Vorzeichen bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man betrachte folgende Funktion:
f(x) = [mm] arctan^{5}x [/mm] - [mm] 2sin^{5}x [/mm] + [mm] x^5.
[/mm]
Bestimmen Sie das Vorzeichen von f(x) für alle x in einer hinreichend kleinen Umgebung von Null.
Tipp: Finde ein [mm] \alpha \in \IR\setminus\{0\} [/mm] und n [mm] \in \IN, [/mm] so dass f(x) = [mm] \alpha x^n [/mm] + [mm] o(x^n) [/mm] |
Hallo zusammen,
hat jemand einen Ansatz für mich? Ich weiß nicht, wie ich den Tipp auf die Aufgabe anwenden soll.
Grüsse
Alexander
|
|
| |
|
Hallo Alexander Schwarzbrenner,
> Man betrachte folgende Funktion:
>
> f(x) = [mm]arctan^{5}x[/mm] - [mm]2sin^{5}x[/mm] + [mm]x^5.[/mm]
Sehr hübsch.
> Bestimmen Sie das Vorzeichen von f(x) für alle x in einer
> hinreichend kleinen Umgebung von Null.
>
> Tipp: Finde ein [mm]\alpha \in \IR\setminus\{0\}[/mm] und n [mm]\in \IN,[/mm]
> so dass f(x) = [mm]\alpha x^n[/mm] + [mm]o(x^n)[/mm]
>
> hat jemand einen Ansatz für mich? Ich weiß nicht, wie ich
> den Tipp auf die Aufgabe anwenden soll.
Ich würde mir ja mal die Taylorreihe für f(x) um den Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] ansehen. 
Grüße
reverend
PS: Ach ja, die Antwort ist positiv.
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
also ich habe bei meinen Ergebnissen rausgefunden, dass das Vorzeichen für x < 0 von f negativ ist, und für x > 0 positiv ist, was mir Wolfram Alpha auch anzeigt.
http://wolfr.am/Yuyc9i
Oder habe ich die Funktion falsch eingegeben?^^
Ich hatte zuerst versucht, dass mit der Taylorreihe zu machen, aber das erschien mir zu aufwändig, da ich mehrere Ableitungen von f benötige.
Gelöst habe ich das mit der Reihenentwicklung von sin x und arctan x.
Beweis:
Es gilt:
sin x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
[/mm]
arctan x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [-1,1]
[mm] \Rightarrow [/mm] sin x = x - [mm] \bruch{1}{6}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5)
[/mm]
arctan x = x - [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Im Folgenden gilt alles für x [mm] \to [/mm] 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = ((x - [mm] \bruch{1}{3}x^3) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5)))^5 [/mm] - 2 * ((x - [mm] \bruch{1}{6}x^3) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5)))^5 [/mm] + [mm] x^5
[/mm]
= (x - [mm] \bruch{1}{3}x^3)^5 [/mm]
+ 5 * (x - [mm] \bruch{1}{3}x^3)^4 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))
[/mm]
+ 10 * (x - [mm] \bruch{1}{3}x^3)^3 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^2
[/mm]
+ 10 * (x - [mm] \bruch{1}{3}x^3)^2 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^3
[/mm]
+ 5 * (x - [mm] \bruch{1}{3}x^3) [/mm] * [mm] (\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^4
[/mm]
+ [mm] (\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^5
[/mm]
- 2 * [(x - [mm] \bruch{1}{6}x^3)^5
[/mm]
+ 5 * (x - [mm] \bruch{1}{6}x^3)^4 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))
[/mm]
+ 10 * (x - [mm] \bruch{1}{6}x^3)^3 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^2
[/mm]
+ 10 * (x - [mm] \bruch{1}{6}x^3)^2 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^3
[/mm]
+ 5 * (x - [mm] \bruch{1}{6}x^3) [/mm] * [mm] (\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^4
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))^5]
[/mm]
+ [mm] x^5
[/mm]
= [mm] x^5 [/mm] + [mm] 5x^4(-\bruch{1}{3}x^3) [/mm] + [mm] 10x^3(-\bruch{1}{3}x^3)^2 [/mm] + [mm] 10x^2(-\bruch{1}{3})^3 [/mm] + [mm] 5x(-\bruch{1}{3}x^3)^4 [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{3})^5
[/mm]
+ [mm] 5(x^4 [/mm] + [mm] o(x^4))(\bruch{1}{5}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))
[/mm]
+ [mm] 10(x^3 [/mm] + [mm] o(x^3))(\bruch{1}{25}x^{10} [/mm] + [mm] o(x^{10}))
[/mm]
+ [mm] 10(x^2 [/mm] + [mm] o(x^2))(\bruch{1}{125}x^{15} [/mm] + [mm] o(x^{15}))
[/mm]
+ 5(x + [mm] o(x))(\bruch{1}{625}x^{20} [/mm] + [mm] o(x^{20}))
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{3125}x^{25} [/mm] + [mm] o(x^{25})
[/mm]
[mm] -2[x^5 [/mm] + [mm] 5x^4(-\bruch{1}{6}x^3) [/mm] + [mm] 10x^3(-\bruch{1}{6}x^3)^2 [/mm] + [mm] 10x^2(-\bruch{1}{6}x^3)^3 [/mm] + [mm] 5x(-\bruch{1}{6}x^3)^4 [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{6}x^3)^5
[/mm]
+ [mm] 5(x^4 [/mm] + [mm] o(x^4))(\bruch{1}{120}x^5 [/mm] + [mm] o(x^5))
[/mm]
+ [mm] 10(x^3 [/mm] + [mm] o(x^3))(\bruch{1}{120^2}x^{10} [/mm] + [mm] o(x^{10}))
[/mm]
+ [mm] 10(x^2 [/mm] + [mm] o(x^2))(\bruch{1}{120^3}x^{15} [/mm] + [mm] o(x^{15}))
[/mm]
+ 5(x + [mm] o(x))(\bruch{1}{120^4}x^{20} [/mm] + [mm] o(x^{20}))
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{120^5}x^{25} [/mm] + [mm] o(x^{25})]
[/mm]
+ [mm] x^5
[/mm]
*Bemerkung für den folgenden Rechenschritt:
Es gilt:
[mm] 10(\bruch{1}{25}x^{13} [/mm] + [mm] o(x^{13}))
[/mm]
+ [mm] 10(\bruch{1}{125}x^{17} [/mm] + [mm] o(x^{17}))
[/mm]
+ [mm] 5(\bruch{1}{625}x^{21} [/mm] + [mm] o(x^{21}))
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{3125}x^{25} [/mm] + [mm] o(x^{25}) [/mm] = [mm] o(x^9)
[/mm]
und
+ [mm] 10(\bruch{1}{120^2}x^{13} [/mm] + [mm] o(x^{13}))
[/mm]
+ [mm] 10(\bruch{1}{120^3}x^{17} [/mm] + [mm] o(x^{17}))
[/mm]
+ [mm] 5(\bruch{1}{120^4}x^{21} [/mm] + [mm] o(x^{21}))
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{120^5}x^{25} [/mm] + [mm] o(x^{25} [/mm] = [mm] o(x^9)
[/mm]
Bemerkung Ende*
= [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{5}{3}x^7 [/mm] + [mm] \bruch{10}{9}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9)
[/mm]
+ [mm] 5(\bruch{1}{5}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9))
[/mm]
+ [mm] 10(\bruch{1}{25}x^{13} [/mm] + [mm] o(x^{13}))
[/mm]
+ [mm] 10(\bruch{1}{125}x^{17} [/mm] + [mm] o(x^{17}))
[/mm]
+ [mm] 5(\bruch{1}{625}x^{21} [/mm] + [mm] o(x^{21}))
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{3125}x^{25} [/mm] + [mm] o(x^{25})
[/mm]
[mm] -2[x^5 [/mm] - [mm] \bruch{5}{6}x^7 [/mm] + [mm] \bruch{5}{18}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9)
[/mm]
+ [mm] 5(\bruch{1}{120}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9))
[/mm]
+ [mm] 10(\bruch{1}{120^2}x^{13} [/mm] + [mm] o(x^{13}))
[/mm]
+ [mm] 10(\bruch{1}{120^3}x^{17} [/mm] + [mm] o(x^{17}))
[/mm]
+ [mm] 5(\bruch{1}{120^4}x^{21} [/mm] + [mm] o(x^{21}))
[/mm]
+ [mm] \bruch{1}{120^5}x^{25} [/mm] + [mm] o(x^{25}]
[/mm]
+ [mm] x^5
[/mm]
= [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{5}{3}x^7 [/mm] + [mm] \bruch{10}{9}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9) [/mm] + [mm] x^9 [/mm] + [mm] o(x^9) [/mm] + [mm] o(x^9)
[/mm]
[mm] -2[x^5 [/mm] - [mm] \bruch{5}{6}x^7 [/mm] + [mm] \bruch{5}{18}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9) [/mm] + [mm] \bruch{1}{24}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9) [/mm] + [mm] o(x^9)]
[/mm]
+ [mm] x^5
[/mm]
= [mm] x^5 [/mm] - [mm] \bruch{5}{3}x^7 [/mm] + [mm] \bruch{19}{9}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9)
[/mm]
[mm] -2[x^5 [/mm] - [mm] \bruch{5}{6}x^7 [/mm] + [mm] \bruch{23}{72}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9)]
[/mm]
+ [mm] x^5
[/mm]
= [mm] \bruch{53}{36}x^9 [/mm] + [mm] o(x^9) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
[mm] o(x^9) [/mm] ist eine Funktion g die schneller gegen 0 geht, als [mm] x^9, [/mm] also kann g [mm] \bruch{53}{36}x^9 [/mm] nicht bzgl. des Vorzeichens beeinflussen, wenn x [mm] \to [/mm] 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) > 0 für x > 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von 0
f(x) < 0 für x < 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von 0.
[mm] \Box
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 06.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
