenn man (1,0,0) [mm] \times [/mm] (0,1,0) hat will man (0,0,19 jaben
denn a) das produkt soll senkrech stehen , b) es soll den flächeninhalt des "parallelogramms" hier Quadrat ergeben, entsprechend mit (1,0,0) und (0,0,1) usw
und dann will man [mm] (a+b)\times [/mm] c das Kommuttativgesetz, das richt, da du aus den 3 basisvektoren ja alle herstellen kannst.
2. Innermathematisch: wenn man eine Fläche im [mm] \IR^3 [/mm] hat will man sehr oft ihre Normale in einem Punkt kennen, das Kreuzprodukt von 2 Tangentenvektoren liefert das!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
hi leduart,
ich verstehe nicht was du mit punkt 1 sagen willst, geht es da um die rechenregeln?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 27.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, nach denen hattest du doch gefragt!
dafür zuerst das Ziel des VP [mm] a\times [/mm] b sagen
Vektor, der senkrecht auf a und b steht und dessen Betrag, die fläche des parallelogramms aus a,b ergibt.
Gruss leduart
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Hallo,
eine mathematische (und in meinen Augen äußerst anschauliche) Herangehensweise wäre es, die Zusammenhänge
Skalarprodukt - Kosinussatz
Kreuzprodukt - Sinussatz
herauszuarbeiten. Darauf aufbauend kann man wunderschön darstellen, wie man mit Hilfe des Skalarproduktes letztendlich Abstände und mit Hilfe des Kreuzprodukts Inhalte berechnen kann.
Als krönenden Abschluss könntest du dann das sog. Spatprodukt bzw. Gemischtes Produkt
[mm] \vec{a}\times\vec{b}\circ\vec{c}
[/mm]
einführen und erläutern, warum man mit
[mm] V=\bruch{1}{6}|\vec{a}\times\vec{b}\circ\vec{c}|
[/mm]
das Volumen eines beliebigen Tetraders (dreiseitige Pyramide) erhält.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 27.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Diophant,
das man mit dem Kreuzprodukt in Kombination mit dem Skalarprodukt Inhalte berechnen kann hab ich schon mal gehört, aber welche Abstände kann man mit dem Skalarprodukt berechnen? Und die Frage die ich beantworten muss heißt "Warum reicht nicht Skalarprodukt? Was kann man ausschließlich mit dem Vektorprodukt berechnen? hast du ne Idee?
Gruße und nochmal Danke für deine Unterstützung bis hierhin.
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Hallo,
> das man mit dem Kreuzprodukt in Kombination mit dem
> Skalarprodukt Inhalte berechnen kann hab ich schon mal
> gehört, aber welche Abstände kann man mit dem
> Skalarprodukt berechnen?
Zuvörderst den Abstand Punkt-Hyperebene, im [mm] \IR^3 [/mm] also den Abstand Punkt Ebene, via Hesse-Normalenform, die ich mal als bekannt voraussetze.
> Und die Frage die ich beantworten
> muss heißt "Warum reicht nicht Skalarprodukt? Was kann man
> ausschließlich mit dem Vektorprodukt berechnen? hast du ne
> Idee?
Diese Art zu fragen ist zwar teilweise üblich, das ist mir bekannt (d.h. ich unterstelle sie dir hier ausdrücklich nicht). Ich halte sie aber in der Mathematik grundsätzlich für ungeeignet. Die viel bessere Frage lautete schon immer sinngemäß: 'Was kann man machen, weil es logisch richtig ist?' Und erst danach kommt dann die Frage, wo man das soeben entdeckte Konzept denn so anwenden kann.
Und einen Vortrag über das Kreuzprodukt würde ich persönlich genau so herum aufziehen. Ich bin auch der festen Überzeugung, dass es überhaupt nichts gibt, was man nicht ohne Kreuzprodukt auch berechnen könnte, das Kreuzprodukt ist ja wie die ganze Vektoralgebra letztendlich eine sehr bequeme und nützliche, weil abkürzende Schreibweise.
Wenn du mal die geometrischen Hintergründe und Anwendungsmöglichkeiten von Skalar- und Kreuzprodukt sehhr schön aufbereitet nachlesen möchtest, dann würde ich dir dafür den ersten Band von L. Papulas legendärer Reihe Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler empfehlen und dort das 2. Kapitel.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 28.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
hallo diophant,
Papula hatte der Prof. auch bereits erwähnt, werde mir das morgen ausleihen und durchlesen. der Professor fragt außerdem "Warum neue Multiplikation?" weißt du was er damit bezwecken will?
Gruße nevo99
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 29.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum die neue Mult.? weil sie sich im [mm] R^3 [/mm] als gutes Hilfsmittel bewährt hat, in höheren Dimensionen gibt es kein "Vektorprodukt" d.h. man kann auch auf das VP verzichten.
Sie hat sich insbesondere in der Physik bewährt,aber man könnte auch ohne auskommen! in dem Sinn ist es eben nur eine abgekürzte Schreibweise einen auf a und b senkrechten Vektor zu finden , der als Betrag eben die Fläche hat, die von a und b aufgespannt wird.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> warum die neue Mult.? weil sie sich im [mm]R^3[/mm] als gutes
> Hilfsmittel bewährt hat
das sehe ich genauso. Vielleicht will der Prof. einfach ein paar Beispiele
sehen, wo man mithilfe des Kreuzproduktes zweier Vektoren wunderschön
die Vereinfachungen sieht, wenn man sie als Hilfsmittel verwendet. Dazu
bin ich aber zu wenig Physiker, als Mathematiker muss ich sagen, dass ich
bisher nur selten gesehen hatte, wie "toll" das Kreuzprodukt manchmal
sein kann.
In der Mathematik gibt es aber eine ganz typische Anwendung: Wenn man
eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] sucht, und schon eine eines 2-dimensionalen
Unterraums (Ursprungsebene) des [mm] $\IR^3$ [/mm] hat, rechnet man sich mal
schnell einen fehlenden Vektor mit Hilfe des Kreuzproduktes aus. Dies ist
insbesondere auch für Programmierer eine schnelle Lösung.
Nichtsdestotrotz ist das eher ein "langweiliger" Einsatz - minimal
interessanter ist dieser, wenn man etwa schon eine ONB des genannten
2-dimensionalen Unterraums hat.
Aber wie gesagt: Das Kreuzprodukt ist eigentlich weniger etwas sehr
abstraktes denn etwas sehr spezielles, um in gewissen speziellen
Situationen
- besser den Überblick zu behalten
- manche geometrische Sachverhalte kurz und prägnant formulieren zu
können
- ...
- ...
- ...
Wobei mir noch einfällt, weil ich gerade nicht weiß, ob das schon erwähnt
wurde: Man sollte hier auch Begriffe wie "Rechtssystem" benutzen - und
da kann man auch eine gewisse Determinante ins Spiel bringen.
Naja, vll. sind hier in der Mitteilung ja noch ein paar Anregungen für den
Vortrag...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 30.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo Marcel,
danke für die Hinweise waren sehr hilfreich! Ich muss noch die Frage beantworten, "Warum reicht nicht das Skalarprodukt?" Ich brauche hier ein bis zwei eindeutige Unterscheidungsmerkmale, muss das Referat evtl. morgen schon vortragen.
mfg nevo99
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Hallo nevo99,
das hatten wir jetzt schon mehrfach. Es ist die falsche Frage, man braucht das Kreuzprodukt nicht, sondern es ist bequem.
Wenn es ausreicht, als Beleg dafür ein einfaches Beispiel vorzutragen, dann würde ich sagen: berechne mal die Fläche eines Parallelogramms auf mehrere Arten:
- per A=g*h
wobei du die Höhe als Abstand Punkt-Gerade mit dem Skalarprodukt bestimmst
- mit dem Kreuzprodukt
und wenn du den Zusammenhang zwischen Kreuzprodukt und Sinussatz herausgearbeitet hast, auch noch mit
- [mm] A=a*b*sin(\alpha)
[/mm]
wobei du dann den Zusammenhang der letzten beiden Rechnungen verdeutlichen solltest.
Oder: wandle die Parameterdarstellung einer Ebene in die Koordinatenform um, einmal ohne und einmal mit Kreuzprodukt.
In beiden Fällen wird die Ersparnis an Rechenarbeit sehr schön deutlich.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 30.10.2012 | | Autor: | nevo99 |
Hallo diophant,
ich weiß, das ich das bereits öfter gefragt habe, aber die frage lautet eindeutig : "Warum REICHT nicht das Skalarprodukt", das es bequemer ist um Flächen und orthogonale zu berechnen, ist danke eure Hilfe mir bereits bekannt, aber das beantwortet nicht die frage. es muss irgendetwas gebe wofür es keine alternative zum Vektorprodukt gibt. Eigentlich ist doch das Drehmoment so ein Beispiel könnte man das auch anderes als mit dem Vektorprodukt berechnen? Wenn nicht, wie kann man das allgemein formulieren?
Wie z.B.: Das Skalarprodukt reicht nicht, da man damit nicht die Kraft beschreiben kann die in eine Bestimmte Richtung wirkt, da das Ergebnis des Skalarproduktes einen Skalar und keinen Vektor ergibt.
Könntest du nochmal verdeutlichen was du mit der Umstellung von Parameterform auf Koordinatenform meinst?
mfg nev099
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo diophant,
>
> ich weiß, das ich das bereits öfter gefragt habe, aber
> die frage lautet eindeutig : "Warum REICHT nicht das
> Skalarprodukt", das es bequemer ist um Flächen und
> orthogonale zu berechnen, ist danke eure Hilfe mir bereits
> bekannt, aber das beantwortet nicht die frage. es muss
> irgendetwas gebe wofür es keine alternative zum
> Vektorprodukt gibt.
nein, es gibt immer die Alternative - wir bewegen uns hier ja eh nur
im [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Und dass die Frage schlecht formuliert ist, ist auch nicht
Dein Fehler.
Ich kann Dir auch schnell begründen, warum man, wenn man das
euklidische Standardskalarprodukt hat, auch mit diesem die gleichen
Ergebnisse wie mit dem Kreuzprodukt erzielen kann:
Nehmen wir o.B.d.A. an, dass $u,v [mm] \in \IR^3$ [/mm] zwei linear unabhängige
Vektoren seien.
Wenn ich nun $w [mm] \in \IR^3$ [/mm] suche, so dass [mm] $w\,$ [/mm] auf die beiden
Vektoren senkrecht steht - oder anders gesagt: Senkrecht auf etwa
die Ursprungsebene, die durch [mm] $u,v\,$ [/mm] aufgespannt wird, so erhalte
ich ein lineares GLS
[mm] $$u^T*w=0$$
[/mm]
und
[mm] $$v^T*w=0\,,$$
[/mm]
welches in den Variablen [mm] $w_1,w_2,w_3$ [/mm] zu lösen ist. Die Lösungsmenge
wird dann eine Ursprungsgerade sein. Nehme ich mir nun einen
Richtungsvektor dieser Ursprungsgeraden her und bringe ihn auf die
Länge 1, so wird er entweder $=u [mm] \times [/mm] v$ oder $=-(u [mm] \times [/mm] v)=v [mm] \times [/mm] u$
sein. Wir haben also in jedem Fall auf einem alternativen Weg, ohne das
Kreuzprodukt zu benutzen, das Ergebnis erhalten, wie wenn wir es
benutzt hätten - schlimmstenfalls multiplizieren wir den auf die Länge
1 gebrachten Vektor skalar mit [mm] $-1\,.$
[/mm]
Auf das Kreuzprodukt kann man in diesem Sinne also verzichten - was nicht
heißt, dass sich nicht vieles durch Verwendung des Kreuzproduktes
kurz und prägnant - oder gar elegant - formulieren läßt.
Insbesondere ist doch auch sowas wie ein "Rechtssystem" mit dem
Kreuprodukt nochmal schnell veranschaulichbar!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Mo 29.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> in höheren Dimensionen gibt es kein "Vektorprodukt" d.h. man
> kann auch auf das VP verzichten.
Das stimmt nicht ganz. Es gibt mehrere Verallgemeinerungen.
Einmal kann man das Vektorprodukt im [mm] $\IR^3$ [/mm] als Spezialfall des aeusseren Produktes auffassen: betrachtet man die zweite aeussere Potenz [mm] $\bigwedge^2 \IR^3$, [/mm] so ist diese isomorph zu [mm] $\IR^3$. [/mm] Waehlt man den Isomorphismus passend, nennen wir ihn [mm] $\phi [/mm] : [mm] \bigwedge^2 \IR^3 \to \IR^3$, [/mm] so ist $x [mm] \times [/mm] y = [mm] \phi(x \wedge [/mm] y)$.
Ist ganz allgemein $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum, so ist [mm] $\dim \bigwedge^{n-1} [/mm] V = n$, womit es einen Isomorphismus [mm] $\bigwedge^{n-1} [/mm] V [mm] \cong [/mm] V$ gibt (allerdings keinen kanonischen/natuerlichen!).
Waehlt man einen speziellen, etwa [mm] $\phi [/mm] : [mm] \bigwedge^{n-1} [/mm] V [mm] \to [/mm] V$, so erhaelt man mit [mm] $\psi(v_1, \dots, v_{n-1}) [/mm] := [mm] \phi(v_1 \wedge \dots \wedge v_{n-1})$ [/mm] ein Vektorprodukt auf $V$ mit teilweise aehnlichen Eigenschaften wie das bekannte Kreuzprodukt im [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Was das ganze bringen soll ist natuerlich eine andere Frage 
Es gibt uebrigens auch eine Beziehung zwischen aeusseren Potenzen und der Determinante: der Raum [mm] $\bigwedge^n [/mm] V$ ist eindimensional, womit es einen Isomorphismus [mm] $\phi [/mm] : [mm] \bigwedge^n [/mm] V [mm] \to [/mm] K$ gibt. Wenn man diesen normiert, ist die Abbildung [mm] $K^{n \times n} \ni [/mm] A = [mm] (v_1, \dots, v_n) \mapsto \phi(v_1 \wedge \dots \wedge v_n) \in [/mm] K$ gerade die Determinante $A [mm] \mapsto \det [/mm] A$.
Es gibt auch noch in der Dimension 8 ein Produkt, welches gewisse aehnliche Eigenschaften wie dsa Kreuzprodukt in Dimension 3 hat. Mehr dazu findet sich im Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al. (Hab die Details leider nicht im Kopf...)
LG Felix
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