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Vorüberlegungen zu "Unregelmäßige Vielecke": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Do 16.10.2003
Autor: Marc

Hallo,

dann versuche ich es mal:

Meine Überlegungen beruhen auf meiner vorhin geäußerten Schnittpunkttheorie:

Ich starte mit einem n-Eck, und zeichne in einem Eckpunkt A alle n-3 Diagonalen ein. Wir haben dann n-2 Teilflächen.
Jede weitere eingezeichnete Diagonale hat mindestens einen Schnittpunkt mit den Diagonalen des Eckpunktes A.
Schneidet nun eine Diagonale f eine weitere Diagonale g, so teilt g die beiden von f gebildeten Teilflächen in zwei weitere Teilflächen, es entstehen so zwei weitere Flächenstücke in dem abgeschlossenen Flächenstück (das ja schon die Diagonale f in zwei Stücke teilte), in dem sich der Schnittpunkt befindet.
Also gilt für die Gesamt-Anzahl der Teilflächen:
n-2 + 2*[Anzahl der Diagonalenschnittpunkte].

Die Anzahl der Diagonalenschnittpunkte würde ich so bestimmen (mit vollständiger Induktion, aber das ist wohl ein Fachbegriff, den man in der 7./8. Klasse noch nicht kennt.)

Ich zeichne ein n-Eck auf ein Blatt Papier und nehme an, ich würde die Anzahl der Diagonalenschnittpunkte für dieses n-Eck bereits kennen.
Jetzt überlege ich, wie viele Schnittpunkte dazukommen, wenn ich eine weitere Ecke P in dieses n-Eck anfüge.

(Zu meiner Schreibweise: P ist der dazugefügte Punkte, R1 der rechte Nachbarpunkt, R2 der rechte Nachbarpunkt von R1 und L1 der linke Nachbarpunkt von P usw.; mit "alten" Diagonalen meine ich die Diagonalen im n-Eck, mit "neuen" Diagonalen die Diagonalen im (n+1)-Eck)

Zu den beiden benachbarten Punkten von P gibt es keine Diagonale.

Jede neue Diagonale, die von dem neuen Eckpunkt P ausgeht, schneidet einmal die eine (neue) Diagonale zwischen den beiden Nachbarpunkten von P, also die neue Diagonale zwischen R1 und L1 (bevor P eingezeichnet wurde, war diese neue Diagonale eine alte Seitenlinie des n-Ecks).

Für die Diagonale zu dem Eckpunkt R2, gibt es n-3 zusätzliche Schnittpunkte (denn diese neue Diagonale schneidet ja alle n-3 alten Diagonalen des dazwischenliegenden (benachbarten) Eckpunktes R1).
Für diese eine neue Diagonale kommen also n-3 + 1 Schnittpunkte dazu.
("Plus Eins" wegen der Überlegung im vorherigen Absatz.)

Jetzt für die neue Diagonale zu dem Eckpunkt R3 führt. Diese Diagonale bildet das Viereck P, R1, R2, R3, und diese neue Diagonale schneiden alle alten Diagonalen, die von R2 und R3 ausgehen und die nicht innerhalb des Dreiecks R1R2R3 verlaufen (das ist dann nur die Diagonale R1R2).
Insgesamt bekommen wir also (für diese neue Diagonale) 2*(n-3) - 1 + 1 Schnittpunkte dazu.

Jetzt für die neue Diagonale zu dem Eckpunkt R4 führt. Diese Diagonale bildet das 4-eck PR1R2R3R4, und diese neue Diagonale schneiden alle alten Diagonalen, die von R2, R3 und R4 ausgehen und die nicht innerhalb des Vierecks R1R2R3R4 verlaufen (das sind dann zwei Diagonalen).
Insgesamt bekommen wir also 3*(n-3) - 2 + 1 Schnittpunkte dazu.

Dieselben Überlegungen führe ich für die Diagonalen zu L2, L3 durch, und zwar so lange, bis ich zu allen Eckpunkte eine Diagonale von P aus gezeichnet habe.

Jetzt müssen nur noch die Zwischenergebnisse für jede neue Diagonale addiert werden und wir wissen, wie wie viele Diagonalen-Schnittpunkte im Vergleich zum n-Eck dazugekommen sind.

Da diese Überlegungen recht aufwendig waren, und geschickte Lösungen immer kurz sind, ist bestimmt alles falsch und ich poste diesen Artikel lieber ins Test-Forum und schreibe ihn morgen weiter -- wenn er bis dahin nicht schon in der Luft zerrissen worden ist.

Gute Nacht,
Marc


        
Bezug
Vorüberlegungen zu "Unregelmäßige Vielecke": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Do 16.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc,

> Ich starte mit einem n-Eck, und zeichne in einem Eckpunkt A
> alle n-3 Diagonalen ein. Wir haben dann n-2 Teilflächen.

Klar.

> Jede weitere eingezeichnete Diagonale hat mindestens einen
> Schnittpunkt mit den Diagonalen des Eckpunktes A.
> Schneidet nun eine Diagonale f eine weitere Diagonale g, so
> teilt g die beiden von f gebildeten Teilflächen in zwei weitere
> Teilflächen, es entstehen so zwei weitere Flächenstücke in dem
> abgeschlossenen Flächenstück (das ja schon die Diagonale f in
> zwei Stücke teilte), in dem sich der Schnittpunkt befindet.
> Also gilt für die Gesamt-Anzahl der Teilflächen:
> n-2 + 2*[Anzahl der Diagonalenschnittpunkte].

Diese Überlegung stimmt meiner Meinung nach nicht. Es sind weniger Teilflächen. Meiner Meinung nach geht die Formel so:

Gesamt-Anzahl der Teilflächen:

(*) n-2 + [mm] \sum_{i=1}^n (a_i [/mm] + 1)

wobei i die i-te hinzugekommene Diagonale, n die Anzahl der Diagonalen ab dem zweiten Eckpunkt und [mm] a_i [/mm] die Anzahl der Kreuzungspunkte der i-ten hinzugekommenen Diagonalen mit den "alten" Diagonalen ist.

D.h. nur wenn [mm] a_i [/mm] = 1  ist (und vermutlich hast du es nur dafür versucht) stimmt deine Formel.

Beispiel dafür, dass deine Formel allgemein nicht stimmen kann:

Sechseck:

Diagonalenschnittpunkte: 15
Gesamt-Anzahl der Teilflächen: 25

Aber:

(n-2) + 2 * Diagonalenschnittpunkte = 4 + 2*15 = 34 ungleich 25.

Leider ist es mir bisher nicht gelungen für (*) einen geschlossenen Ausdruck zu bestimmen. Vielleicht geht es aber analog zu deiner Überlegung im zweiten Teil, die mich zuversichtlich stimmt. :-)

Alles Gute
Stefan


Bezug
                
Bezug
Vorüberlegungen zu "Unregelmäßige Vielecke": Vorüberlegungen zu
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Do 16.10.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

> > Jede weitere eingezeichnete Diagonale hat mindestens einen
> > Schnittpunkt mit den Diagonalen des Eckpunktes A.

Die Behauptung von mir stimmt schon nicht, wie man am Beispiel des Sechsecks einsieht.

> > Schneidet nun eine Diagonale f eine weitere Diagonale g, so
> > teilt g die beiden von f gebildeten Teilflächen in zwei
> weitere
> > Teilflächen, es entstehen so zwei weitere Flächenstücke in
> dem
> > abgeschlossenen Flächenstück (das ja schon die Diagonale f in
> > zwei Stücke teilte), in dem sich der Schnittpunkt befindet.
> > Also gilt für die Gesamt-Anzahl der Teilflächen:
> > n-2 + 2*[Anzahl der Diagonalenschnittpunkte].
>
> Diese Überlegung stimmt meiner Meinung nach nicht. Es sind

Klar, meine Formel ist natürlich Quatsch.

> weniger Teilflächen. Meiner Meinung nach geht die Formel so:
>
> Gesamt-Anzahl der Teilflächen:
>
> (*) [mm] n-2 + \sum_{i=1}^n (a_i + 1) [/mm]
>
> wobei i die i-te hinzugekommene Diagonale, n die Anzahl der
> Diagonalen ab dem zweiten Eckpunkt und [mm] a_i [/mm] die Anzahl der
> Kreuzungspunkte der i-ten hinzugekommenen Diagonalen mit den
> "alten" Diagonalen ist.

Du konstruierst die Diagonalen innerhalb eines n-Ecks, und erweiterst nicht ein n-Eck um eine weitere Ecke?

> D.h. nur wenn [mm] a_i [/mm] = 1  ist (und vermutlich hast du es nur dafür
> versucht) stimmt deine Formel.

Bei welchem n-Eck (außer dem Viereck) schneidet denn jede Diagonale nur ein Mal die anderen Diagonalen?

> Beispiel dafür, dass deine Formel allgemein nicht stimmen kann:
>
> Sechseck:
>
> Diagonalenschnittpunkte: 15
> Gesamt-Anzahl der Teilflächen: 25
>
> Aber:
>
> (n-2) + 2 * Diagonalenschnittpunkte = 4 + 2*15 = 34 ungleich
> 25.

Das sehe ich natürlich ein. Wenigstens mein Gefühl war richtig, dass etwas mit meinem Lösungsvorschlag nicht stimmte... Gut, dass das das Testforum ist...

> Leider ist es mir bisher nicht gelungen für (*) einen
> geschlossenen Ausdruck zu bestimmen. Vielleicht geht es aber
> analog zu deiner Überlegung im zweiten Teil, die mich
> zuversichtlich stimmt. :-)

Aber meine Überlegungen sind doch zu kompliziert für die 8. Klasse, oder?

Danke, dass du dich mit meinem Quatsch beschäftigt hast,
Marc


Bezug
                        
Bezug
Vorüberlegungen zu "Unregelmäßige Vielecke": Vorüberlegungen zu
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Do 16.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc!

>>Meiner Meinung nach geht die Formel so:

> >
> > Gesamt-Anzahl der Teilflächen:
> >
> > (*) [mm] n-2 + \sum_{i=1}^n (a_i + 1) [/mm]
> >
> > wobei i die i-te hinzugekommene Diagonale, n die Anzahl der
> > Diagonalen ab dem zweiten Eckpunkt und [mm] a_i [/mm] die Anzahl der
> > Kreuzungspunkte der i-ten hinzugekommenen Diagonalen mit den
> > "alten" Diagonalen ist.
>
> Du konstruierst die Diagonalen innerhalb eines n-Ecks, und
> erweiterst nicht ein n-Eck um eine weitere Ecke?

In *der* Formel schon.

> > D.h. nur wenn [mm] a_i [/mm] = 1  ist (und vermutlich hast du es nur
> dafür
> > versucht) stimmt deine Formel.
>
> Bei welchem n-Eck (außer dem Viereck) schneidet denn jede
> Diagonale nur ein Mal die anderen Diagonalen?

Was ich meinte, ist folgendes. Nimm ein Sechseck. Wähle eine  Ecke. Zeichne alle Diagonalen. Nimm die zweite Ecke, die neben der ersten liegt (egal ob rechts oder links). Zeichne alle Diagonalen. Dann schneiden diese die "alten" Diagonalen in 1, 2 und 3 Punkten. Nur im Fall, wo die Diagonale *eine* "alte" Diagonale schneidet, stimmt die Aussage, dass die Anzahl der neuen Flächen (2) doppelt so groß ist wie die Anzahl der Schnittpunkt (1) . Ansonsten gilt:

Anzahl neuer Flächen = Schnittpunkte + 1.

> Aber meine Überlegungen sind doch zu kompliziert für die 8.
> Klasse, oder?

Auf jeden Fall, aber ich habe die Aufgabe in der Tat im Netz gefunden. Sie gehört zu den aktuellen Aufgaben der Mathe-Olympiade für die 8.Klasse, die man bis Ende Oktober abgeben muss. Insofern existiert natürlich auch keine Lösung im Netz.

> Danke, dass du dich mit meinem Quatsch beschäftigt hast,

Wie Quatsch? Die Aussage, dass es Quatsch ist,  ist Quatsch. ;-)

Alles Gute
Stefan


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